2025届宁夏回族自治区银川市第一中学数学高三上期末达标检测模拟试题含解析

2025届宁夏回族自治区银川市第一中学数学高三上期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．
17
B ．27
C ．
13
D ．
1835
2．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住
B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%
D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 3．已知直线x y t +=与圆()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）
A ．4
B ．
28
9 C ．
329
D ．
327
4．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．4
3
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
5．若复数
221a i
i
++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．2
7．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得
2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）
A ．
118
B ．
54
C ．
14
D ．
18
8．已知集合{
}{}2
2
(,)4,(,)2x
A x y x y
B x y y =+===，则A
B 元素个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知集合{}10,1,0,12x A x
B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭
，则A B 等于（ ） A ．{}
11x x -<<
B ．{}1,0,1-
C ．{}1,0-
D ．{}0,1
10．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛
⎫
=+
∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )
A ．向左平移
8
π
个单位长度 B ．向右平移
8
π
个单位长度 C ．向左平移4
π
个单位长度 D ．向右平移
4
π
个单位长度 11．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．
12
i D ．12
i -
12．已知函数()3
2,0
log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则
3=3f f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭（ ）
A ．
2
2
B ．
12
C ．3log 2-
D ．3log 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0>ω）在区间[),2ππ上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是________. 14．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB
为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．
15．设P 、A 、B 、C 、D 是表面积为36π的球的球面上五点，四边形ABCD 为正方形，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为__________.
16．已知三棱锥A BCD -中，3AD AC BC BD ====，2AB CD ==，则该三棱锥的外接球的表面积是________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2220a ab b --=．
（1）若3C π
=
sin B C =．
（2）若23
C π
=，7c =，求ABC ∆的面积．
18．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若
1p =求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
19．（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有．．．．1套系统监测出排放超标，则
立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量单位．．．．．．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当1
2
p =
时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.
20．（12分）已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ． （1）求cosC 的值；
（2）若a ＝3，c =
△ABC 的面积．
21．（12分）设函数()(2cos )sin f x ax x x =+-，()f x '是函数()f x 的导数.
（1）若1a =，证明()f x '
在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点；
（2）在(0,)x ∈+∞上()0f x >恒成立，求a 的取值范围.
22．（10分）已知函数()()1ln f x x x x λλ⎛⎫
=+-∈ ⎪⎝⎭
R .
（1）当1x >时，不等式()0f x <恒成立，求λ的最小值； （2）设数列()*1
N n a n n =
∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24
n n n a S S -+>. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】 利用A
n P n
=
计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】
从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有2
3C 种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为23271
7
C C =.
故选：A. 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 2、D 【解析】
A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.
B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.
C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.
D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【详解】
A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.
B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.
C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.
D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误. 故选：D 【点睛】
本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3、C 【解析】
根据()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈表示圆和直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，得到4
03
t ≤≤，再利用二次函数的性质求解. 【详解】
因为()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈表示圆，
所以220->t t ，解得02t <<， 因为直线x y t +=与圆()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈有公共点，
所以圆心到直线的距离d r ≤，
即
222
t
t t ≤
-，
解得403t ≤≤
， 此时4
03
t ≤≤，
因为()()()2
24424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
递增，
所以()4t t -的最大值3432
9
⎛⎫=
⎪⎝⎭f . 故选：C 【点睛】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4、A 【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可． 【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以
PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以斜
率为
104
1314
k -=
=--，故选A ． 【点睛】
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等． 5、B 【解析】 化简复数221a i
i
++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】
221a i i ++2()(1)
1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．
故选：B ． 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 6、C 【解析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故
.
故选：. 【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7、D 【解析】
设BA a =，BC b =，作为一个基底，表示向量()
1122DE AC b a =
=-，()
33
24
DF DE b a ==-，()
1324AF AD DF a b a =+=-+-53
44
a b =-+，然后再用数量积公式求解.
【详解】
设BA a =，BC b =，
所以()
1122DE AC b a =
=-，()3324DF DE b a ==-，()
1324AF AD DF a b a =+=-+-5344
a b =-+， 所以531
448
AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8、B 【解析】
作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】
由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2x
y =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B 元素个数
为2， 故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 9、C 【解析】
先化简集合A ，再与集合B 求交集. 【详解】 因为{}10212x A x
x x x -⎧⎫
=<=-<<⎨⎬+⎩⎭
，{}1,0,1B =-，
所以{}1,0A B ⋂=-. 故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.
【解析】
由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4
f x x π
=+
cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
cos 24x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
cos 2()8
x π
=-， 因此它的图象向左平移
8
π
个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】
三角函数图象变换方法：
11、A 【解析】
由()1i z i +=得1z i
i
=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】 因为(1)i z i +=,
所以22(1)1111(1)(1)1122
1i i i i i i z i i i i i --+=
====+++-+-, 所以复数z 的虚部为
12
.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 12、A 【解析】
根据分段函数解析式，先求得f ⎝⎭
的值，再求得f f ⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值. 【详解】
依题意1
2
331log log 32f -===-⎝⎭
，1
2122f f f -⎛
⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、511,612⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】
首先根据x 的取值范围，求得6
x π
ω+
的取值范围，由此求得函数()f x 的值域，结合()f x 区间[),2ππ上的值小于0
恒成立列不等式组，解不等式组求得ω的取值范围. 【详解】
由于2,0x ππω≤<>，所以26
6
6
x π
π
π
ωπωωπ+
≤+
<+
，
由于()f x 区间[),2ππ上的值小于0恒成立， 所以22226
6
6
k x k π
π
π
ππωπωωπππ+<+
≤+
<+
≤+（k Z ∈）.
所以52266
11
21122266212k k k k k πωωππππωπππω⎧>+⎧⎪+>+⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪+≤+≤=+⎪⎪⎩
⎩
，
由于0>ω，所以511210612120k k k k ⎧
+<+
⎪⇒≤<⎨⎪≥⎩
，
由于k Z ∈，所以令0k =得511
612
ω<≤. 所以ω的取值范围是511,
612⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 故答案为：511,612⎛⎤
⎥⎝⎦
【点睛】
本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 14
【解析】
分析：设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），利用差角的正切公式，结合以AB 为直径的圆与圆x 2+（y-2）2=1相外切．且∠APB 的大小恒为定值，即可求出线段OP 的长． 详解：设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则
222
222
2
21)22
2tan ,tan ,2tan 14
1,(4,
22tan 3
2
32r a r a r
OPA
OPB t t a r a r
rt
t t APB a r t a r t a r a rt t
APB t t r r +-+∠=
∠=+--
∴∠==-+-+
+=+∴=-∴∠==-+-+
∵∠APB 的大小恒为定值， ∴t 点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 15、
643
【解析】
根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为x ，求得四棱锥P ABCD -的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值. 【详解】
由已知可得球的半径3r =，设球心到四棱锥底面的距离为x ，棱锥的高为3h x =+，底面边长为2223x ⨯-，
P ABCD -的体积()()21
2933
V x x =⨯⨯-+
()()()()()()3
33621164
33623333x x x x x x ⎡⎤++++-=++-≤=
⎢⎥⎣⎦
，当且仅当1x =时等号成立. 故答案为：64
3
【点睛】
本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题. 16、11π 【解析】
将三棱锥A BCD -补成长方体AEDF GBHC -，设AE x =，AF y =，AG z =，设三棱锥A BCD -的外接球半径为R ，求得()2
2222R x y z =++的值，然后利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】
将三棱锥A BCD -补成长方体AEDF GBHC -，设AE x =，AF y =，AG z =， 设三棱锥A BCD -的外接球半径为R ，则()2
2222R x y z =++，
由勾股定理可得222222
222949AD x y AB x z AC y z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩
，
上述三个等式全部相加得(
)222
222x y z
++=，()
2
22222411R R x y z ∴==++=，
因此，三棱锥A BCD -的外接球面积为2411R ππ=.
故答案为：11π. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2 【解析】
（1）由余弦定理及已知等式得出,c b 关系，再由正弦定理可得结论； （2）由余弦定理和已知条件解得,a b ，然后由面积公式计算． 【详解】
解：（1）由余弦定理得222222222cos 23c a b ab C a b ab a ab b b =+-=+-=--+， 由2220a ab b --=得到223c b =，由正弦定理得22sin 3sin C B =．
因为B ，()0,C π∈sin B C =． （2）由题意及余弦定理可知2249a b ab ++=，① 由2220a ab b --=得()(2)0a b a b +-=，即2a b =，②
联立①②解得b =，a =1sin 2ABC S ab C ∆==
． 【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．
18、（1）110（2）（i ）()1
11k
p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.
【解析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由
()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得
()11k
p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调
性,由单调性可求出k 的最大值 【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,
则()23
23
55
A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为1
10
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,
()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦
,
若()()12E E ξξ=,则()11k
k k k p =+--,则()1
1k
p k
-=
, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k
p f k k ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥）
（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k
<-, 311p =
-,1k
k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1
ln 3
f x x x =-（0x >）, 则()113
f x x '=
-,令()0f x '=,则13x =,
∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,
4
1.33333
≈, 4ln 43
∴>
, 又ln5 1.6094≈,
5
1.66673
≈,
5
ln 53
∴<,
∴k 的最大值为4 【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性 19、（1）25
32
；（2）不会超过预算，理由见解析 【解析】
（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为
2332333333321111()()112()()22222
C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系
统的概率为13
23119()[1()]2232
C -=，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.求得12
3(1500)(1)P X C p p ==-，1
23(900)1(1)==--P X C p p ，求得其分布列和期望()E X 29001800(1)p p =+-，对其求导，研究函数的单调性，
可得期望的最大值，从而得出结论. 【详解】 （1）
某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为
2332333333321111()()112()()22222
C C C C ⨯==++,
某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为
13
23119()[1()]2232C -=∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为192523232
+=.
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.
123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p
121233()900[1(1)]1500(1)E X C p p C p p ∴=---⨯⨯+29001800(1)p p =+-
令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈,则2
()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- 当1
(0,)3p ∈时，()0g p '>，()g p 在1(0,)3
上单调递增；
当1()1,3p ∈时，()0g p '<，()g p 在上1
(,1)3单调递减,
()g p ∴的最大值为14
()327
=g ,
∴实施此方案，最高费用为44
1009000(9001800)10115027
-+=⨯+⨯
⨯（万元）， 11501200<，故不会超过预算.
【点睛】
本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.
20、（1）23；（2． 【解析】
（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值； （2）根据余弦定理求出b ＝1或b ＝3，结合面积公式求解. 【详解】
（1）已知等式3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ，利用正弦定理化简得：3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab ，即a 2+b 2﹣c 24
3
=
ab ， ∴cosC 2222
23
a b c ab +-==；
（2）把a ＝3，c =3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab 得：b ＝1或b ＝3，
∵cosC 2
3
=
，C 为三角形内角，
∴sinC 3
==
，
∴S △ABC 12=
absinC 12=⨯3×b =b ，
则△ABC ． 【点睛】
此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.
21、（1）证明见解析（2）1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出()f x '
，再由函数()f x '
的导数可知，
函数()f x '在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，而02f π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，02f π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，可知()0f x '>在区间
,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即()f x '
在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点； （2）由题意可将()0f x >转化为sin 02cos x ax x -
>+，构造函数sin ()2cos x
F x ax x
=-+，
利用导数讨论研究其在(0,)x ∈+∞上的单调性，由min 0F >，即可求出a 的取值范围． 【详解】
（1）若1a =，则()(2cos )sin f x x x x =+-，()2sin f x x x '=-， 设()()2sin h x f x x x '==-，则()sin cos h x x x x '=--，(0)0h '=，
()sin cos ()h x x x x h x ''-=+=-，故函数()h x '是奇函数．
当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，sin 0x >，cos 0x x >，这时()0h x '<， 又函数()h x '
是奇函数，所以当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()0h x '>.
综上，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x '
单调递增；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，函数()f x '单调递减. 又2022f ππ⎛⎫'-
=-> ⎪⎝⎭，2022f ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭
， 故()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x '
在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点.
（2）sin ()(2cos )2cos x f x x ax x ⎛
⎫
=+-
⎪+⎝⎭
，由[]cos 1,1x ∈-，所以2cos 0x +>恒成立，
若()0f x >，则sin 02cos x ax x -
>+，设sin ()2cos x
F x ax x
=-+，
222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x F x a a x x x +'=-=-++++2
11132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭
. 故当1
3
a ≥
时，()0F x '≥，又(0)0F =，所以当0x >时，()0F x >，满足题意； 当0a ≤时，有1022
2F a ππ
⎛⎫=⨯-< ⎪
⎝⎭，与条件矛盾，舍去； 当1
03
a <<
时，令()sin 3g x x ax =-，则()cos 3g x x a '=-，
又31a <，故()cos 30g x x a '=-=在区间(0,)+∞上有无穷多个零点， 设最小的零点为1x ，
则当()10,x x ∈时，()0g x '>，因此()g x 在()10,x 上单调递增.
()(0)0g x g >=，所以sin 3x ax >.
于是，当()10,x x ∈时，
sin sin 2cos 3x x ax x >>+，得sin 02cos x
ax x
-<+，与条件矛盾.
故a 的取值范围是1
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题． 22、（1）12
；（2）证明见解析. 【解析】
（1）()2'
2
x x f x x λλ
-+-=，分12λ≥，102λ<<，0λ≤三种情况推理即可；
（2）由（1）可得()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦+<=
⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭
，即()()11ln 1ln 221n n n n +-<++，利用累加法即可得到证明. 【详解】
（1）由()()1ln f x x x x λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ，得()2
'
2
x x f x x
λλ-+-=. 当1
2
λ≥
时，方程20x x λλ-+-=的2140λ∆=-≤，因此2x x λλ-+-在区间()1,+∞ 上恒为负数.所以1x >时，()'
0f
x <，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递减.
又()10f =，所以函数()0f x <在区间()1,+∞上恒成立；
当102λ<<时，方程2
0x x λλ-+-=
有两个不等实根，且满足121x x =<<=
所以函数()f x 的导函数()'f x
在区间⎛ ⎝
⎭
上大于零，函数()f x 在区间
11,2λ⎛+ ⎪⎝⎭上单增，又()10f =，所以函数()f x
在区间11,2λ⎛+ ⎪⎝
⎭
上恒大于零，不满足题意； 当0λ≤时，在区间()1,+∞上()1ln ln f x x x x x λ⎛⎫
=+-≥
⎪⎝⎭
，函数ln y x =在区间()1,+∞ 上恒为正数，所以在区间()1,+∞上()f x 恒为正数，不满足题意； 综上可知：若1x >时，不等式()0f x <恒成立，λ的最小值为1
2
. （2）由第（1）知：若1x >时，()()1111ln 22x x x x x x +-⎛⎫<-
-= ⎪⎝⎭
. 若*n ∈N ，则()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
+<=
⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭
， 即()()
11ln 1ln 221n n n n +-<
++成立. 将n 换成1n +，得()()()()11
ln 11ln 121211n n n n ++-+<
+⎡⎤⎣⎦+++⎡⎤⎣⎦
成立，即
()()()()
11
ln 2ln 12122n n n n +-+<
+++，
以此类推，得()()()()
11
ln 3ln 22223n n n n +-+<
+++，
()()11
ln 2ln 212214n n n n
--<
+-，
上述各式相加，得11111ln 2ln ln 2212214n n n n n n n
-=<+++++++-， 又211
11
12
212n n S S n n n n -=++++++-，所以2ln 24
n n n a S S -+>. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.。