山东省菏泽市东明县2020年中考数学一模试卷(含解析)

山东省菏泽市东明县2020年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在相应位置）
1．计算：（﹣）2﹣1＝（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．0
2．如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l旋转一周，得到的几何体是（）
A．B．C．D．
3．如图，∠B＝40°，∠ACD＝108°，若B、C、D三点在一条直线上，则∠A的大小是（）
A．148°B．78°C．68°D．50°
4．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．
5．计算（﹣2x2y）3的结果是（）
A．﹣8x6y3B．6x6y3C．﹣8x5y3D．﹣6x5y3
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则的值为（）
A．B．C．D．
7．如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（）
A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
8．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于F．若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为（）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，要求把最后结果填写在相应区域内）
9．（3分）已知a﹣b＝5，ab＝1，则a2b﹣ab2的值为．
10．（3分）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为．
11．（3分）一组数据3，4，x，6，7的平均数为5，则这组数据的方差．
12．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D＝30°，CH＝1cm，则AB＝cm．
（3分）如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧的长度为．13．
14．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在相应区域内）
15．（6分）计算：﹣14+（2016﹣π）0﹣（﹣）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．
16．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2y（xy≠0）．
17．（6分）已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．
18．（6分）目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？
19．（6分）在某海域，一艘海监船在P处检测到南偏西45°方向的B处有一艘不明船只，正沿正西方向航行，海监船立即沿南偏西60°方向以40海里/小时的速度去截获不明船只，经过1.5小时，刚好在A处截获不明船只，求不明船只的航行速度．（≈1.41，
≈1.73，结果保留一位小数）．
20．（8分）已知直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP＝：
（1）求反比例函数和直线的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．
22．（10分）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A．喜欢吃苹果的学生；B．喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E．喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：
（1）求此次抽查的学生人数；
（2）将图2补充完整，并求图1中的x；
（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）
23．（10分）猜想与证明：
如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E
运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
2020年山东省菏泽市东明县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在相应位置）
1．计算：（﹣）2﹣1＝（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．0
【分析】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可得到结果．
解：原式＝﹣1＝﹣，
故选：C．
2．如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l旋转一周，得到的几何体是（）
A．B．C．D．
【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案．
解：将直角三角形绕其一条直角边所在直线l旋转一周，得到的几何体是圆锥，
故选：B．
3．如图，∠B＝40°，∠ACD＝108°，若B、C、D三点在一条直线上，则∠A的大小是（）
A．148°B．78°C．68°D．50°
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和进行计算．
解：∵∠B＝40°，∠ACD＝108°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝108°﹣40°＝68°．
故选：C．
4．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．
【分析】根据题意，可以先出x＝a时的函数值，然后再写出x＝a+1时的函数值，再作差，即可得到当自变量x的值增加1时，函数y的值增加多少，本题得以解决．
解：当x＝a时，y＝﹣3a，
当x＝a+1时，y＝﹣3（a+1），
∵﹣3（a+1）﹣（﹣3a）＝﹣3a﹣3+3a＝﹣3，
∴当自变量x的值增加1时，函数y的值增加﹣3，
故选：A．
5．计算（﹣2x2y）3的结果是（）
A．﹣8x6y3B．6x6y3C．﹣8x5y3D．﹣6x5y3
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行运算即可．
解：（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则的值为（）
A．B．C．D．
【分析】先求得BC＝25、AD＝＝12、CD＝＝9，再证△CAF∽△CDE得＝，据此代入计算即可．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，
∴BC＝＝25，
∵AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝＝12，
则CD＝＝9，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠DCE，
又∵∠CAF＝∠CDE＝90°，
∴△CAF∽△CDE，
∴＝＝＝，
故选：A．
7．如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（）
A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
【分析】首先根据直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），求出k、b的关系；然后求出直线l1、直线l2的交点坐标，根据直线l1、直线l2的交点横坐标、纵坐标都大于0，求出k的取值范围即可．
解：∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），
∴﹣2k+b＝0，
∴
解得
∵直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）的交点在第一象限，
∴
解得0＜k＜2．
故选：D．
8．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于F．若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为（）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据矩形点的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再求出AE的长度，再根据勾股定理列式求出BE的长，然后根据角平分线的定义求出∠BEF＝∠DEF，根据两直线平行，内错角相等求出∠BFE＝∠DEF，再求出BEF＝∠BFE，根据等角对等边可得BE＝BF，然后根据FC ＝BC﹣BF代入数据计算即可得解．
解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝16，
∵E为AD的中点，
∴AE＝AD＝×16＝8，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝10，
∵EF是∠BED的角平分线，
∴∠BEF＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴FC＝BC﹣BF＝16﹣10＝6．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，要求把最后结果填写在相应区域内）
9．【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝1，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝5×1＝5，
故答案为：5．
10．【解答】解：，
解①得：x＜2m，
解②得：x＞2﹣m，
根据题意得：2m＞2﹣m，
解得：m＞．
故答案是：m＞．
11．【解答】解：∵数据3，4，x，6，7的平均数为5，
∴（3+4+x+6+7）＝5×5，
解得：x＝5，
∴这组数据为3，4，5，6，7，
∴这组数据的方差为：S2＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2．故答案为：2．
12．【解答】解：连接AC、BC．
∵∠D＝∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D＝30°，
∴∠B＝30°；
又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，
∴BH＝AB；
在Rt△CHB中，∠B＝30°，CH＝1cm，
∴BH＝，即BH＝；
∴AB＝2cm．
故答案是：2．
13．【解答】解：连接OA、OC，如图．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠D＝＝108°．
∵AE、CD与⊙O相切，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，∴的长为＝．
故答案为．
14．【解答】解：∵l：y＝x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1O（0，4），
同理可得A2（0，16），
…
∴A4纵坐标为44＝256，
∴A4（0，256），
故答案为：（0，256）．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在相应区域内）
15．【解答】解：原式＝﹣1+1﹣（﹣2）+﹣1﹣2×
＝﹣1+1+2+﹣1﹣
＝1．
16．【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当x＝2y时，原式＝．
17．【解答】证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O．
∵AE＝DF，AE∥DF．
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴EO＝FO，AO＝DO，
又∵AB＝CD，
∴AO﹣AB＝DO﹣CD，
∴BO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形EBFC是平行四边形．
18．【解答】解：设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步，
根据题意，得＝，
解得x＝30．
经检验：x＝30是原方程的解．
答：小红每消耗1千卡能量需要行走30步．
19．【解答】解：作PQ垂直于AB的延长线于点Q，
由题意得：∠BPQ＝45°，∠APQ＝60°，AP＝1.5×40＝60海里，
∴在△APQ中，AQ＝AP•sin60°＝30海里，PQ＝AP•cos60°＝30海里，∵在△BQP中，∠BPQ＝45°，
∴PQ＝BQ＝30海里，
∴AB＝AQ﹣BQ＝30﹣30≈21.9海里，
∴＝14.6海里/小时，
∴不明船只的航行速度是14.6海里/小时．
20．【解答】解：（1）过P作PC⊥y轴于C，
∵P（，n），
∴OC＝n，PC＝，
∵tan∠BOP＝，
∴n＝8，
∴P（，8），
设反比例函数的解析式为y＝，
∴a＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴Q（4，1），
把P（，8），Q（4，1）代入y＝kx+b中得，
∴，
∴直线的函数表达式为y＝﹣2x+9；
（2）过Q作OD⊥y轴于D，
则S△POQ＝S四边形PCDQ＝（+4）×（8﹣1）＝．
21．【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2．
∵DA平分∠BDE，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．∴OA∥DE．
∴∠OAE＝∠4，
∵AE⊥CD，∴∠4＝90°．
∴∠OAE＝90°，即OA⊥AE．
又∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°．
∵∠5＝90°，∴∠BAD＝∠5．
又∵∠2＝∠3，∴△BAD∽△AED．
∴，
∵BA＝4，AE＝2，∴BD＝2AD．
在Rt△BAD中，根据勾股定理，
得BD＝．
∴⊙O半径为．
22．【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%＝40人．
（2）C占40×10%＝4人，B占20%，有40×20%＝8人，
条形图如图所示，
（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为＝．
23．【解答】猜想：DM＝ME
证明：如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM＝∠HAM，
又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM＝EM，
在RT△HDE中，HM＝EM，
∴DM＝HM＝ME，
∴DM＝ME．
（1）如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴AD∥EF，
∴∠EFM＝∠HAM，
又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM＝EM，
在RT△HDE中，HM＝EM，
∴DM＝HM＝ME，
∴DM＝ME．
∵四边形ABCD和CEFG是正方形，
∴AD＝CD，CE＝EF，
∵△FME≌△AMH，
∴EF＝AH，
∴DH＝DE，
∴△DEH是等腰直角三角形，
又∵MH＝ME，
故答案为：DM＝ME，DM⊥ME．
（2）如图2，连接AC，
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°，
∴AC和EC在同一条直线上，
在Rt△ADF中，AM＝MF，
∴DM＝AM＝MF，∠MDA＝∠MAD，
∴∠DMF＝2∠DAM．
在Rt△AEF中，AM＝MF，
∴AM＝MF＝ME，
∴DM＝ME．
∵∠MDA＝∠MAD，∠MAE＝∠MEA，
∴∠DME＝∠DMF+∠FME＝∠MDA+∠MAD+∠MAE+∠MEA＝2（∠DAM+∠MAE）＝2∠DAC＝2×45°＝90°．
∴DM⊥ME．
24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）∵y＝﹣x2+x+2，
∴y＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x＝．
∴OD＝．
∵C（0，2），
∴OC＝2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD＝．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1＝DP2＝DP3＝CD．
作CM⊥x对称轴于M，
∴MP1＝MD＝2，
∴DP1＝4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y＝0时，0＝﹣x2+x+2
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，由图象，得，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+2a（0≤a≤4）．
∵S四边形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF＝BD•OC+EF•CM+EF•BN，
＝+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
＝﹣a2+4a+（0≤a≤4）．
＝﹣（a﹣2）2+
∴a＝2时，S四边形CDBF的面积最大＝，
∴E（2，1）．。