宁夏大学附属中学2021届高三上学期第三次月考理科数学试题试卷及参考答案

2021届高三年级第三次月考
理 科 数 学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时,务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}0,1,2,3,|02A B x R x ==∈≤≤,则A B 的子集个数为
A.2
B.3
C.4
D.8
2.下列命题中错误的是
A.若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“pV(¬q)”为真命题
B.命题“若a+b≠7,则a≠2或b≠5”为真命题
C.命题“若x 2-x=0,则x=0或x=1”的否命题为“若x 2-x=0,则x≠0且x≠1”
D.命题p:∃x>0,sinx>2x -1,则⌝p 为∀x>0,sinx≤2x -1
3.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图 是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互变化、对称 统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆O (O 为坐标原点)的周 长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题: ①对于任意一个圆O ,其“优美函数”有无数个；
②函数22()ln(1)f x x x =+可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形. 其中正确的是 A.①④ B.①③④
C.②③
D.①③
4.已知复数342i
z i
-=-(i 是虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.将函数sin 2y x =的图象向左平移π
4
个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A.cos 2y x = B.1cos2y x =+
C.1si π24n y x =++
⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
D.cos21y x =- 6.设函数()()sin f x g x x =+,曲线()y g x =在点(0, (0))g 处的切线方程为31y x ,则曲
线()y f x = 在点(0, (0))f 处切线方程为
A.41y x =+
B.42y x =+
C.21y x =+
D.22y x =+
7.设向量()1,0=b
,11,22a ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭,则下列结论中正确的是 A.//a b B.a b ⊥
C.a 与b 的夹角为
34
π D.b 在a 方向上的投影为
22
8.已知正项数列{}n a 满足:11a =,22
12n n a a +-=,则使7n a <成立的n 的最大值为 A.3 B.4 C.24 D.25
9.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，，
，，
()()g x f x x a =++.若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是 A.[–1,0)
B.[0,+∞)
C.[–1,+∞)
D.[1,+∞)
10.已知函数()cos()f x x ωϕ=-(04,0)ωϕπ<<<<的部分图象如图所示,
(0)cos2f =,则下列判断正确的是
A.函数()f x 的最小正周期为4
B.函数()f x 的图象关于直线61x π=-对称
C.函数()f x 的图象关于点(
1,0)4
π
+对称
D.函数()f x 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象 11.已知函数()f x 在定义域上的值不全为零,若函数
()1f x +的图象关于()1,0对称,函数
()3f x +的图象关于直线1x =对称,则下列式子中错误的是 A.()()f x f x -= B.(2)(6)f x f x -=+
C.(2)(2)0f x f x -++--=
D.(3)(3)0f x f x ++-=
12.若函数()sin x
x
f x e e x x -=-+-,则满足2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫
-++≥ ⎪⎝⎭
恒成立的实数
a 的取值范围为
A.12ln 2,2⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣
⎭ B.1ln 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.3,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若函数()2
2ln f x x x a x =++在0,1 上单调递减,
则实数a 的取值范围是_________.
14.在边长为2的正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,AE 交
BD 于F .若y x 32+=,则x y +
=________.
15.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在*m N ∈,满足
228m m S S =,2221
2
m m a m a m +=-,则数列{}n a 的公比为 .
16.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()11,sin cos sin 2
b B B C C ==+,
则当角B 取最大值时,ABC ∆的周长为 .
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每
个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分) 17.(本题满分12分)
已知函数b
x ax x f ++=1
)(2的图像过点)2,1(,且函数图像又关于原点对称.
(1)求函数)(x f 的解析式；
(2)若关于x 的不等式)4()2()(-+->t x t x f x 在),0(∞+上恒成立,求实数t 的取值范围.
18.(本题满分12分)
在三角形ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若3sin 5A =,1
tan()3
A B -=,角C 为钝角,5b =.
(1)求sin B 的值； (2)求边c 的长.
19.(本题满分12分)
已知数列}{n a 满足0),,2(2,4
1
*111≠∈≥⋅=-=--n n n n n a N n n a a a a a (1)证明数列)}(11
{
*N n a n
∈-为等比数列,求出}{n a 的通项公式； (2)数列}{n a 的前项和为T n ,求证:对任意3
2,*<∈n T N n .
20.(本题满分12分)
已知函数()()
2
2cos 1f x p x x =-+,在R 上的最大值为3.
(1)求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；
(2)若锐角ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且()0f A =,求b
c
的取值范围. 21.(本题满分12分)
设函数2
1()ln 2
f x x ax bx =--. (1)当1
2
a b ==
时,求()f x 的最大值； (2)当0a =,1-=b ,方程()2
2mf x x =有唯一实数解,求正数m 的值.
(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知
曲线C 的极坐标方程为2
2212cos ρθ=
-,射线()π
03
θρ=≥与曲线C 交于点P ,点Q 满足
2
3
PQ PO =
,设倾斜角为α的直线l 经过点Q . (1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；
(2)直线l 与曲线C 交于M 、N 两点,当α为何值时,QM QN ⋅最大？求出此最大值.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数()225=+-f x x . (1)解不等式()1≥-f x x ；
(2)当m≥－1时,函数()()=+-g x f x x m 的图象与x 轴围成一个三角形,求实数m 的取值范围.
数学(理科)参考答案
13.4a ≤- 14.
7
18
15. 3 16.2 三、解答题:
17.(1)依题意,函数)(x f 的图象过点)2,1(和)2,1(--.
所以⎩⎨⎧==⇒⎩
⎨⎧=+=-⎪⎩
⎪⎨⎧
-=+-+=-=++=01
1212211)2(211)1(b a b a b a b a f b a f ,故x x x f 1
)(2+=. (2)不等式)4()2()(-+->t x t x f x 可化为t x x x )1(522+>++.
即1
5
22+++<x x x t 对一切的),0(∞+∈x 恒成立.
因为41
411522
≥+++=+++x x x x x ,当且仅当1=x 时等号成立,所以4<t .
18.(1)因为角C 为钝角,3sin 5A =,所以4
cos 5
A ==,……2分 又1tan()3A
B -=
,所以02
A B π
<-<,
且sin(),cos()1010
A B A B -=
-=
, ………………………4分 所以sin sin[()]sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---…………6分
3455101010
=⨯-⨯=
. ………………………8分 (2)因为sin 310sin 5
a A
b B ==,且5b =,所以310a =,……………………10分 又cos cos()cos cos sin sin 510C A B A B A B =-+=-+=-,……………12分
则2222cos 902523105()169510
c a b ab C =+-=+-⨯⨯-=,
所以13c =.
19.(1)由有
数列
是首项为
,公比为的等比数列.
(2)
,
, =
=
20.解:(1)依题意()()
2
2cos 13f x p x x =-+
22cos 3cos p x x x =--
1cos 232p x x =--
π12sin 26p x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭,
∵()f x 的最大值为3,∴123p -+=,∴2p =,
∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭,其中ππ2
x k ≠+,k ∈Z ,其周期为2π
π2T =
=. 已知⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π+
π∈π+
23262k x ,Z k ∈时,()f x 单调递增,
解得⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
π+ππ+π∈32,6k k x .
∴()f x 的单调递增区间为⎪⎭⎫⎢⎣
⎡
π+ππ+
π2,6k k ,⎪⎭
⎫
⎝⎛π+ππ+π32,2k k ,Z k ∈.
(2)∵()π12sin 206f A A ⎛
⎫
=-+
= ⎪⎝
⎭,且A 为锐角, ∴π5π266A +=,∴π3
A =,∴2π
3B C +=.
又∵B ,C 为锐角,∴ππ,62C ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭.
∴2π1sin sin sin 1322sin sin sin 2
C C C
b B
c C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+,
其中tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭
,∴1,22b c ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭.
21.解:(1)依题意,知()f x 的定义域为()0,+∞, 当12a b ==
时,211()ln 42f x x x x =--, 111(2)(1)
()222x x f x x x x
'-+-=--=
,令()0f x '=,解得1x =.()0x > 当()0,1x ∈时,()0f x '>,此时()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时,()0f x '<,此时()f x 单调递减,
所以,当1x =时,()f x 取得极大值()3
14
f =-,此即为()f x 的最大值.
(2)因为方程()2
2mf x x =有唯一实数解,所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解,
设()2
2ln 2g x x m x mx =--,则
()2222x mx m
g x x
--'=,令()0g x '=,即20x mx m --=.
因为0m >,0x >,
所以102
m x =<(舍去
),2x =
当()20,x x ∈时,()0g x '<,()g x 在()20,x 上单调递减,
当()2,x x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 在()2,x +∞单调递增, ∴当2x x =时,()20g x '=,()g x 取最小值()2g x .
则()()220
0g x g x =⎧⎪⎨'=⎪⎩
,即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩,
所以222ln 0m x mx m +-=,因为0m >,所以()222ln 10x x +-=* 设函数()2ln 1h x x x =+-,
因为当()0,x ∈+∞时,()h x 是增函数,所以()0h x =至多有一解.
因为()10h =,所以方程()*的解为21x =,
即12
m =,解得12m =.
22.解:(1)∵()2222222
212cos 222x y x x y ρθ=-=+-=+,
∴曲线C 的直角坐标方程为22
221x y +
=. ∵点P 的极径为
2
2123π
2cos
3
=-,
又∵23
PQ PO =
,∴点Q 的极径为12
23333⨯=
, ∴点Q 的直角坐标为3,1⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
,
∴直线l 的参数方程为3
cos 1sin x t y t αα⎧=
+⎪⎨⎪=+⎩
,其中t 为参数. (2)将l 的参数方程代入2
2
221x y +=,
得(
)
2
2
2561sin 4sin 3cos 033t t ααα⎛⎫+++
-= ⎪⎝
⎭
, 设交点M ,N 所对应的参数分别为1t ,2t ,则()
122
56
31sin t t α-=+, ∴()
122
5628331sin QM QN t t α-⋅==
≤-+,当2
sin 1α=时取得.。