无锡外国语学校九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）
A ．10%
B ．29%
C ．81%
D ．14.5%
2．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A ．2670x x ++=
B ．25260x x --=
C ．22270x x -=
D ．2220x x -+-= 3．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）
A ．()50166x +=
B ．()250166x +=
C ．()2501266x +=
D ．()()5011266x x ++=
4．关于x 的一元二次方程()2541
0a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠ B ．1a ≥且5a ≠ C ．1a ≥ D ．1a <且5a ≠ 5．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．2000(12)2880x +=
B ．2000(1)2880x ⨯+=
C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=
D ．22000(1)2880x +=
6．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A ．不存在实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有一个根是x
D ．有两个相等的实数根 7．当分式2369x x x --+的值为0时，则x 等于（ ） A ．3 B ．0 C ．3± D ．-3
8．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
9．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．()2001500x +=
B ．()2002001500x ++=
C ．()22001500+=x
D ．()20012500+=x
10．不解方程，判断方程23620x x --=的根的情况是（ ）
A ．无实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．以上说法都不正确
11．关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．m≤14 B ．m≥14-
且m≠2 C ．m≤14-且m≠﹣2 D ．m≥14
- 12．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ） A ．x ＝5 B ．x ＝1 C ．x 1＝5，x 2＝﹣5
D ．x 1＝1，x 2＝5 二、填空题
13．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．
14．一元二次方程2210x x -+=的一次项系数为_________．
15．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
16．写出有一个根为1的一元二次方程是______．
17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．
18．关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围______________． 19．已知a 为方程210x x -+=的一个根，则代数式2233a a -+的值为_____
20．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．
三、解答题
21．已知关于x 的方程()2
222x kx x k +=--，当k 取何值时，此方程
（1）有两个不相等的实数根；
（2）没有实数根．
22．解下列方程：
（1）2410x x --=；
（2）(4)123x x x -=-．
23．用适当的方法解方程：
（l ）2(3)26x x +=+
（2）2810x x -+=．
24．定义：若关于x 的一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．
（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．
①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；
②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．
（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由． 25．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买了这种服装x 件．
（1）填空：
26．解方程：22350x x --= （请用两种方法解方程）
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，
根据题意得，()2100181x -=，
解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．D
解析：D
【分析】
根据判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】
A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；
B 、()()2
24541261290b ac =-=--⨯⨯-=>，则方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；
C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；
D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<，则方程没有实数根，所以D 选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．D
解析：D
【分析】
根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x ），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x ），把相关数值代入即可得到相应方程．
【详解】
解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x ，
∴2月份的营业额=50×（1+x ），
∴3月份的营业额=50×（1+x ）×（1+2x ），
∴可列方程为：50（1+x ）（1+2x ）=66．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．注意
先求得2月份的营业额．
4．B
解析：B
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知得：
()
()()250
44510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
5．D
解析：D
【分析】
一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．
【详解】
解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：
2000（1+x ）2=2880．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问
题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．
6．A
解析：A
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．
【详解】
∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，
∴()()2
1410c -+⨯-+=，
解得：3c =，
∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，
故原方程中5c =，
则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】
先根据分式的值为0的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的值即可．
【详解】 依题意得：230690x x x ⎧-⎨-+≠⎩
＝， 解得x ＝−3．
故选：D
【点睛】
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】
解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：
12
x （x-1）=10， 化简，得x 2-x-20=0，
解得x 1=5，x 2=-4（舍去），
∴参加此次比赛的球队数是5队．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
9．C
解析：C
【分析】
根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
200（1+x ）2＝500，
故选：C ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．
10．C
解析：C
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60＞0，由此即可得出结论．
【详解】
解：∵在方程23620x x --=中，△=（-6）2-4×3×（2）=60＞0，
∴方程23620x x --=有两个不相等的实数根．
故选： C
【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可．
【详解】
关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，
m-2≠0,
m≠2,
△=9-4×(-1)×(m-2)≥0, m 1-4
≥, 关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，m 的取值范围是m 1-
4≥且m≠2． 故选：B ．
【点睛】
本题考查关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根的问题，关键掌握方程的定义，二次项系数不为0，含x 的最高次项的次数为2，而且是整式的方程，注意判别式使用
条件，前提是一元二次方程，还要求一般形式．
12．D
解析：D
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，
∴（x ﹣3）2＝4，
则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，
解得x 1＝5，x 2＝1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.
二、填空题
13．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答
【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全
解析：4 3 15
【分析】
利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】
解：22222425a ab b a b -+--+
=22222691152b a a b b b a b --+-+++++
=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++
=22(1)(3)15a b b --+-+
∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．
故答案为：4，3，15．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14．-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解【详解】解：一元二次方程x2－2x ＋1＝0一次项系数是：－2故答案为：－2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式准确掌握一般式中的相关概念是解
解析：-2
【分析】
根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．
【详解】
解：一元二次方程x 2 －2x ＋1＝0一次项系数是：－2．
故答案为：－2．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 15．20【分析】设每年绿化面积的增长率为x 根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x 依题意得：3000（1+x ）
解析：20%
【分析】
设每年绿化面积的增长率为x ，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设每年绿化面积的增长率为x ，
依题意，得：3000（1+x ）2=4320，
解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个只要含有因式x1的一元二次方程都有一个根是1【详解】可以用因式分解法写出原始方程然后化为一般形式即可如化为一般形式为：故答案为：【点睛】本题考 解析：20x x -=（答案不唯一）
【分析】
有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x -1的一元二次方程都有一个根是1．
【详解】
可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，
如()10x x -=，
化为一般形式为：20x x -=
故答案为：20x x -=．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．
17．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝
解析：2016．
【分析】
将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．
【详解】
解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，
即a +b ＝2016．
故答案是2016．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．且【分析】利用根的判别式b2-4ac 由于原方程有实数根那么判别式大于或等于零【详解】解：∵关于x 的方程有两个实数根且解得：且故答案为且【点睛】关于x 的方程有两个实数根（1）说明这是一个一元二次方程故 解析：k 2≤且0k ≠
【分析】
利用根的判别式b 2-4ac .由于原方程有实数根，那么判别式大于或等于零.
【详解】
解：∵关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，
2(8)480k ∆=--⋅⋅≥，且0k ≠，
解得：k 2≤且0k ≠，
故答案为k 2≤且0k ≠，．
【点睛】
关于x 的方程有两个实数根，（1）说明这是一个一元二次方程，故“二次项系数不能为0”；（2）“根的判别式△的值要大于或等于0”；这两个条件要同时满足，解题时不要忽略了第一个条件.
19．【分析】把代入已知方程求得然后将其整体代入所求的代数式求值【详解】由题意得：则所以故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义解题时注意整体代入数学思想的应用
解析：5
【分析】
把x a =代入已知方程，求得21a a =-，然后将其整体代入所求的代数式求值．
【详解】
由题意，得：210a a -+=，
则21a a =-，
所以，()2
233231323335a a a a a a -+=--+=-++=． 故答案为：5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用．
20．-1【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2mn ＝−1变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】
解析：-1
【分析】
根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．
【详解】
解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，
∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，
∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，
∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a
． 三、解答题
21．（1）54k >
； （2）54
k <． 【分析】
先化方程为一般形式，它是关于x 一元二次方程，据一元二次方程判别式和根的情况列出关于k 的不等式求解．
【详解】
方程化为：22(21)(2)0x k x k +-+-=， ∴∆22(21)4(2)1215k k k =--⨯-=-．
（1）当12150k ->，54k >
时，方程有两个不相等的实数根； （2）当12150k -<，54
k <
时，方程没有实数根． 【点睛】
此题考查一元二次方程的判别式，其关键是撑握判别式与一元二次方程根情况的关系，并据此和题意列出不等式．
22．（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-
【分析】
（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程.
【详解】
（1）2410x x --=
2445x x +=-
2(2)5x -=
则2x -=
解得12x =22x =
（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，
(4)(3)0x x -+=，
则40x -=或30x +=，
解得x 4=或x 3=-.
【点睛】
此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
23．（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】
（1）用因式分解法求解可得；
（2）用配方法求解即可．
【详解】
解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，
∴（x+3）（x+1）=0，
∴x+3=0或x+1=0，
解得：x=-3或x=-1；
（2）2810x x -+=
281x x -=-
28+1615x x -=
2(4)15x -=
4x -=
∴1x =，24x =【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
24．（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =
【分析】
（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；
②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；
（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．
【详解】
解：（1）①()22210x m x m m --+-=，
∵()()
2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
()22210x m x m m --+-=，
解得：11x m =-，2x m =，
方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．
②由①得，()1,M m m -，
令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，
∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，
当x=0时，y=1，
∴()0,1A ，
∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，
解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩
， 解得12x y =⎧⎨=⎩
， ∴()1,2B ，
∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上
∴12m ≤≤；
（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，
∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，
∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．
【点睛】
本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直
线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
25．（1）①80；②74；③25x ≥（2）20件
【分析】
（1）①如果一次性购买不超过10件，单价为80元；②用单价80元减去（13－10）×2，得出答案即可；③求出单价恰好是50元时的购买件数，即可分析得到；
（2）根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
【详解】
解：（1）①∵如果一次性购买不超过10件，单价为80元，
故填：80；
②80－（13－10）×2＝74，
故填：74；
③设购买a 件时，单价恰好是50元，
80－（a －10）×2＝50，
解得：a ＝25，
而题目中“单价不得低于50元”，
∴25x ≥时，单价是50元，
故填：25x ≥；
（2）因为1200＞800，所以一定超过了10件，
设购买了x 件这种服装且多于10件，
根据题意得出：[80－2（x －10）]x ＝1200，
解得：x 1＝20，x 2＝30，
当x ＝20时，80－2（20－10）＝60元＞50元，符合题意；
当x ＝30时，80－2（30－10）＝40元＜50元，不合题意，舍去；
答：购买了20件这种服装．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键． 26．152x =
，21x =- 【分析】
采用公式法和因式分解法求解即可．
【详解】
解：方法1：∵a =2，b =-3，c =-5，
∴2449b ac ∆=-=，
∴34x ±=
， ∴152
x =，21x =-；
方法2：()()2510x x -+=
∴ 152
x =
，21x =-． 【点睛】 本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键．。