2020年达州市中考数学试题、试卷(解析版)

2020年达州市中考数学试题、试卷（解析版）
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（ ） A ．1.002×107 B ．1.002×106 C ．1002×104
D ．1.002×102万
2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ） A ．3.14
B ．
103
C ．√12
D ．√17
3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A ．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B ．确定事件一定会发生
C ．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98
D ．数据6、5、8、7、2的中位数是6
5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S 表示面积，S 主＝x 2+3x ，S 左＝x 2+x ，则S 俯
＝（ ）
A ．x 2+3x +2
B ．x 2+2x +1
C ．x 2+4x +3
D ．2x 2+4x
6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m ，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）
A ．12（m ﹣1）
B ．4m +8（ m ﹣2）
C ．12（ m ﹣2）+8
D ．12m ﹣16
7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A ．10
B ．89
C ．165
D ．294
8．（3分）如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB ̂恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）
A ．5
3π
B ．5
2
π
C ．5
4
π
D ．5
6
π
9．（3分）如图，直线y 1＝kx 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于A 、B 两点，则y ＝ax 2+（b ﹣k ）x +c 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”
“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是．
12．（3分）如图，点P （﹣2，1）与点Q （a ，b ）关于直线1（y ＝﹣1）对称，则a +b ＝ ．
13．（3分）小明为测量校园里一棵大树AB 的高度，在树底部B 所在的水平面内，将测角仪CD 竖直放在与B 相距8m 的位置，在D 处测得树顶A 的仰角为52°．若测角仪的高度是1m ，则大树AB 的高度约为 ．（结果精确到1m ．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）
14．（3分）如图，点A 、B 在反比函数y =
12
x
的图象上，A 、B 的纵坐标分别是3和6，连接OA 、OB ，则△OAB 的面积是 ．
15．（3分）已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足b +|c ﹣3|+a 2﹣8a ＝4√b −1−19，则△ABC 的内切圆半径＝ ．
16．（3分）已知k 为正整数，无论k 取何值，直线11：y ＝kx +k +1与直线12：y ＝（k +1）x +k +2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线11和12与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＝ ，S 1+S 2+S 3+…+S 100的值为 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分） 17．（5分）计算：﹣22+（13
）﹣
2+（π−√5）0+√−1253
．
18．（7分）求代数式（
2x−1x−1
−x ﹣1）÷
x−2
x 2−2x+1
的值，其中
x =√2+1．
19．（7分）如图，点O 在∠ABC 的边BC 上，以OB 为半径作⊙O ，∠ABC 的平分线BM 交
⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．
20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级成绩/分频数
A95≤x≤100a
B90≤x＜958
C85≤x＜905
D80≤x＜854根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝，b＝；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
21．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E 旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．
22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940
餐椅a﹣140160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接P A，过点P作PE⊥P A交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：
当BC＝6cm时，得表1：
BP/cm…12345…
CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…
当BC＝8cm时，得表2：
BP/cm…1234567…
CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…
这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的
长度为自变量，的长度为因变量；
②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
24．（10分）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．
①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝°．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG＝°；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系．
（3）[归纳与拓展]
如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM 于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=1
2x﹣2与x轴交于点A，与y
轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△P AB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，
求MN+1
2ON的最小值．
2020年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（ ） A ．1.002×107 B ．1.002×106 C ．1002×104
D ．1.002×102万
【解答】解：1002万用科学记数法表示为1.002×107， 故选：A ．
2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ） A ．3.14
B ．
103
C ．√12
D ．√17
【解答】解：3=√9，4=√16， A 、3.14是有理数，故此选项不合题意； B 、
103
是有理数，故此选项不符合题意；
C 、√12是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；
D 、√17比4大的无理数，故此选项不合题意； 故选：C ．
3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、手的对面是勤，不符合题意； B 、手的对面是口，符合题意；
C、手的对面是罩，不符合题意；
D、手的对面是罩，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
【解答】解：A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；
B．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；
故选：D．
5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（）
A．x2+3x+2B．x2+2x+1C．x2+4x+3D．2x2+4x
【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴俯视图的长为x+3，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3，
故选：C．
6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（）
A ．12（m ﹣1）
B ．4m +8（ m ﹣2）
C ．12（ m ﹣2）+8
D ．12m ﹣16
【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为m 时，正方体上的所有小球数为12m ﹣8×2＝12m ﹣16．
而12（m ﹣1）＝12m ﹣12≠12m ﹣16，4m +8（ m ﹣2）＝12m ﹣16，12（ m ﹣2）+8＝12m ﹣16，
所以A 选项表达错误，符合题意； B 、C 、D 选项表达正确，不符合题意； 故选：A ．
7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A ．10
B ．89
C ．165
D ．294
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294， 故选：D ．
8．（3分）如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB ̂恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）
A ．5
3π
B ．5
2
π
C ．5
4
π
D ．5
6
π
【解答】解：如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，连接O ′A 、O ′B ， ∵OA ＝OB ＝O ′A ＝O ′B ，
∴四边形OAO′B为菱形，
∵折叠后的AB
̂与OA、OB相切，∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，
∴四边形OAO′B为正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的长=90⋅π⋅5
180
=52π．
故选：B．
9．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：设y＝y2﹣y1，
∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，
∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，
由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，
故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；
故选：B．
10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
故①正确；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF＝BD，
故②正确；
③∵△AOF≌△ABD，
∴AF＝AB，
连接BF，如图1，
∴BF=√2AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF=√2AF，
故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG，
∴∠AOG＝∠OAG，
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，
∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴AE＝AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，
故④正确；
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”
“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是②③①．
【解答】解：正确的统计顺序是：
②收集三个部分本班学生喜欢的人数；
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
①绘制扇形统计图；
故答案为：②③①．
12．（3分）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝﹣5．
【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为﹣5．
13．（3分）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为11．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，DE＝CD＝1
在Rt△ADE中，AD＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，
∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）
故答案为：11．
14．（3分）如图，点A、B在反比函数y=12
x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接
OA、OB，则△OAB的面积是9．
【解答】解：∵点A、B在反比函数y=12
x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
∴A（4，3），B（2，6），
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴S△AOD＝S△BOE=1
2
×12＝6，
∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，
∴S△AOB=1
2（4+2）×（6﹣3）＝9，
故答案为9．
15．（3分）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，则△ABC的内切圆半径＝1．
【解答】解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，
∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（√b−1−2）2＝0，
∴c＝3，a＝4，b＝5，
∵32+42＝25＝52，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
设内切圆的半径为r，
根据题意，得S△ABC=1
2
×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5，
∴r＝1，
故答案为：1．
16．（3分）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是（﹣1，1）；记直线11和12与x轴围成的三
角形面积为S k，则S1＝1
4
，S1+S2+S3+…+S100的值为
50
101
．
【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；
∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．
∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．
∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（−k+1
k，0），
直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（−k+2
k+1，0），
∴S K=1
2
×|−k+1k+k+2
k+1|×1=
1
2k(k+1)，
∴S1=1
2
×11×2=14；
∴S 1+S 2+S 3+…+S 100=12[
11×2+12×3+⋯1100×101
] =12[（1−1
2）+（12
−13
）+…+（1100
−
1101
）]
=1
2×（1−1
101） =
12×100
101 =50
101．
故答案为（﹣1，1）；1
4；
50101
．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分） 17．（5分）计算：﹣22+（13
）﹣
2+（π−√5）0+√−1253
．
【解答】解：原式＝﹣4+9+1﹣5 ＝1．
18．（7分）求代数式（
2x−1x−1
−x ﹣1）÷x−2
x 2−2x+1
的值，其中x =√2+1．
【解答】解：原式＝（2x−1x−1
−
x 2−1x−1
）÷
x−2(x−1)
2
=−x 2+2x x−1）÷x−2(x−1)
2 =−x(x−2)x−1•(x−1)2x−2
＝﹣x （x ﹣1） 当x =√2+1时，
原式＝﹣（√2+1）（√2+1﹣1） ＝﹣（√2+1）×√2 ＝﹣2−√2．
19．（7分）如图，点O 在∠ABC 的边BC 上，以OB 为半径作⊙O ，∠ABC 的平分线BM 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断⊙O 与DE 交点的个数，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．
（2）直线DE与⊙O相切，交点只有一个．
理由：∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴直线AE是⊙O的切线，
∴⊙O与直线DE只有一个交点．
20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级成绩/分频数
A95≤x≤100a
B90≤x＜958
C 85≤x ＜90 5 D
80≤x ＜85
4
根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：a ＝ 3 ，b ＝ 40 ；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数； （3）已知A 等级中有2名女生，现从A 等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）由题意知a ＝20﹣（8+5+4）＝3，b %=8
20
×100%＝40%，即b ＝40； 故答案为：3、40；
（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为1200×8+3
20=660（人）； （3）列表如下：
男 女 女 男 （男，女）
（男，女） 女 （男，女） （女，女）
女
（男，女）
（女，女）
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， ∴恰好抽到一男一女的概率为4
6
=2
3．
21．（8分）如图，△ABC 中，BC ＝2AB ，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点．将△CDE 绕点E 旋转180度，得△AFE ．
（1）判断四边形ABDF 的形状，并证明；
（2）已知AB ＝3，AD +BF ＝8，求四边形ABDF 的面积S ．
【解答】解：（1）结论：四边形ABDF 是菱形． ∵CD ＝DB ，CE ＝EA ， ∴DE ∥AB ，AB ＝2DE ， 由旋转的性质可知，DE ＝EF ， ∴AB ＝DF ，AB ∥DF ， ∴四边形ABDF 是平行四边形， ∵BC ＝2AB ，BD ＝DC ， ∴BA ＝BD ，
∴四边形ABDF 是菱形．
（2）连接BF ，AD 交于点O ． ∵四边形ABDF 是菱形，
∴AD ⊥BF ，OB ＝OF ，AO ＝OD ，设OA ＝x ，OB ＝y ， 则有{2x +2y =8x 2+y 2=32，
∴x +y ＝4， ∴x 2+2xy +y 2＝16， ∴2xy ＝7， ∴S 菱形ABDF =
1
2
×BF ×AD ＝2xy ＝7．
22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940
餐椅a﹣140160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：600
a−140=
1300
a
，
解得a＝260，
经检验，a＝260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260．
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
设销售利润为y元，
根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×（260﹣140）]×1
2x+（380﹣260）×
1
2x+[160﹣（260﹣
140）]×（5x+20﹣4×1
2x）＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接P A，过点P作PE⊥P A交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：
当BC＝6cm时，得表1：
BP/cm…12345…
CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…
当BC＝8cm时，得表2：
BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…
这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量；
②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴∠APB+∠EPC＝90°，
∵∠EPC+∠PEC＝90°，
∴∠APB＝∠PEC，
∴△ABP∽△PCE．
（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，
故答案为：BP ，EC ．
②设BP ＝xcm ，CE ＝ycm ． ∵△ABP ∽△PCE ， ∴AB PC =
BP
CE ，
∴
6
m−x
=x
y
，
∴y =−16x 2+16mx =−16（x −12m ）2+m 224，
∵−1
6＜0，
∴x =1
2m 时，y 有最大值m 224
，
∵点E 在线段CD 上，CD ＝2cm ， ∴
m 224
≤2，
∴m ≤4√3， ∴0＜m ≤4√3．
24．（10分）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC 的外角∠CAH 内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在∠CAH 内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ． ①完成证明：∵点E 是点C 关于AM 的对称点， ∴∠AGE ＝90°，AE ＝AC ，∠1＝∠2． ∵正△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ， ∴AE ＝AB ，得∠3＝∠4．
在△ABE 中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝ 60 °． 在△AEG 中，∠FEG +∠3+∠1＝90°，∴∠FEG ＝ 30 °． ②求证：BF ＝AF +2FG ．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC ”改为“正方形ABDC ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG ＝ 45 °；
②线段BF 、AF 、FG 之间存在数量关系 BF =√2AF +√2FG ． （3）[归纳与拓展]
如图3，点A 在射线BH 上，AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH 内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在∠CAH 内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ．则线段BF 、AF 、GF 之间的数量关系为 BF ＝2AF •sin 1
2α+
FG
sin 12
α ．
【解答】（1）①解：如图1中，∵点E 是点C 关于AM 的对称点， ∴∠AGE ＝90°，AE ＝AC ，∠1＝∠2． ∵正△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ， ∴AE ＝AB ，得∠3＝∠4．
在△ABE 中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°， ∴∠1+∠3＝60°．
在△AEG 中，∠FEG +∠3+∠1＝90°， ∴∠FEG ＝30°． 故答案为60，30．
②证明：如图1中，连接CF ，在FB 上取一点T ，使得FT ＝CF ，连接CT ．
∵C，E关于AM对称，
∴AM垂直平分线段EC，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，
∵FC＝FT，
∴△CFT是等边三角形，
∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，∴∠BCT＝∠ACF，
∵CB＝CA，
∴△BCT≌△ACF（SAS），
∴BT＝AF，
∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．
（2）解：①如图2中，∵AB＝AC＝AE，∴点A是△ECB的外接圆的圆心，
∴∠BEC=1
2∠BAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FEG＝45°．
故答案为45．
②结论：BF=√2AF+√2FG．
理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．
∵AM ⊥EC ，CG ＝CE ， ∴FC ＝EF ，
∴∠FEC ＝∠FCE ＝45°，EF =√2FG ， ∴∠CFT ＝∠FEC +∠FCE ＝90°， ∵CF ＝CT ，
∴△CFT 是等腰直角三角形， ∴CT =√2CF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴BC =√2AC ， ∴
CT CF
=
CB CA
，
∵∠BCA ＝∠TCF ＝45°， ∴∠BCT ＝∠ACF ， ∴△BCT ∽△ACF ， ∴
BT AF
=
BC AC
=
√2，
∴BT =√2CF ，
∴BF ＝BT +TF =√2AF +E √2AF +√2FG ．．
（3）如图3中，连接CF ，BC ，在BF 上取一点T ，使得FT ＝CF ．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝α， ∴12
BC AC =sin 1
2α，
∴
BC AC
=2•sin 12
α，
∵AB ＝AC ＝AE ，
∴∠BEC =12
∠BAC =12
α，EF =FG
sin 12
α， ∵FC ＝FE ，
∴∠FEC ＝∠FCE =12
α， ∴∠CFT ＝∠FEC +∠FCE ＝α， 同法可证，△BCT ∽△ACF ， ∴
BT AF
=
BC AC
=2•sin 1
2α，
∴BT ＝2AF •sin 12
α，
∴BF ＝BT +FT ＝2AF •sin 1
2
α+EF ．即BF ＝2AF •sin 1
2
α+
FG
sin 12
α． 故答案为：BF ＝2AF •sin 1
2
α+
FG
sin 12
α． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =1
2x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于另一点C （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △P AB ＝S △OAB ？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M 为直线AB 下方抛物线上一点，点N 为y 轴上一点，当△MAB 的面积最大时，求MN +1
2ON 的最小值．
【解答】解：（1）∵直线y =1
2x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A （4，0），点B （0，﹣2）， 设抛物线解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）， ∴﹣2＝﹣4a ， ∴a =12
，
∴抛物线解析式为：y =1
2
（x +1）（x ﹣4）=12
x 2−32
x ﹣2；
（2）如图，当点P 在直线AB 上方时，过点O 作OP ∥AB ，交抛物线与点P ，
∵OP ∥AB ，
∴△ABP 和△ABP 是等底等高的两个三角形， ∴S △P AB ＝S △ABO ， ∵OP ∥AB ，
∴直线PO 的解析式为y =1
2x ， 联立方程组可得{
y =1
2x
y =12x 2
−3
2x −2
，
解得：{
x =2+2√2y =1+√2或{x =2−2√2
y =1−√2
，
∴点P （2+2√2，1+√2）或（2﹣2√2，1−√2）；
当点P ''在直线AB 下方时，在OB 的延长线上截取BE ＝OB ＝2，过点E 作EP ''∥AB ，交
抛物线于点P ''，
∴AB ∥EP ''∥OP ，OB ＝BE ， ∴S △ABP ''＝S △ABO ，
∵EP ''∥AB ，且过点E （0，﹣4）， ∴直线EP ''解析式为y =1
2
x ﹣4， 联立方程组可得{y =12x −4y =12x 2
−32x −2， 解得{x =2
y =−3，
∴点P ''（2，﹣3），
综上所述：点P 坐标为（2+2√2，1+√2）或（2﹣2√2，1−√2）或（2，﹣3）； （3）如图2，过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，
设点M （m ，1
2
m 2−3
2m ﹣2），则点F （m ，1
2
m ﹣2），
∴MF =1
2m ﹣2﹣（1
2
m 2−32m ﹣2）=−1
2（m ﹣2）2+2，
∴△MAB 的面积=12×4×[−1
2（m ﹣2）2+2]＝﹣（m ﹣2）2+4， ∴当m ＝2时，△MAB 的面积有最大值， ∴点M （2，﹣3），
如图3，过点O 作∠KOB ＝30°，过点N 作KN ⊥OK 于K 点，过点M 作MR ⊥OK 于R ，延长MF 交直线KO 于Q ，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN=1
2ON，
∴MN+1
2ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+1
2ON有最小值，即最小值为
MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y=√3x，当x＝2时，点Q（2，2√3），∴QM＝2√3+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM=1
2QM=√3+
3
2，
∴MN+1
2ON的最小值为√3+
3
2．
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