2020年北京市通州区中考数学一模试卷

2020年北京市通州区中考数学一模试卷
一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间，全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为（）
A．0.2×105B．0.2×106C．2×105D．2×106
2．（2分）下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（2分）在数轴上，表示实数a的点如图所示，则2﹣a的值可以为（）
A．﹣5.4B．﹣1.4C．0D．1.4
4．（2分）以AB＝2cm，BC＝3cm，CD＝2cm，DA＝4cm为边画出四边形ABCD，可以画出的四边形个数为（）A．0B．1C．2D．无限多
5．（2分）在一个长2分米、宽1分米、高8分米的长方体容器中，水面高5分米．把一个实心铁块缓慢浸入这个容器的水中，能够表示铁块浸入水中的体积y（单位：分米3）与水面上升高度x（单位：分米）之间关系的图象的是（）
A．B．
C．D．
6．（2分）如果a2+a﹣1＝0，那么代数式（1﹣）÷的值是（）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（）
A．0.7B．0.9C．2D．2.1
8．（2分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的学生的支付金额a（元）的分布情况如下：
支付金额a（元）
0＜a≤10001000＜a≤2000a＞2000
支付方式
仅使用A18人9人3人
仅使用B10人14人1人
下面有四个推断：
①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率大于他使用B支付方式的概
率；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有400人；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．
其中合理的是（）
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分)
9．（2分）举出一个数字“0”表示正负之间分界点的实际例子，如．
10．（2分）若某个正多边形的一个内角为108°，则这个正多边形的内角和为．
11．（2分）若（4m+1）（4n+1）＝4K+1，则K可以用含m，n的代数式表示为．
12．（2分）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为 ．
13．（2分）某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如表：
甲的体温
乙的体温
丙的体温
温度℃
36.1
36.4
36.5 36.8 温度℃
36.1 36.4 36.5 36.8 温度℃
36.1 36.4 36.5 36.8
频数 5 5 5 5 频数 6
4
4
6 频数 4
6
6
4
则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是 ．
14．（2分）如图将一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 的对应点为C ′，AD 与BC ′交于点E ，若∠ABE ＝30°，BC ＝3，则DE 的长度为 ．
15．（2分）一笔总额为1078元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍．若把这笔奖金发给6个人，评一、二、三等奖的人数分别为a ，b ，c ，且0＜a ≤b ≤c ，那么三等奖的奖金金额是 元．
16．（2分）如图，点A ，B ，C 为平面内不在同一直线上的三点．点D 为平面内一个动点．线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为M ，N ，P ，Q ．在点D 的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个中点四边形MNPQ 是菱形； ③存在无数个中点四边形MNPQ 是矩形； ④存在两个中点四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题每小题5分；第，每小题5分）
17．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
18．（5分）解不等式组．
19．（5分）已知：关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，取一个m的值，求此时该方程的根．
20．（5分）已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O，以O为圆心，AO长为半径作弧，交直线l于C，D 两点，分别连接AC，AD，BC，BD．
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形ACBD为正方形．
21．（5分）国务院发布的《全民科学素质行动计划纲要实施方案（2016﹣2020年）》指出：公民科学素质是实施创新驱动发展战略的基础，是国家综合国力的体现，《方案》明确提出，2020年要将我国公民科学素质的数值提升到10%以上．为了解我国公民科学素质水平及发展状况，中国科协等单位已多次组织了全国范围的调查，以下是根据调查结果整理得到的部分信息．
注：科学素质的数值是指具备一定科学素质的公民人数占公民总数的百分比．
a.2015和2018年我国各直辖市公民科学素质发展状况统计图如图1．
b.2015年和2018年我国公民科学素质发展状况按性别分类统计如下：
2015年2018年
男9.0%11.1%
女 3.4% 6.2%
c.2001年以来我国公民科学素质水平发展统计图如图2．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在我国四个直辖市中，从2015年到2018年，公民科学素质水平增幅最大的城市是，公民科学素质水平增速最快的城市是．
注：科学素质水平增幅＝2018年科学素质的数值﹣2015年科学素质的数值；
科学素质水平增速＝（2018年科学素质的数值﹣2015年科学素质的数值）÷2015年科学素质的数值．
（2）已知在2015年的调查样本中，男女公民的比例约为1：1，则2015年我国公民的科学素质水平为%（结果保留一位小数）；由计算可知，在2018年的调查样本中，男性公民人数女性公民人数（填“多于”、“等于”或“少于”）．
（3）根据截至2018年的调查数据推断，你认为“2020年我国公民科学素质提升到10%以上”的目标能够实现吗？请说明理由．
22．（5分）已知：△ABC为等边三角形．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．
①根据题意，将（1）中图形补全；
②求证：EF∥BC；
③若DE＝2，求EF的长．
23．（6分）如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，连接DE并延长，交CB的延长线于点P，连接P A，∠DP A＝2∠DPC．求证：DE＝2P A．
24．（6分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．
（1）求点A的坐标；
（2）反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点P（m，n）．
①求b的值；
②当n＞﹣2时，求m的取值范围．
25．（6分）如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM．
小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：
x1＝AP012345
θ＝∠QMPα85°130°180°145°130°
小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：
根据以上材料，回答问题：
（1）表格中α的值为．
（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．
①在这个函数关系中，自变量是，因变量是；（分别填入x1和x2）
②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；
③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A（m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）
（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；
（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．
27．（7分）已知线段AB，过点A的射线l⊥AB．在射线l上截取线段AC＝AB，连接BC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，B 的对应点为D，N的对应点为E．
（1）当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，
①据题意在图中补全图形；
②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．
（2）连接EM．若AB＝4，从下列3个条件中选择1个：
①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，
当条件（填入序号）满足时，一定有EM＝EA，并证明这个结论．
28．（7分）如果的两个端点M，N分别在∠AOB的两边上（不与点O重合），并且除端点外的所有点都在∠AOB的内部，则称是∠AOB的“连角弧”．
（1）图1中，∠AOB是直角，是以O为圆心，半径为1的“连角弧”．
①图中MN的长是，并在图中再作一条以M，N为端点、长度相同的“连角弧”；
②以M，N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M（1，），点N（t，0）在x轴正半轴上，若是半圆，也是∠AOB的“连角弧”求t的取值范围．
（3）如图3，已知点M，N分别在射线OA，OB上，ON＝4，是∠AOB的“连角弧”，且所在圆的半径为1，直接写出∠AOB的取值范
围．
2020年北京市通州区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题2分，共16分）
1．【解答】解：将200000用科学记数法表示应为2×105，
故选：C．
2．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：根据表示实数a的点的位置可得，2≤a＜2.5，
∵﹣0.5＜2﹣a≤0，
∴2﹣a的值可以为0，
故选：C．
4．【解答】解：以AB＝2cm，BC＝3cm，CD＝2cm，DA＝4cm为边画出四边形ABCD，可以画出无限多个四边形，故选：D．
5．【解答】解：把一个实心铁块缓慢浸入这个容器的水中，铁块浸入水中的体积（y）随水面上升高度（x）增大而增大，即y是x的正比例函数．
自变量x的取值范围是0≤x≤3．
故选：A．
6．【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝
＝，
∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
则原式＝＝3，
故选：A．
7．【解答】解：∵x＝﹣1时，y＜2，即a＜2；
当x＝2时，y＞3，即4a＞3，解得a＞，
所以＜a＜2．
故选：B．
8．【解答】解：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率为＝0.3，使用B支付方式的概率为＝0.25，此推断合理；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有1000×＝400
（人），此推断合理；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，第15、16个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数
一定不超过1000元，此推断合理；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数无法估计，此推断不正确．
故推断正确的有①②③，
故选：C．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分)
9．【解答】解：在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．
10．【解答】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，
∴其一个外角度数为180°﹣108°＝72°，
则这个正多边形的边数为360÷72＝5，
∴这个正多边形的内角和为108°×5＝540°．
故答案为：540°．
11．【解答】解：∵（4m+1）（4n+1）＝4K+1，
∴16mn+4m+4n+1＝4K+1，
则4K＝16mn+4m+4n，
故K＝4mn+m+n．
故答案为：4mn+m+n．
12．【解答】解：3﹣2＝1，
1×1＝1．
故图2中小正方形ABCD的面积为1．
故答案为：1．
13．【解答】解：甲的平均数为：（36.1×5+36.4×5+36.5×5+36.8×5）＝36.45；
乙的平均数为：（36.1×6+36.4×4+36.5×4+36.8×6）＝36.45；
丙的平均数为：（36.1×4+36.4×6+36.5×6+36.8×4）＝36.45；
甲的方差为：[5×（36.1﹣36.45）2+5×（36.4﹣36.45）2+5×（36.5﹣36.45）2+5×（36.8﹣36.45）2]＝0.0625；
乙的方差为：[6×（36.1﹣36.45）2+4×（36.4﹣36.45）2+4×（36.5﹣36.45）2+6×（36.8﹣36.45）2]＝0.0745；
丙的方差为：[4×（36.1﹣36.45）2+6×（36.4﹣36.45）2+6×（36.5﹣36.45）2+4×（36.8﹣36.45）2]＝0.064；
∵0.064＜0.625＜0.0745，
∴在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是丙，
故答案为：丙．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
由折叠的性质得：∠CBD＝∠C'BD，
∵∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，∠CBD＝∠C'BD＝∠EDB＝30°，
∴DE＝BE＝2AE，
∵AD＝AE+DE＝3，
∴AE+2AE＝3，
∴AE＝1，
∴DE＝2；
故答案为：2．
15．【解答】解：∵a+b+c＝6，0＜a≤b≤c，且a，b，c均为整数，
∴，，．
设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，
依题意，得：4x+2x+4x＝1078，4x+2×2x+3x＝1078，2×4x+2×2x+2x＝1078，
解得：x＝107.8（不合题意，舍去），x＝98，x＝77．
故答案为：98或77．
16．【解答】解：①当AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；
故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②当AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形；
故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③当AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形；
故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形．
故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题每小题5分；第，每小题5分）17．【解答】解：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1
＝﹣1﹣2×+4
＝3
18．【解答】解：解不等式≥1，得：x≥1，
解不等式3（x﹣2）＞2﹣x，得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
19．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0有实数根，
∴①当m﹣2＝0，即m＝2；
②当m﹣2≠0，即m≠2时，△＝（﹣3）2﹣4×（m﹣2）×（﹣2）≥0，
解得m≥且m≠2；
综上，m≥；
（2）取m＝3，此时方程为x2﹣3x﹣2＝0，
利用公式法求解得：x＝（答案不唯一）．
20．【解答】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵直线l垂直平分AB，
∴AC＝BC，BD＝AD，∠AOC＝∠AOD＝90°，
在△AOC和△AOD中
，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴AC＝BC＝BD＝AD，
∴四边形ACBD是菱形，
又∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠CAD＝45°+45°＝90°，
∴菱形ACBD为正方形．
21．【解答】解：（1）由2015和2018年我国各直辖市公民科学素质发展状况统计图如图1得知，
上海：22%﹣19%＝3%，北京：21.5%﹣17.5%＝4%，天津：14%﹣12%＝2%，重庆：8%﹣4.5%＝3.5%，故在我国四个直辖市中，从2015年到2018年，公民科学素质水平增幅最大的城市是北京；
上海：3%÷19%≈16%，北京：4%÷21.5%≈19%，天津：2%÷12%≈17%，重庆：3.5%÷4.5%＝78%，
故公民科学素质水平增速最快的城市是重庆；
故答案为：北京，重庆；
（2）∵在2015年的调查样本中，男女公民的比例约为1：1，
∴2015年我国公民的科学素质水平为（9.0%+3.4%）÷2＝6.2%，
设男性公民占x%，则有11.1%×x%+6.2%×（1﹣x%）＝8.5%，
解得x＝47，
∴男性公民人数少于女性公民人数，
故答案为6.2，少于．
（3）①能实现．理由如下：
2015年我国公民的科学素质水平为6.2%，2018年我国公民的科学素质水平为8.5%，平均每年的增幅平均为0.77%，如果按照匀速增长的速度推断，2020年我国公民的科学素质水平达到10.3%，
由此可知，“2020年我国公民科学素质提升到10%以上”的目标能够实现．
②条件不足，无法判断．理由如下：
一种情形同①，能实现目标．
另一种情形，无法判断．
因为不知道2018～2020年间我国公民的科学素质水平的增从速度是加快还是减缓，所以无法判断，2020年能否实现目标．
22．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求．
（2）①如图2，补全图形：
②证明：连接OB，OC，
∵OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，
∴AE⊥BC．
∵直线EF为⊙O的切线，
∴AE⊥EF，
∴EF∥BC；
③解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DE＝2，
设OD＝x，
∴OB＝OE＝2+x，
在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，
∴cos∠BOD＝，
∴x＝2，
∴OD＝2，OB＝4，
∴AE＝8，
在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，
∴tan∠BAD＝，
∴EF＝．
23．【解答】证明：如图，取DE的中点F，连接AF，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠ADP，
∵∠BAD＝90°，
∴AF＝DF＝DE，
∴∠ADP＝∠DAF，
∴∠AFP＝2∠ADP＝2∠DPC，
∵∠DP A＝2∠DPC，
∴∠DP A＝∠AFP，
∴AP＝AF＝DE，
∴DE＝2P A．
24．【解答】解：（1）∵y＝ax+a﹣2＝a（x+1）﹣2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A（﹣1，﹣2）；
（2）①∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴b＝﹣1×（﹣2）＝2；
②若点P（m，n）在第一象限，当n＞﹣2时，m＞0，
若点P（m，n）在第三象限，当n＞﹣2时，m＜﹣1，
综上，当n＞﹣2时，m＞0或m＜﹣1．
25．【解答】解：（1）当x＝5时，θ＝∠QMP＝130°，当x＝0时，θ＝∠QMP＝α，x＝0时和x＝5时，两个θ角为AD∥BC时的两个同旁内角，故α＝180°﹣130°＝50°，故答案为50°；
（2）①根据变量的定义，x1是自变量，x2是因变量；
故答案为：x1，x2；
②根据表格中θ的数据，从图2读出θ对应的x2的数据并列出下表：
依据上述表格数据，描点绘出下图：
③当AP＝3.5时，即x1＝3.5时，从图象看x2的值约为﹣1.87，
故答案为﹣1.87（答案不唯一）．
26．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x+m+1＝（x+1）2+m，
∴抛物线的顶点（﹣1，m），
（2）∵抛物线经过点A（m，m+1），
∴m+1＝m2+2m+m+1，
解得m＝0或﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x或y＝x2+2x﹣1．
（3）当m≥0时，如图1中，
观察图象可知：m+1≤m2+2m+m+1≤m+3，
∴m2+2m≥0且m2+2m﹣2≤0，
解得0≤m≤﹣1+．
当m＜0时，如图2中，
观察图象可知：m+1≤m2+2m+m+1≤m+3，
∴m2+2m≥0且m2+2m﹣2≤0，
解得﹣1﹣≤m≤﹣2，
综上所述，满足条件的m的值为：0≤m≤﹣1+或﹣1﹣≤m≤﹣2．
27．【解答】解：（1）①补全图形如下：
②证明：如图，连接AE，AM．
由题意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，则AM⊥BC，AM＝BC，∵旋转，
∴△DPE≌△BPN，
∴DE＝BN＝BC，∠EDP＝∠PBD．
∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°，
∴ED⊥BC，
∴ED∥AM，且ED＝AM，
∴四边形AMDE为平行四边形．
又∵AM⊥BC，
∴∠AMD＝90°，
∴四边形AMDE是矩形．
（2）答：当条件③BN＝满足时，一定有EM＝EA．
证明：与（1）②同理，此时仍有△DPE≌△BPN，
∴DE＝BN＝，DE⊥BC，
取AM的中点F，连接FE，如图所示：
∵AB＝4，则AM＝4×sin45°＝2，
∴FM＝．
∴ED∥FM，且ED＝FM，
∴四边形FMDE是平行四边形，
又FM⊥BC，
∴∠FMD＝90°，
∴四边形FMDE是矩形．
∴FE⊥AM，且F A＝FM＝，
∴EA＝EM．
故答案为：③．
28．【解答】解：（1）①的长＝＝．
如图1﹣1中，即为所求．
②作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得优弧J即为最长的弧
优弧的长＝＝，
故答案为，．
（2）如图2中，
∵M（1，），
∴tan∠MOB＝，
∴∠MOB＝60°，OM＝＝2，
当MN1⊥OB时，可得ON1＝1，此时t＝1，
当MN2⊥OM时，可得ON2＝4，此时t＝4，
观察图象可知满足条件的t的值为1≤t≤4．
（3）如图3中，当MN为直径，且NM⊥AB时，∠AOB的值最大，
在Rt△OMN中，∵sin∠AOB＝＝＝，
∴∠AOB＝30°，
观察图形可知满足条件的∠AOB的值为0°＜∠AOB≤30°。