相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验
一. 教学内容:
相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验
二. 重点、难点
1。

相互独立事件：事件A （或B)是否发生对事件B(或A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

设A 、B 是两个事件,那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生,它可以推广到有限多个事件的积。

2.相互独立事件发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

P （A ·B ）＝P(A ）·P （B)
如果事件A 1,A 2，…，A n 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

P(A 1A 2……A n )＝P （A 1）P(A 2)…P(A n )
值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算:P （A+B)＝P(A ）+P
（B)—P(AB ）
特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P （A+B)＝P （A ）+P （B)
②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念,两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。

3。

独立重复试验。

独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果,即某种事件要么发生，要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

一般地，如果在一次试验中某件事发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概
率 P n （k)＝C n k P k (1—P ）n —k
P n （k)＝C n k P k (1-P ）n-k 可以看成二项式[(1-P ）+P ］n 展开式中的第k+1项。

【典型例题】
例1。

工人看管3台机床，在1小时内,3台机床正常工作（不需要照顾）的概率分别是0.9,0。

8，0。

85，求在任一小时内。

(1)3台机床都不需要照顾的概率。

(2）3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率。

解：（1）可以认为机床的工作是相互独立的。

设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3）＝P(A 1)P(A 2）P （A 3）＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0。

612。

（2)“3台机床中至少有一台不需要照顾"与“3台都需要工人照顾"是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件,所以
P （A 1+A 2+A 3)＝1—P （321A A A ++）＝1—P （321A A A )＝1-P （1A ）P(2A )P （3A )
＝1—(1-0。

9)（1-0。

8）（1-0.85）＝0.997
即3台机床中至少有一台不需要照顾的概率为0。

997。

例2.甲、乙、丙各进行一次射击,如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：
（1）3人都击中目标的概率；（2）至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率。

解:(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标"分别为事件A 、B 、C 彼此独立，三人都击中目标就是事件A ·B ·C 发生,根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A ·B ·C ）＝P （A ）·P （B)·P （C)＝0。

8×0。

8×0.6＝0。

384
(2）至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A ·B ·C ,A ·B ·C ，A ·B ·C 分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A ·B ·C )+P （A ·B ·C)+P （A ·B ·C)+P （A ·B ·C ）＝P(A)P （B)·P(C ）+P(A ）P(B )P(C)+P(A ）P(B)P(C)+P （A)P （B)P(C)＝0。

8×0.8×0.4+0.8×0。

2×0。

6+0.2×0。

8×0。

6+0.8×0.8×0.6＝0.832
(3)恰有1人击中目标有3种情况,即事件A ·B ·C ，A ·B ·C ，A ·B ·C ，且事件分别互斥，故所
求的概率是P(A ·B ·C )+P(A ·B ·C )+P(A ·B ·C)＝P(A)·P （B ）·P(C )+P(A )·P(B ）·P （C ）+P （A ）·P （B )·P(C ）
＝0。

8×0。

2×0.4+0.2×0。

8×0。

4+0.2×0.2×0.6＝0.152。

答：3人都击中目标的概率是0.384;至少2人击中目标的概率是0。

832；恰有1人击中目标的概率是0.152。

说明 题（3）还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1—0。

832-0。

016可得。

例3。

有10台同样的机器,每台机器的故障率为0.03,各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少？
解:A 表示机器故障无人修的事件，A 表示机器故障数最多不超过2，则P(A ）＝C 100（0。

97）10+C 101(0.97)9
(0。

03）+C 102 （0。

97)8(0。

03）2＝0。

9972
P(A ）＝1—P(A )＝0。

0028.
说明:出现故障的机器数大于2时即为机器故障无人修的情况，因为正向思考需考虑8种情况,所以应用逆向思考的方法。

例4. 证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的,则双方获胜的概率相同。

证明：将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负（即乙方负或胜），问题归结为n ＝5的贝
努里试验.设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件,由题意，P(A)＝21
,记B k 为“五局比赛中甲胜k 局”事件，k ＝0、1、2、3、4、5.则
P(“甲获胜”）＝P （B 3∪B 4∪B 5).则利用概率的加法公式,注意到C 5k ＝C 55—k 即得
P （“甲获胜”）＝P （B 3)+P （B 4)+P （B 5）＝C 53(21)5+C 54(21)5+C 55（21）5＝21
. 而P(“乙获胜")＝P （“甲获胜")＝1—21＝21。

例5. 甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1）甲、乙得分相同的概率;（2)甲得分比乙多的概率。

解：(1）分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A 0、A 1、A 2、A 3；乙恰投中0次，1次、2次、3次为事件B 0、B 1、B 2、B 3,当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D 。

那么D ＝A 0B 0+A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3
所以P （D)＝P(A 0B 0）+P(A 1B 1)+P(A 2B 2）+P （A 3B 3）
＝(1—0.6）3（1—0。

7）3+C 31×0.6×（1-0。

6)2×C 31×0。

7×(1—0.7)2+C 32×0.62×(1—0.6）C 32×0。

72×
(1-0.7)+0.63×0。

73＝0。

321
（2）设“甲得分比乙多”为事件E ，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E 发生，所以E ＝A 1B 0+A 2B 0+A 3B 0+A 2B 1+A 3B 1+A 3B 2 利用公式可求得P(E)＝0.243
【疑难解析】
本节的重点是相互独立事件的概率乘法公式，理解并掌握n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式.难点是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率的求法.
关于在n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，教科书是通过一个具体例子引出的。

现在我们来对这个公式进行一般的推导。

已知A 是某随机试验中可能出现的事件,且P(A)＝P ．现在把这个试验独立地重复进行n 次，要求事件A 恰好发生k 次的概率。

首先,在n 次独立试验的总结果中，有些试验结果是A ，有些试验的结果
然都是等可能的,并
且都是互斥的。

其次，根据相互独立事件的概率乘法公式，合乎上述要求的每一种搭配发生的概率都是 现在我们把n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为P n （k)，那么根据上述分析，即得
P (k)P (1P)
n k n k ＝－．C n k - 如果令q ＝1－P ，利用二项展开式,有：
这样P n (k ）是(q ＋P)n 展开式中的第k ＋1项，故P (k)=C n n k q P n k k -叫做二项分布公式．
独立重复试验，每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.这种情况在实际问题中是很多的．例如:在产品的抽样检查中,要么抽到合格品，要么抽到不合格品；在一定的条件下，种子要么发芽，要么不发芽．研究独立重复试验，计算在n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率，在理论上与实践上都十分有用．其次，在推导n 次独立重复试验中某事件发生k 次的概率的计算公式中，前面所求的概率加、乘运算及组合的知识都用到了，可以说概率知识在这里得到了复习和综合。

【模拟试题】
1. 有一个密码,甲能破译的概率是21,乙能破译的概率是31
，两人独立地破译密码,（1)两人都未能破译密码的概率是________；（2）密码被破译的概率是________．
2. 打靶时，甲每打20次可中靶16次，乙每打10次，可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是（ ）．
A ．2512
B ．2514
C ．53
D ．54
3。

如图,A 、B 、C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0。

8，0。

7,那么系统可靠性是（ ）．
A ．0.06
B ．0。

496
C ．0。

504
D ．0.994
4. 现有一副扑克牌中的4张A ，每次任意抽取1张，记住其花色后放回，连续抽取3次，则（1）每次都抽到黑桃A 的概率是________；（2）恰有2次抽到黑桃A 的概率是________；(3）从未抽到黑桃A 的概率是________．
5. 在一次计时抢答中出了6道判断是非题，某选手不经思考随意回答“是”或“否”,则(1）这名选手回答全部正确的概率是________;（2）这名选手回答正确不少于4道题的概率是________；（3)这名选手至少答对一半的概率是________．
6. 100件产品A 中有96件正品,4件次品，另100件产品B 中有95件正品，5件次品,从两种产品中各抽取一件产品，都抽到正品的概率是多少？
7。

生产一种产品需经过两道工序才得成品，第一道工序的合格率为97％,第二道工序的合格率为92%,假定这两道工序互不影响．求成品的合格率．
8. 北方的沙尘暴天气越来越多，在一段时间内,甲地出现沙尘暴天气的概率是51
，乙地出现沙尘暴天气的概率是4
,假定在这一时间内两地是否出现沙尘暴天气相互之间没有影响，求甲乙两地在这一段时间都不出现沙尘暴天气的概率．
9。

一名篮球爱好者投篮命中概率为65
，他连续投篮三次，且每次投篮是否投入相互之间没有影响,那么他第一次未投中，其他两次都投中的概率是多少?
10。

一名学生抢答某类问题，出现错误的概率为0.10，他抢答了5道题，则：
（1)他答错一道题的概率是________；（2）他答错两道题的概率是________；
（3）他最多答错一道题的概率是________．(以上结果保留三位有效数字）
11。

已知某种棉籽的发芽率为0。

7，取种棉籽4粒，分别写出恰有4颗、3颗、2颗、1颗、0颗棉籽发芽的概率的算式．
12。

某厂生产的电视机,每台连续使用不少于10年的概率是52
，该厂生产的VCD 机,每台连续使用不少于
10年的概率是53
，将一台电视机与一台VCD 机配套使用,求下列事件的概率：（1)电视机与VCD 机的连续使用期都不少于10年；
（2)只有VCD 机的连续使用期不少于10年;（3)至少有一台电器的连续使用期不少于10年．
13。

某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）．(1)求至少3人同时上网的概率；（2）至少几个同时上网的概率小于0。

3？
14。

用8门炮摧毁某一目标，至少命中3发，目标就被摧毁,已知每门炮命中目标的概率均为0。

6,8门炮同时向目标发射1次炮弹，求目标被摧毁的概率(结果保留3位有效数字）．
【试题答案】
1. 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，由已知得事件A 与B 相互独立，且
21)(=A P ，31)(=B P ，21211)(1)(=-=-=A P A P ，32311)(1)(=-=-=B P B P ，A 与B 相互独立．
（1）“两人都未破译”为事件B A ⋅,根据相互独立件的概率乘法公式，有313221)()()(=⨯==⋅⋅B P A P B A P ．
（2）“密码被破译”包括“甲破译，乙未破译（事件B A ⋅发生)”、“乙破译，甲未破译（事件B A ⋅发生)”、“甲、乙二人均破译(事件B A ⋅发生)”，因为这三种情况不能同时发生，即B A ⋅、B A ⋅、B A ⋅彼此互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件（A 与B ,A 与B 相互独立）的概率乘法公式,所求密码被破译的概率
)()(B A P B A P P ⋅⋅+=3121)()()()()()()(⨯=++=+⋅⋅⋅⋅B P A P B P A P B P A P B A P 3231213221=⨯+⨯+．（也可利用32211)()(1)(1⨯-=-=-=⋅⋅B P A P B A P P 求得．）
2. B ．设“甲中靶”为事件A ,“乙中靶"为事件B ,则542016)(==
A P ,107)(=
B P ．“二人同时中靶”为事件
B A ⋅，A 、B 相互独立，故二人同时中靶的概率为⋅⋅=)()(A P B A P 251410754)(=⨯=
B P ．
3。

D ．A 、B 、C 三个开关不正常工作的概率分别为0。

1，0.2，0。

3,当且仅当A 、B 、C 都不正常工作时，系统不可靠，其概率为0。

1×0.2×0.3＝0.006，于是系统正常工作的概率为1—0.1×0.2×0.3＝0.994
4。

设“抽到黑桃A ”为事件M ，则41)(=M P ，从4张牌中任意抽取3次相当于进行3次独立重复试验． （1）
每次都抽到黑桃A 的概率为
641
)41()3(3333==⋅C P ． （2)恰有2次抽到黑桃A 的概率为
649431613)411()41()2(2233=⨯⨯=-=⋅C P ． （3）没有抽到黑桃A 的概率为
6427)43()411()41()0(330033==-=C P ． 5. 设“答对一道题”为事件A,则
21)(=A P ． (1）全部答对的概率为
641
)21()6(6666==⋅C P ． (2）“回答正确不少于4道题”的概率是回答正确5道题与回答正确6道题的和，所求概率为
647
)21()211()21()6()5(66655666=+-=+⋅⋅C C P P ．
（3）至少答对一半的概率为
33366666)211()21()6()5()4()3(-=+++C P P P P 446)21(C + 32216442)21()161520()21()211()21()211(66665562==+++=+-+-⋅C C ．
6. 从产品A 中抽到1件正品的事件M 的概率为0。

96，从产品B 中抽到1件正品的事件N 的概率为0。

95，都抽到正品是N M ⋅发生,因为M 、N 是相互独立事件,所以该事件的概率912.095.096.0)()()(=⨯==⋅⋅N P M P N M P ．
7。

设第一道工序合格为事件A ，第二道工序合格为事件B ，则97.0)(=A P ，92.0)(=B P ，成品合格为事件B A ⋅,因为A 、B 相互独立，所以成品合格的概率8924.092.097.0)()()(=⨯==⋅⋅B P A P B A P ．
8. 设甲地出现沙尘暴天气为事件A ，乙地出现沙尘暴天气为事件B ，则
51)(=
A P ，41)(=
B P ，在同一时间甲、乙两地都不发生沙尘暴天气为事件B A ⋅，因为A 、B 是相互独立事件，且
54511)(=-=A P ，43411)(=-=B P ，则534354)()()(===⋅⋅⋅B P A P B A P ．
9. 设第n 次（n ＝1,2，3)投篮命中为事件n A ,则65)(=n A P （n ＝1，2，3），投篮3次第1次未投中,其他两次都投中为事件321A A A ⋅⋅,因为321A A A ⋅⋅相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式,有
==⋅⋅⋅⋅)()()()(321321A P A P A P A A A P
6565)651(⋅⋅-21625=． 10. 记“答错一道题"为事件A ，1.0)(=A P ．答5题相当于作5次独立重复试验．（1)答错一道题的概率
328.09.01.05)1.01(1.0)1
(44155≈⨯⨯=-⨯⨯=C P ． （2）答错两道题的概率
073.0)1.01(1.0)2(32255≈-⨯⨯=C P ． （3）最多答错一道题的概率，就是答错一道题的概率与没有答错题的概率之和，所以
918.0)1.01()1.01(1.0)0()1(50541555≈-⨯+-⨯⨯=+=C C P P P ．
11。

设棉籽发芽为事件A ,则7.0)(=A P ，3.0)(=A P ,插种4颗棉籽相当于作4次独立重复试验．则
44447.0)4(⨯=C P ;33447.03.0)3(⨯⨯=C P ;
222447.03.0)2(⨯⨯=C P ; 7.03.0)1(3144⨯⨯=C P ； 40443.0)0(⨯=C P ．
12. 设事件A 为“每台电视机连续使用期不少于10年”,事件B 为“每台VCD 机连续使用期不少于10年”，A 与B 是相互独立事件。

（1）“电视机与VCD 机的连续使用期都不少于10年”是事件B A ⋅发生,则
2565352)()()(=⨯==⋅⋅B P A P B A P ．
（2）“只有VCD 机的连续使用期不少于10年”是事件B A ⋅发生，因为A 与B 是相互独立事件，且
53521)(=-=A P ，根据相互独立事件的概率乘法公式，有)()(A P B A P =⋅
2595353)(=⨯=⋅B P ．
（3）“至少有一台电器的连续使用期不少于10年”的概率为)()(B A P B A P ⋅⋅+
)(B A P ⋅+2519)531(5253)521(5352=-⨯+⨯-+⨯=．(也可利用)(1B A P ⋅-)(1A P -=
)(B P ⋅.)25192561)531()521(1=-=---=⋅ 13. （1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即
3221)5.0()5.0()5.0(1626616606=---C C C ．
（2）至少4人同时上网的概率为
3.03211)5.0()5.0()5.0(666656646>=
++C C C
至少5人同时上网的概率为
3.0647)5.0()5.0(666656<=+C C 因此,至少5人同时上网的概率小于0。

3．
14。

设炮弹命中目标为事件A ，
则6.0)(=A P ，8门炮同时发射炮弹相当于作8次独立重复试验，没有炮弹命中目标的概率
8088)6.01()0(-⨯=C P ，
恰有1发炮弹命中目标的概率为7188)6.01(6.0)1(-⨯⨯=C P ， 恰有2发炮弹命中目标的概率为
22886.0)2(⨯=C P 6)6.01(-⨯，则目标被摧毁的概率为 788884.06.084.01)2()1()0(1⨯⨯--=---=P P P P 950.04.06.02862=⨯⨯-．。