四川省遂宁市2019届高三数学第三次诊断性考试试题理201905070356

四川省遂宁市2019届高三数学第三次诊断性考试试题 理
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的。

1．已知集合⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=012x x x A ，{}22≤≤-=y y B ，则A B =I
A ．[][]2,11,2--U
B ．∅
C ．{}1,1-
D ．{
}1 2．已知复数z 满足i iz 21+=，则z 的虚部是 A ．i -
B ．1-
C ．2
D ．2i -
3. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，东北地区称麻圆，海南
又称珍袋，广西又称油堆，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。

制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有。

已知一个麻团的正视图，侧视图和俯视图均是直径为4（单位：cm ）的圆（如图），则这个几何体的体积为（单位：3
cm ）为 A.
332π B. π16 C. π64 D.3
256π
4．二项式8
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 的展开式中含2
x 项的系数是
A ．1120
B ．160-
C ．448-
D ．224 5．已知角α在第二象限，若322cos -
=α，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+42cos 2πα
A ．
32 B ．21 C ．3
1
D ．0 6. 已知随机变量X ～()1,1N ，其正态分布密度曲线如下左图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为M ,随即运行如下右图中相应的程序，则输出的结果是
附：若随机变量X ～()2
,N
μσ，
则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，
(22)P X μσμσ-<≤+
0.9544=，3309().974P X μσμσ-<≤+=.
A ．1
B ．
98 C ．32 D ．2
1
7. 将函数)6
2cos(2)(π
+
=x x f 的图象向左平移(0)t t >个单位长度，
所得图象对应的函数为
奇函数，则t 的最小值为 A.
23π B.6π C. 2π D.3
π 8． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，3
π
=A ，sin 2sin C B =，
则ABC ∆的周长为
A.323+
B.623+
C.333+
D.633+
9.
已知抛物线2
y =-的焦点到双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>> 的一条渐近线的距离
为
5
10
，则该双曲线的离心率为 A.
25 B
C.3
1
10．已知点P 的坐标),(y x 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-≤-+0100
4x y x y x ，过点P 的直线l 与圆C ：162
2=+y x 相交
于B A ,两点，则AB 的最小值是
A ．2
B ． 6 C. 4 D ．2 6 11. 已知长方体1111D
C B A ABC
D -中，C B 1与D C 1所成角的余弦值为
4
6
，C B 1与底面ABCD 所成角的正弦值为
2
3
，则D C 1与底面ABCD 所成角的余弦值为 A.
2
1
B.22
C.36
D.23
12. 已知函数1ln )(2
++=x a x x f ，若1x ∀，[)+∞∈,32x ，)(21x x ≠，[]2,1∈∃a ，
m x x x f x f <--1
221)
()(，则实数m 的最小值为
A ．3
20- B ．2
9
-
C ．419-
D ．3
19
-
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．设两个非零平面向量与的夹角为θ，则将
θ) 叫做向量 在向量方向上的
投影。

已知平面向量)1,2(-=，)1,1(--=，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ▲ 14．曲线x y =
在点)2,4(处的切线的斜率为 ▲
15．已知函数⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<-=>=)
0(,)0(,7
5)0(,sin )(x x x x x x f ，则方程7571)(+=x x f 的根的个数为 ▲
16． 已知F 是抛物线2
x 4y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且点A 的坐标为()0,1-，则
PF
PF PA +2的最大值是 ▲
三、解答题：本大题共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知函数x x x f ππsin cos 3)(-=
)(R x ∈的所有正数的零点构成递增数列
{}n a )(*∈N n 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设)3
2()21(+=n n
n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.（本小题满分12分）
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。

其作者已不可考。

一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。

最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章算术》所作的注本。

在注本中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

现有一阳马的具体情况是：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是邻边相等的矩形，侧棱⊥PD 底面DA B C ，
PC E DC PD 是， =的中点。

（1）判断直线PA 与EB 的位置关系（不需证明）； （2）证明：ED PB ⊥；
（3）求二面角A PB E -- 的平面角的余弦值.
19. （本小题满分12分）
福建电视台少儿频道的少儿竞技类节目——《宝贝向前冲》于2005年6月创办，节目内容丰富，形式多样，栏目的特色在于开发和推广简单的、有趣的校园或家庭挑战游戏项目，并最大限度地利用电视手段将简单的游戏制作成吸引观众的电视节目。

近日《宝贝向前冲》节目组举办了一个共有五关的闯关节目，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是
23，后两关每关通过的概率都是1
2
（1）求该人获得奖金的概率；
（2）设该人通过的关数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.
20.（本小题满分12分）
已知B A ,是椭圆C ︰)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P
关于x 轴的对称点为H ，且2
1
=
⋅BH PA k k 。

（1）若椭圆C 经过了圆4)1(2
2
=-+y x 的圆心，求椭圆C 的标准方程；
（2）在（1）的条件下，抛物线D ：)0(22
>=p px y 的焦点F 与点)2,8
1(-关于y 轴上某点对称，且抛物线D 与椭圆C 在第四象限交于点Q ，过点Q 作抛物线D 的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.
21.（本小题满分12分）
已知函数2
ln )(ax x x f -=，2
3)(-
+=ax xe x g x
（1）设曲线)(x g y =在1x =处的切线的斜率为k ，且23e ak =。

求a 的值； （2）当1=a 时. ①求)(x f 的单调区间； ②求证：)()(x g x f <.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
θρ2cos 23
2+=
，又在直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为⎩
⎨⎧-=+-=t y t x 71（t 为参数）。

（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；
（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，若22||=PQ ，求此时点P 的直角坐标．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数144)(2--+-=
x x x x f .
（1）解不等式2
1
)(>
x f ； （2）若正数,,a b c ，满足2)2
1(42+=++f c b a ，求c
b a 4
21++的最小值.
遂宁市高中2019届三诊考试 数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. 2
2
-
14． 41 15． 4 16． 3
三、解答题：本大题共70分。

17．（本小题满分12分）
【解析】（1）因为)6
cos(2sin cos 3)(π
πππ+
=-=x x x x f ， ……………………2分
所以，由题意有)(3
1
)(26Z k k x Z k k x ∈+=⇒∈+=+ππππ，
这就是函数)(x f 的全部零点。

……………………4分 又由已知函数)(x f 的所有正数的零点构成递增数列{}n a ，所以{}n a 是以
3
1
为首项， 1为公差的等差数列，所以)(3
2
*∈-=N n n a n 。

……………………5分
（2）)32()21(+=n n n a b n
n )21(⋅=， ……………………6分
则n
n n n n T )2
1()21()1()21(3)21(2)21(11321⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ①
1432)2
1
()21()1()21(3)21(2)21(121+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ② ……………………8分
则①-②得：
1
1132)21)(2(1)21(2
1121
)21(21)21()21()21()21(2121++++-=⋅--⋅
-=⋅-++++=n n n n n n n n n T
……………………10分
所以n
n
n n n T 22
2)2
1)(2(2+-=+-= ……………………12分 18. （本小题满分12分） 【解析】
（1）直线PA 与EB 是异面直线 ……………………2分 （2）⊥PD 平面ABCD ，⊂DC 平面ABCD ，DC PD ⊥∴。

同理可证BC PD ⊥
DC PD = 可知PDC ∆是等腰直角三形，而E 是斜边PC 的中点，PC DE ⊥∴。

∵底面ABCD 是邻边相等的矩形，即四边形ABCD 为正方形。

DC BC ⊥∴，又BC PD ⊥，D DC PD = ⊥∴BC 平面PDC ，又⊂DE 平面PDC
DE BC ⊥∴，又PC DE ⊥，且C BC PC =
⊥∴DE 平面PBC ，又⊂PB 平面PBC
∴ED PB ⊥ ……………………7分 （3）∵⊥PD 底面ABCD ，而底面ABCD 是邻边相等的矩形，即底面ABCD 是正方形，∴ DP DC DA ,,两两互相垂直，建立空间直角坐标系xyz D -如图所示，设1=AD ，又由于
DC PD =，且底面ABCD 是正方形，∴1=====PD CD BC AB AD ，所以)0,0,1(A ，)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)0,0,0(D ，)1,0,0(P ，)2
1
,21,0(E 。

……………………8分
设平面PAB 的法向量为),,(111z y x n =，
则⎩⎨
⎧=-⋅=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)0,1,0(),,(0)1,0,1(),,(001
11111z y x z y x ⎩⎨⎧==-⇒00111y z x ，令11=x ，则11=z ，01=y ，∴)1,0,1(=n 。

……………………9分
又设平面EBP 的法向量为),,(222z y x m =，则
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-⋅=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)21,21,1(),,(0)1,1,1(),,(00222222z y x z y x PB m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+⇒021
210222222z y x z y x ，令12=y ，则12=z ，02=x ，∴)1,1,0(=。

…………………10分
∴2
1
2
21,cos =
⋅=
>=
<n m …………………11分 又∵二面角A PB E -- 的平面角是一个钝角，∴二面角A PB E -- 的平面角的余弦值为2
1
-
……………………12分
19. （本小题满分12分）
【解析】：（1）设事件i A 为“第i 关通过”，事件A 为“获得奖金”，∴)()()()(55432154432154321A A A A A A P A A A A A A P A A A A A P A P ++=
27
4
212121322121213221323
323
=
⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛= ……………………5分
（2）X 的取值为0,1,2,3,4,5
()()11
03
P X P A ∴===
， ()()12212
1339
P X P A A ===⋅=
()()
1232214
233327
P X P A A A ===⋅⋅=
()()
32
1234421233227P X P A A A A A ⎛⎫⎛⎫
====
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()4
527
P X P A ===
()()()()()()2410123527
P X P X P X P X P X P X ∴==-=+=+=+=+==
⎡⎤⎣⎦X ∴的分布列为：
……………………11分
9
16
2745272427232742921310)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴X E
……………………12分
20. （本小题满分12分）
【解析】：（1）设),(y x P ，因为)0,(),0,(a B a A -，则点P 关于x 轴的对称点H ),(y x -。

a x y k PA
+=
，x a y k BH -=， 因为22221x y a b +=，所以()
222222
221x b y b a x a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，所以22
2
22a
b x a y k k BH
PA =-=⋅， ……………………2分 又椭圆C 过圆4)1(2
2
=-+y x 的圆心)1,0(， ……………………4分
所以1,22
2
==b a ，所以椭圆C 的标准方程为12
22
=+y x ； ……………………5分
（2）由题意，抛物线D 焦点为)0,81(F ，故其方程为22x y =，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1
2
2
22
2y x x y ，解得1=x 或2-=x （舍去），所以)2
2
,1(-
Q ， ……………………7分
设抛物线2
2x
y =
在)22,1(-Q 点处的切线为22)1(--=x k y ，联立方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧--==22
)1(22x k y x
y ，整理得02222
=---k y ky ，由0∆=解之得42-=k ，所以所求的切线方程为2
2
)1(42---
=x y 。

即是0122=++y x 。

……………………10分
令0=x ，得4
2
-
=y ；令0=y ，得1-=x 。

故所求三角形的面积为8
214221=⨯⨯=
S 。

……………………12分
21. （本小题满分12分）
【解析】：（1）因为a e x x g x
++=)1()('， ……………………1分 则a e g +=2)1('，所以a e k +=2，由23e ak =得23)2(e a a e =+，即
03222=-+e ea a ，解得e a =或e a 3-=
……………………4分
（2）①因为当1=a 时，2
ln )(x x x f -=)0(>x ，所以x
x x x x f 2
'
2121)(-=-=，令
0)('=x f ，则2
2
=
x ， ……………………5分 当)2
2,
0(∈x 时，0)('
>x f ； 当),2
2(
+∞∈x 时，0)('
<x f ； 所以函数)(x f 的单调递增区间为)22,
0(；单调递减区间为),2
2(+∞； ……………………7分
②证明：（法一）因为当1=a 时，
2
3ln 23ln )()(22>-++⇔-
+<-⇔<x x x xe x xe x x x g x f x x 设x x x xe x h x
ln )(2
-++=。

则只需证明2
3
)(>
x h )12)(1(112)1()('x e x x x e x x h x x -++=-
+++=，又设x
e x x 1
2)(-+=ϕ，则01)(2'
>+=x e x x
ϕ，所以)(x ϕ在),0(+∞上单调递增，因为042)41
(41
<-+=e ϕ，
032)3
1
(31
>-+=e ϕ，所以存在)31,41(0∈x ，使得0)(0=x ϕ，且当),0(0x x ∈时，
0)(<x ϕ，当),(0+∞∈x x 时，0)(>x ϕ；所以当),0(0x x ∈时，0)('<x h ，)(x h 单调
递减；当),(0+∞∈x x 时，0)('
>x h ，)(x h 单调递增；所以
002
000min ln )()(0x x x e x x h x h x -++==，由01200=-
+x e x ，得21
0-=x e x ，所以002
000200
00ln 1ln )21(
)(x x x x x x x x x h -+-=-++-=，设x x x x ln 1)(2-+-=τ，)31,41(∈x ，x x x x x x )1)(12(112)('-+=--=τ，所以当)3
1
,41(∈x 时，
0)('<x τ，)(x τ在)31,41(单调递减，所以2
33ln 97)31ln(131)3
1()31()()(2
00>+=-+-=>=ττx x h ，因此2
3
)(>
x h ，即)()(x g x f <得证。

……………………12分
（法二）因为当1=a 时，
x x x xe x xe x x x g x f x x ln 2
3
23ln )()(22>-++⇔-
+<-⇔< 先证当0≥x 时，2
3
2232
-≥-
++x x x xe x ，即证02≥-+x x xe x 设)0()(2
≥-+=x x x xe x h x
，则12)1()('
-++=x e x x h x
，又令
12)1()(-++=x e x x x τ，且0)0(=τ，而02)2()('>++=x e x x τ，所以)(x τ在
[)+∞,0上单调递增，0)0()()('=≥=ττx x h ，所以)(x h 在[)+∞,0上单调递增，则当
0≥x 时，0)0()(2=≥-+=h x x xe x h x
（也可直接分析02
3
22322
≥-+⇔-≥-
++x x xe x x x xe x x
01≥-+⇔x e x 显然成立）
……………………10分
再证当0>x 时，x x ln 2
3
2>- 设x x x ln 232)(--
=ϕ，则x x x x 1212)('-=-=ϕ，令0)('=x ϕ，解得2
1=x ，且当)21,0(∈x 时，0)('<x ϕ，)(x ϕ单调递减；当),2
1
(+∞∈x 时，0)('>x ϕ，)(x ϕ单调递增；
所以x x x ln 232)(--=ϕ02ln 21)21(>+-=≥ϕ，即x x ln 2
3
2>-
又2
32232-≥-++x x x xe x ，所以x x x xe x ln 232
>-++成立，
即)()(x g x f <得证。

……………………12分
22．（本小题满分10分） 【解析】：（1）由θρ2cos 232
+=
得1
cos 232
2+=θρ，即3)cos (22
2=+θρρ，把θρcos =x ，θρsin =y ，2
2
2
y x +=ρ，得13
2
2
=+y x ，故曲线1C 的直角坐标方程为
132
2
=+y x ；因为曲线2C 的参数方程为⎩⎨
⎧-=+-=t
y t x 71（t 为参数）。

消去参数t 得曲线2C 的普通方程为06=-+y x 。

……………………4分
（2）由题意，曲线1C
的参数方程为cos x y α
α=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，可设点P
的直角坐标为
(cos )αα，因为曲线2C
是直线，又||PQ =∴||PQ 即为点P 到直线60x y +-=的距离 ……………………6分 易得点P 到直线60x y +-=的距离为
sin()3|6d απ
=
=+-=， ……………………7分
所以1)6
sin(=+
π
α，所以2()3k k απ=π+
∈Z ，此时点P 的直角坐标为13
(,)22
． ……………………10分 23．（本小题满分10分） 【解析】：（1）因为144)(2--+-=
x x x x f ，所以12)(---=x x x f ；…1分
①当1x ≤时，1)1(2)(=---=x x x f ，由21
)(>
x f ，解得1x ≤； ②当21<<x 时，x x f 23)(-=，由21)(>x f ，即2123>-x ，解得4
5
<x ，又
21<<x ，所以4
5
1<<x ；
③当2≥x 时，1)(-=x f 不满足2
1
)(>x f ，此时不等式无解； ………………4分
综上，不等式21)(>x f 的解集为)4
5
,(-∞.
……………………5分
（2）由题意得32)2
1
(42=+=++f c b a 。

……………………6分
所以]884422)1641[(31342)421(421c
b
b c c a a c b a a b c b a c b a c b a ++++++++=++⨯
++=++ 3
49
)88244222221(31=
⨯+⨯+⨯+≥c b b c c a a c b a a b 。

……………………9分 当且仅当73=
==c b a 时等号成立.所以c
b a 4
21++的最小值为
337 …………………10分。