高中人教B数学必修5：高中同步测试卷(八) 含答案

高中同步测试卷(八)
单元检测 不等式的性质 均值不等式 (时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b
＜a ＋b
2＜ab
B.a ＋b 2≥2ab
a ＋
b ≥ab
C.
a ＋
b 2＞ab ＞2ab
a ＋b
D.ab ＜
2ab a ＋b
＜a ＋b
2
2．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6
D ．8
3．若x ＞0，f (x )＝12
x
＋3x 的最小值为( ) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－6 4．已知x ＞1，y ＞1，且lg x ＋lg y ＝4，则lg x ·lg y 的最大值是( )
A ．4
B ．2
C ．1
D.14
5．点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，z ＝3x ＋27y ＋3的最小值为( ) A.113
B ．3＋2 3
C ．6
D ．9
6．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长
率为x ，则( )
A ．x ＝a ＋b
2
B ．x ≤
a ＋b
2 C ．x ＞
a ＋b
2
D ．x ≥
a ＋b
2
7．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4
D ．2
8．a ＞0，b ＞0，a 与b 的等比中项是1，则⎝⎛⎭⎫2a －1⎝⎛⎭⎫2
b －1的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2
D ．－2
9．若x ，y 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2
＋⎝⎛⎭⎫y ＋1
2x 2
的最小值是( ) A ．2 B.7
2 C ．4
D.92
10．给出下列语句：
①若a ，b ∈R ＋，a ≠b ，则a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2； ②若a ，b ，m ∈R ＋，a ＜b ，则a ＋m b ＋m ＜a
b ；
③若a c 2＞b
c
2，则a ＞b ；
④当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＋2
sin x 的最小值为22，其中结论正确的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知x ＞54，则函数y ＝4x ＋1
4x －5－2的最小值为________．
12．函数f (x )＝lg x ＋
4
lg x
(0＜x ＜1)的最大值是________，当且仅当x ＝________时取等号． 13．当0＜x ＜π时，y ＝2sin x ＋sin x 2
的最小值为________． 14．若对任意x ＞0，
x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)(1)已知x ＞0，求y ＝2－x －4
x 的最大值；
(2)已知x ＞2，求y ＝x ＋
1
x －2
的最小值； (3)已知0＜x ＜12，求y ＝1
2x (1－2x )的最大值．
16．(本小题满分10分)过点P (2，1)的直线l 分别交x 轴，y 轴的正半轴于A ，B 两点，求△AOB 的面积S 的最小值．
17.(本小题满分10分)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y ＋2≥08x －y －4≤0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞
0)的最大值为8.
(1)求1a ＋1
b
的最小值；
(2)求a 2＋16b 2－4ab 的最小值．
18．(本小题满分10分) 2013年春季住博会于4月19日－4月22日在西安举行．某房地产开发商为吸引客户，设计建造了样板模型．如图所示，他们计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m.
(1)设休闲区的长A1B1＝x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园ABCD所占总面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
附加题
19．(本小题满分10分)已知a，b为正数，求证：1
a＋
4
b≥
2（2＋1）2
2a＋b
.
20．(本小题满分10分)若函数f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．
(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；
(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范围．
参考答案与解析
1．[导学号99450140] 【解析】选C.a ＞b ＞0，a ＋b 2＞ab ，2ab a ＋b ＜2ab
2ab
＝ab .从而a ＋b 2＞ab ＞
2ab
a ＋b
. 2．[导学号99450141] 【解析】选B.2a ＋2b ≥2·2a ＋
b ＝223＝42， 当且仅当a ＝b 时，即a ＝b ＝3
2时取等号．
3．[导学号99450142] 【解析】选A.因为x ＞0， 所以f (x )＝12
x
＋3x ≥2 12
x
·3x ＝12， 当且仅当
12
x
＝3x ，即x ＝2时取等号． 4．[导学号99450143] 【解析】选 A.x ＞1，y ＞1，lg x ＞0，lg y ＞0，4＝lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ，lg x ·lg y ≤4.
5．[导学号99450144] 【解析】选D.因为x ＋3y ＝2，
所以z ＝3x ＋33y ＋3≥2·3x
＋3y
＋3＝232＋3＝9.
当且仅当x ＝3y 即x ＝1，y ＝1
3
时取等号．
6．[导学号99450145] 【解析】选B.A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，从而(1＋x )2＝(1＋a )·(1＋b )≤⎝⎛⎭⎫1＋a ＋1＋b 22
＝⎝
⎛⎭⎫1＋a ＋b 22
，∴x ≤a ＋b 2.
7．[导学号99450146] 【解析】选C.(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋y
x
＋a ≥a ＋1＋2
a ·x y ·y
x
＝a ＋
2a ＋1，当且仅当a ·x y ＝y
x 等号成立，所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，解得得a ≥
2或a ≤－4(舍去)，
所以a ≥4，即a 的最小值为4.
8．[导学号99450147] 【解析】选A.∵ab ＝1，∴⎝⎛⎭⎫2a －1⎝⎛⎭⎫2
b －1＝(2b －1)·(2a －1)＝4ab －2(a ＋b )＋1＝5－2(a ＋b )≤5－4ab ＝5－4＝1，故应选A.
9．[导学号99450148] 【解析】选C.⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2
＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2
＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y
x ≥1＋1＋2＝4.
当x ＝y ＝
2
2
时，式子取得最小值4. 10．[导学号99450149] 【解析】选C.本题①中作差变形后可得：a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )2(a ＋b )，由于a ，b ∈R ＋，a ≠b ，所以(a －b )2(a ＋b )＞0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误，如a ＝1，b ＝2，m ＝1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c 2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个，从而选C.
11．[导学号99450150] 【解析】因为x ＞5
4
，所以4x －5＞0，
所以y＝4x－5＋
1
4x－5
＋3≥2（4x－5）·
1
4x－5
＋3＝5，
当且仅当4x－5＝
1
4x－5
，即x＝
3
2时取等号．
【答案】5
12．[导学号99450151]【解析】∵0＜x＜1，∴lg x＜0，∴－lg x＞0，
f(x)＝lg x＋
4
lg x＝－⎣
⎡
⎦
⎤
（－lg x）＋
4
－lg x
≤－2（－lg x）·4
－lg x
＝－4.
当且仅当－lg x＝
4
－lg x
，
即lg x＝±2时，取“＝”．
又∵lg x＜0，∴lg x＝－2，此时x＝
1 100.
【答案】－4
1 100
13．[导学号99450152]【解析】令sin x＝t，则y＝2
t＋
t
2，0＜t≤1.
设0＜t1＜t2≤1，则y1－y2＝2
t1＋
t1
2－
2
t2－
t2
2＝
2t2－2t1
t1t2＋
t1－t2
2＝(t2－t1)·⎝
⎛
⎭
⎫
2
t1t2－
1
2＞0.
当t∈(0，1)时，函数为减函数，∴当t＝1时，y min＝2＋1
2＝
5
2.
【答案】5 2
14．[导学号99450153]【解析】因为x＞0，所以x＋1
x≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，所
以
x
x2＋3x＋1
＝
1
x＋
1
x＋3
≤
1
2＋3
＝
1
5，
即
x
x2＋3x＋1
的最大值为
1
5，故a≥
1
5.
【答案】[
1
5，＋∞)
15．[导学号99450154]【解】(1)∵x＞0，∴x＋
4
x≥4，∴y＝2－⎝
⎛
⎭
⎫
x＋
4
x≤2－4＝－2，∴当且
仅当x＝4
x(x＞0)，即x＝2时，y max＝－2.
(2)∵x＞2，∴x－2＞0，∴y＝x＋
1
x－2
＝x－2＋
1
x－2
＋2≥2（x－2）（
1
x－2
）＋2＝4.∴当
且仅当x－2＝
1
x－2
(x＞2)，即x＝3时，y min＝4.
(3)∵0＜x＜1
2，∴1－2x＞0，∴y＝
1
4×2x(1－2x)≤
1
4⎝
⎛
⎭
⎫
2x＋1－2x
2
2
＝
1
16，∴当且仅当2x＝1－
2x ⎝
⎛⎭⎫0＜x ＜12， 即x ＝14时，y max ＝116
.
16．[导学号99450155] 【解】设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(显然k 存在，且k ≠0)． 令y ＝0，可得A (2－1
k ，0)；
令x ＝0，可得B (0，1－2k )．
∵A ，B 都在正半轴上，∴2－1
k ＞0且1－2k ＞0，可得k ＜0.
∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12(2－1
k )(1－2k )
＝－4k 2＋4k －12k ＝－2k ＋1
－2k ＋2
≥2
（－2k ）·1（－2k ）
＋2＝4，
当且仅当k 2＝14，即k ＝－1
2时，S △AOB 取得最小值4.
17．[导学号99450156] 【解】
作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l 0：ax ＋by ＝0， 平移l 0，由图可知，当直线经过点A (1，4)时，z max ＝ax ＋by ＝a ＋4b ＝8. (1)因为a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＝18(a ＋4b )·(1a ＋1b )＝18(5＋4b a ＋a b )≥1
8(5＋2
4b a ·a b )＝1
8
(5＋4)＝9
8
， 当且仅当
4b a ＝a b ＝2，即a ＝83，b ＝4
3
时取等号， 所以1a ＋1b 的最小值为98
.
(2)因为a ＋4b ＝8，a ＞0，b ＞0， 所以a ＋4b ≥2a ·4b ＝4ab ， 所以ab ≤4.
又因为a 2
＋16b 2
≥（a ＋4b ）2
2
＝32，
所以a 2＋16b 2－4ab ≥32－16＝16，当且仅当a ＝4b ＝4，即a ＝4，b ＝1时取等号， 所以a 2＋16b 2－4ab 的最小值为16.
18．[导学号99450157] 【解】(1)A 1B 1＝x m ，SA 1B 1C 1D 1＝4 000 m 2，∴B 1C 1＝4 000
x
m ，∴S (x )＝(x ＋20)(4 000x
＋8)(x ＞0)．
(2)由(1)得S (x )＝8(x ＋20)(500x ＋1)＝8(500＋x ＋10 000
x
＋20)≥8(520＋2 x ·
10 000
x
)＝5 760，
当且仅当x ＝
10 000x ，即x ＝100时取等号．∴当休闲区长A 1B 1＝x m ＝100 m ，宽B 1C 1＝4 000
x
m ＝40 m 时，公园ABCD 所占总面积最小为5 760 m 2.
19．[导学号99450158] 【证明】因为a ＞0，b ＞0， 所以(2a ＋b )(1a ＋4b )＝6＋b a ＋8a
b ≥6＋2
b a ×8a
b
＝6＋42＝2(2＋1)2， 即得1a ＋4b ≥2（2＋1）2
2a ＋b
.
20．[导学号99450159] 【解】(1)因为x 2－22x ＋144＞0，所以要使不等式f (x )≥0式恒成立，即tx 2－(22t ＋60)x ＋144t ≥0(x ＞0)恒成立，等价于t ≥
60x
x 2
－22x ＋144
(x ＞0)恒成立，
由60x x 2－22x ＋144
＝60
－22＋x ＋
144x
≤60
－22＋2144
＝30(x ＞0)， 当且仅当x ＝
144
x
，即x ＝12时，上式等号成立， 所以t ≥30时，不等式tx 2－(22t ＋60)x ＋144t ≥0恒成立，t 的最小值为30. (2)由t ＞20，得60x
x 2－22x ＋144
＞20，整理得x 2－25x ＋144＜0，即(x －16)(x －9)＜0，解得9＜x
＜16，
所以使t ＞20成立的x 的取值范围为(9，16)．。