2021-2022学年湖南省湘西州高一上学期期末考试数学试题(解析版)

湖南省湘西州2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共7个小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+1≤0”的否定为（）
A．∃x0∈R，x02﹣2x0+1＞0B．∀x∈R，x2﹣2x+1＞0
C．∀x∈R，x02﹣2x0+1≤0D．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0
2．函数f（x）＝，则f（f（3））等于（）
A．1B．3C．﹣1D．﹣3
3．已知x，y∈R，那么“xy＞0”是“x＞0且y＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．充要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（）
A．1B．2C．﹣2D．1或2
5．函数的（）
A．周期是π，最大值为2B．周期是2π，最大值为2
C．周期是π，最大值为D．周期是2π，最大值为
6．不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y＝ax2+bx+c的图象大致为（）A．B．
C．D．
7．已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3个小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
8．下列指数式与对数式互化正确的一组是（）
A．100＝1与lg1＝0B．log39＝2与
C．与D．log55＝1与51＝5
9．已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，则下列关系式中可能成立的有（）
A．0＜a＜b B．a＜b＜0C．0＜b＜a D．a＝b＝0
10．下列结论中是正确的有（）
A．函数的定义域是
B．若，则sin（α﹣β）的值为﹣
C．函数f（x）＝2+log a（x+1）（其中a＞0且a≠1的图象过定点（0，2）
D．若的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
三、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．
11．高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为．12．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算可知f（8）f（12）＜0，说明该函数在区间（8，12）存在零点x0，那么经过下一次计算可知x0∈（填区间）．13．已知角α终边与单位圆相交于点P（），则化简
得．
14．若实数x，y满足x2+2cos y＝1，则x﹣cos y的取值范围是．
15．如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），若这些材料围成的围墙总长为240米，则当面积相等的小矩形的长x为米时，这块矩形场地面积的最大值是平方米．
四、解答题：本题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（8分）已知集合A ＝{x |1≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}． （Ⅰ）求（∁R B ）∪A ；
（Ⅱ）已知集合C ＝{x |1﹣a ＜x ＜1+a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 17．（10分）某同学将“五点法”画函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个
时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx +φ
π
2π x
A sin （ωx +φ）
5
﹣5
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f （x ）的〖解 析〗式；
（2）将y ＝f （x ）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y ＝g （x ）图象，求y ＝
g （x ）的图象离原点O 最近的对称中心．
18．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，
（1）当a＝2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集；
（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝log3（2+x）﹣log3（2﹣x），g（x）＝x2﹣ax﹣5（a∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性；
（2）若对任意x1∈〖﹣1，1〗，存在x2∈〖﹣1，1〗，使得g（x1）≤f（x2）成立，求实数a 的取值范围．
▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁
一、选择题：本题共7个小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B
〖解析〗因为含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
则命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+1≤0”的否定为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故选：B．
2．D
〖解析〗∵函数f（x）＝，∴f（3）＝﹣＝﹣1，
∴f（f（3））＝f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3．故选：D．
3．C
〖解析〗若“x•y＞0”时，如x＝﹣1，y＝﹣1，
则x•y＞0，即x＞0且y＞0不成立，
故命题：“x•y＞0”⇒命题乙：x＞0且y＞0为假命题；
若x＞0且y＞0成立，则x•y＞0一定成立，即⇒x•y＞0为真命题，
故命题x＞0且y＞0成立⇒命题x•y＞0也为真命题，
故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件，故选：C．
4．A
〖解析〗∵函数是幂函数，
∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2，
m＝1时，y＝x0，图像不过原点，符合题意，
m＝2时，y＝x2，图像过原点，不符合题意，
故m＝1，故选：A．
5．C
〖解析〗＝•+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+，
故其最小正周期T＝＝π，最大值是，
故选：C．
6．C
〖解析〗根据题意，ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，
则方程ax2﹣bx+c＝0的两个根为x＝﹣2和x＝1，且a＜0，
则有，变形可得，
故函数y＝ax2+bx+c＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣2）（x+1），
是开口向下的二次函数，且与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（2，0），
C选项的图象符合，故选：C．
7．A
〖解析〗因为a＞0，b＞1满足a+b＝5，
则+＝（+）〖a+（b﹣1）〗×，
＝，
当且仅当时取等号，故选：A．
二、选择题：本题共3个小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
8．ACD
〖解析〗log39＝2，则32＝9，故B错误，其它均对，
故选：ACD．
9．BCD
〖解析〗当a＝b＝0时，2021a＝2022b＝1成立，∴D对；
由2021a＝2022b得lg2021a＝lg2022b得a lg2021＝b lg2022，∴＝＞1，可知a、b 同号，
当a＞0，b＞0时，a＞b＞0，∴C对；
当a＜0，b＜0时，a＜b＜0，∴B对C错．故选：BCD．
10．ABC
〖解析〗A选项：，解得：，A选项等价于上命题，
故A选项正确；
B选项：∵，
∴，
再利用和差角公式sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，
将上式带入计算得，故B选项正确；
C选项：令x+1＝1，∴x＝0，代入得y＝2，
故函数f（x）过定点（0，2），故C选项正确；
D选项：∵x²+ax﹣a为开口向上的二次函数，
∴Δ≥0，即：a²+4a≥0，解得：a≤﹣4或者a≥0．
故D选项错误．故选：ABC．
三、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．
11．﹣
〖解析〗这场考试中钟表的时针转过的弧度数为﹣＝﹣．
故〖答案〗为：﹣．
12．（10，12）
〖解析〗∵函数f（x）＝lg x﹣，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵f（8）f（12）＜0，∴f（8）＜0，f（12）＞0，
∵f（10）＝lg10﹣＝1﹣＜0，∴f（10）f（12）＜0，
∴经过下一次计算可得x0∈（10，12）．
故〖答案〗为：（10，12）．
13．﹣
〖解析〗因为角α终边与单位圆相交于点P（），则sin，cos，所以＝＝，
故〖答案〗为：﹣．
14．〖﹣1，1+
〗
〖解 析〗实数x ，y 满足x 2+2cos y ＝1，可得cos y ＝
，
由﹣1≤cos y ≤1，解得﹣≤x ≤，则x ﹣cos y ＝x ﹣＝（x +1）2﹣1，
设f （x ）＝（x +1）2﹣1，﹣
≤x ≤
，
可得f （﹣1）＝﹣1为最小值；f （）＝1+
为最大值，
可得x ﹣cos y 的取值范围是〖﹣1，1+〗．故〖答 案〗为：〖﹣1，1+〗．
15．30；3600
〖解 析〗设每个小矩形的长为x m ，宽为y m ，由题意可知，4x +3y ＝240， S ＝3xy ＝x （240﹣4x ）＝4x （60﹣x ）≤
，
当且仅当x ＝60﹣x ，即x ＝30时，S 取得最大值3600，
故当面积相等的小矩形的长x 为30米时，这块矩形场地面积的最大值是3600平方米． 故〖答 案〗为：30；3600．
四、解答题：本题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）集合A ＝{x |1≤3x ≤27}＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}， ∴∁U B ＝{x |x ≤2}，∴（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}．
（Ⅱ）当C ＝∅时，1﹣a ≥1+a ，即当a ≤0时，C ⊆A 成立，
当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则，解得0＜a ≤1，
综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ≤1}． 17．解：（1）数据补充完整如下表：
ωx +φ
π
2π
x
A sin （ωx +φ）
0 5 0 ﹣5
函数f （x ）的〖解 析〗式为：f （x ）＝5sin （2x ﹣
）．
（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，
得到y＝g（x）＝5sin〖2（x+）﹣〗＝5sin（2x+）．
由2x+＝kπ，k∈Z，可解得：x＝﹣，k∈Z，
当k＝0时，可得：x＝﹣．
从而可得离原点O最近的对称中心为：（﹣，0）．
18．解：（1）当a＝2时，则f（x）＝x2﹣3x+2，由f（x）＞0，得x2﹣3x+2＞0，
令x2﹣3x+2＝0，解得x＝1，或x＝2
∴原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）
（2）由f（x）＜0得（x﹣a）（x﹣1）＜0，
令（x﹣a）（x﹣1）＝0，得x1＝a，x2＝1，
当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a＜1时，原不等式的解集为（a，1）．
（2）由f（x）+2x≥0即x2﹣ax+x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，得，
令t＝x﹣1（t＞0），则，
∴．
故实数a的取值范围是.
19．解：（1）要使函数f（x）＝log3（2+x）﹣log3（2﹣x）有意义，
只需，解得﹣2＜x＜2，
所以f（x）的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．
又因为f（﹣x）＝log3（2﹣x）﹣log3（2+x）＝﹣〖log3（2+x）﹣log3（2﹣x）〗＝﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数．
因为y＝log3（2+x）在（﹣2，2）上单调递增，y＝log3（2﹣x）在（﹣2，2）上单调递减，所以函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增．
（2）对任意x1∈〖﹣1，1〗，存在x2∈〖﹣1，1〗，使得不等式g（x1）≤f（x2）成立，
等价于g（x）max≤f（x）max，
由（1）知f（x）在（﹣2，2）上单调递增，则f（x）在〖﹣1，1〗上单调递增，所以f（x）max＝f（1）＝1，
因为函数g（x）＝x2﹣ax﹣5的对称轴为x＝，
当a≤0时，g（x）max＝g（1）＝﹣a﹣4，则﹣a﹣4≤1，
解得a≥﹣5，所以﹣5≤a≤0，
当a＞0时，g（x）max＝g（﹣1）＝a﹣4，则a﹣4≤1，
解得a≤5，所以0＜a≤5，
综上知，实数a的取值范围是〖﹣5，5〗．。