浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学(1)试题

瑞安市上海新纪元高级中学2019学年度第二学期
2019级高一期末考试——数学试题卷
（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.椭圆125
92
2=+y x 的焦点坐标是（ ）
A ．()5,0-，()5,0
B ．()0,5-，()0,5
C ．()4,0-，()4,0
D ．()0,4-，()0,4
2．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若//l α，m α⊂，则//l m
C ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β
D ．若//l α，//m α，则//l m
3.设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.无论m 取何实数，直线021:=+-+m y mx l 恒过一定点，则该定点坐标为（ ） A ． ()1,2- B ． ()1,2-- C ． ()1,2 D ． ()1,2-
5．设长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．6π
C ．12π
D ．14π
6.已知点A （2,3）、B （－5,2），若直线l 过点P （－1,6），且与线段AB 不相交， 则直线l 斜率的取值范围是（ ）
A ．[1,1]-
B ． (,1][1,)-∞-+∞
C ． (1,1)-
D ．(,1)(1,)-∞-+∞
7.点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
8.黄金分割比0.618ω=
≈被誉为“人间最巧的比例”.离心率e =“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右顶点分别为A ，B ，
“优美椭圆”C 上动点P （异于椭圆的左右顶点），设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则21k k 为（ ）
A.
251- B.251+ C.215- D.2
1
5+ 9.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,A D C D 的中点，N 是线段
1BC 的中点，若点,P M 分别为线段1,D B EF 上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）
A ．1
B
C
D 10.设a 为正实数，数列}{n a 满足a a =1，2-4
1n
n n a a a +
=+()*N n ∈,则（ ） A.任意0>a ，存在2>n ， 使得2<n a B.存在0>a ，存在2>n ， 使得1+<n n a a C.任意0>a ，存在*N m ∈，使得n m a a < D.存在0>a ，存在*N m ∈，使得m n n a a +=
二、填空题 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=， (1)若12l l //，则a =__________； (2)若12l l ⊥，则a =__________．
12.在数列{}n a 中，310,a a 是方程2350x x --=的两根，n S 表示数列{}n a 的前n 项和 (2)若{}n a 是等比数列，则67a a =_______; (1)若{}n a 是等差数列，则=12S .
13.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为_________.
14.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点，则异面直线1A E 、CF 所成角的大小为_______；平面1A EF 与平面1111D C B A 所成锐二面角的余弦值为__________.
15.设等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，若
6
33S S =,则96
S S =________.
16.已知直线0=++m y x 与圆42
2=+y x 交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，
若||||≥+,则实数m 的取值范围是
17.已知椭圆C 的方程为2
212
x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象
限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________．
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.已知p ：实数m 使得椭圆2212x y m +=的离心率23
2e ∈.
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若:9q t m t ≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围.
19.点P 是圆2
2
:20C x y x +-=上一动点，点(3,0)Q .
（Ⅰ）若60PCQ ∠=︒，求直线PQ 的方程；
（Ⅱ）过点Q 作直线CP 的垂线，垂足为M ，求MC MQ +的取值范围.
20.如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB =，10PA PB BC ===2PD PC ==（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
21.已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =.
（1）证明：数列{}2n a -为等比数列；
（2）设1(1)(21)(21)
n n
n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，
若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.
22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．
瑞安市上海新纪元高级中学2019学年度第二学期 2019级高一期末考试——数学试题答案解析
（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1--5 B C C A D 6--10 C B A D D
二、填空题 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11.【答案】 4 -9 12. 【答案】(1). -5 (2). 18
13.【答案】(1).
23π (2). (3π+ 14.【答案】6π
15.【答案】
73 16.【答案】(2][2,22)-- 17.
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.已知p ：实数m 使得椭圆22
12x y m +=的离心率e ∈.
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若:9q t m t ≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围. 【试题解析】
（1）当02m <<时，∵
，∴，∴，
当2m >时，∵
，∴
解得48m <<.
综上所述实数m 的取值范围是
或48m <<.
（2）∵:9q t m t ≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，
∴
⊆[],9t t +. 所以
，解得.
19.点P 是圆2
2
:20C x y x +-=上一动点，点(3,0)Q .
（Ⅰ）若60PCQ ∠=︒，求直线PQ 的方程； （Ⅱ）过点Q 作直线CP 的垂线，垂足为M ，
求MC MQ +的取值范围.
解：（Ⅰ）
()2
2:11C x y -+=.
∵1CP =，2CQ =，60PCQ ∠=︒，∴CP PQ ⊥，PQ 是C 的切线.
设直线():3PQ y k x =-，即30kx y k --=2211
k
k =+，解得：33k =±.
∴直线PQ 的方程为：)3
3y x =-. （Ⅱ）∵CM MQ ⊥，∴M 在以CQ 为直径的圆上
22||4MC MQ +=，设MC x =，MQ y =，MC MQ t +=，
y x t =-+与()2240,0x y x y +=≥≥有交点，∴222t ≤≤
20.如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，
2AB =，10PA PB BC ===2PD PC ==（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
解：（1）如图，取AB ，DC 的中点E ，F ，连接EF ，PE ，PF ， 因为10PA PB BC ===2PC PD ==
所以，PE AB ⊥，PF DC ⊥， 又AB CD ∥，所以，PE CD ⊥，又因为2AB =，所以1PF =，
所以222210PE PF BC EF +===，即PE PF ⊥，
,,CD
PF F CD PF =⊂平面PCD ，
所以PE ⊥平面PCD ，而PE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ；
（2）设A 到平面PBC 的距离为d ，因为10PB BC ==2PC =
所以19
PBC S =
△1）PE PF ⊥，PF DC ⊥，又AB CD ∥，所以PF AB ⊥，,,AB
PE E AB PE =⊂平面PAB ，
所以PF ⊥平面PAB ，因为AB CD ∥，所以C 点到平面PAB 的距离为1PF =，
所以111131333A PBC PBC C PAB PAB V dS V S --=
==⨯⨯=⨯=△△，所以1919
d =，
故直线PA 与平面PBC
190=
. 21.已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =. （1）证明：数列{}2n a -为等比数列；
（2）设1
(1)(21)(21)
n n
n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.
（1）证明：因为1220n n a a +-+=，所以122n n a a +=- 即()1222n n a a +-=-，则
()
*12
22
n n a n N a +-=∈-
从而数列{}2n a -是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）解：由（1）知1
262n n a --=⨯，即322n n a =⨯+
所以()
()(
)()
()()()
()1
1
1
13?22
111121212
121212
1n
n
n
n
n
n n n n
n n
n a b +++-+-⎛⎫=
=
=-+ ⎪++++++⎝⎭
当n 为偶数时，
223
11
111111112121212121212121n n n n n T -+⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--++++--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111112121321
n n ++=-
+=-++++ 当n 为奇数时，
223
11
11111
1112121212121212121n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111111
2121321
n n ++=-
-=--+++
当n 为偶数时，111321n n T +=-++是递减的，此时当2n =时，n T 取最大值29-，则29
m ≥-； 当n 为奇数时，111321n n T +=-
-+是递增的，此时13n T <-，则13m ≥-. 综上，m 的取值范围是2,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．
【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，即211b
=，解得1b =，
由离心率为c a =222a c b -=，解得2a =，所求椭圆方程为：2214x y +=. （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -， 则1211,s s k k t t
-+==--，所以121122s s k k t t t -++=+==---，解得1t =-， 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，
联立方程组2244x y y kx b
⎧+=⎨=+⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=， 设1122, , ,()() M x y N x y ，则2121222844,4141
kb b x x x x k k -+=-⋅=++ （*）， 则()()12121212121212121212
2(1)11y x x y x x kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+--+=+==， 将*式代入化简可得：
288244kb k b -=-，即()()110k b b ---=，整理得1k b =+， 代入直线MN 方程，得()()11y b x b b x x =++=++， 即()10b x x y ++-=，联立方程组10x y x +=⎧⎨=⎩
，解得1,1x y =-=-，恒过定点()1,1--.。