2018年温州育英国际实验学校8年级实验班分班考试试题卷

2018年温州育英国际实验学校8年级实验班分班考试
数 学 试 卷
温馨提示：
（1）考试时间120分钟，满分120分；
（2）本试题分试题卷和答题卷，请将选择题和填空题的正确答案填写在答题卷上的指定位置﹒
一、选择题（每小题4分，共32分）
1﹒关于x 的方程a x =--21恰有一个实数解，则a 的值是（▲） A. 0
B. －1
C. －2
D.－3
2﹒将若干个相同的小正方体，按下图规律摆放，则第6个几何体的小正方体的个数是（▲）
A. 54
B. 55
C.56
D. 57
3﹒若实数x ，y 满足1=+y x ，122+=x x ，则y x 124+的值为（▲） A. 5 B. 12
C. 13
D. 17
4﹒如果q p 1+＝1，r
q 2
+＝1，则p r 2+的值为（▲） A. -1
B ．1
C ．2
D ．3
5﹒如图，△ABC 是等边三角形，边长为m ，P 是等边三角形内一点，PD⊥BC ，PE⊥AC ，PF⊥AB ，且PD=3，PE=4，PF=5，则m 的值为（▲） A. 12
B ．24
C ．34
D ．38
第5题
6﹒方程y
x
xy x ++2＝72的正整数解有（▲）
A.3组
B ．4组
C ．5组
D ．以上答案都不对
7﹒关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+m x x x x 3
232
5
只有2个整数解，则m 的取值范围是（▲）
A.﹣
316≤m≤﹣314
B ．﹣316≤m ＜﹣314
C ．﹣316＜m≤﹣314
D ．﹣316＜m ＜﹣3
14
8﹒已知m ＞0，n ＞0，若三角形的三边长分别为22n m +，224n m +，224n m +，
则这个三角形的面积是（
）
A.mn
B.
mn 23 C. mn 2
D. mn 2
5
二、填空题（每小题5分，共30分） 9﹒平面直角坐标系中，点A 的坐标为（5，4），点B 的坐标为（1，1），则线段AB 的长 ▲ ．
10﹒已知x 、y 满足035222=--y xy x （xy≠0），则y
x
的值为 ▲ ． 11﹒若p 、q 为质数，且2622=+q p ，则
()()()
()()12
21212+++++++++q p q p p p p p ＝ ▲ ．
12﹒如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AE=BE ，EF∥CD 交AC 于点F ，交BC 的延长线于点G ，CB=4，CG=1，则AC 的长为 ▲ ．
第12题
13﹒若x 、y 、z 均为整数，且x ＋y ＝2018，z －x ＝2017，若x ＜y ，则x ＋y ＋z
的最大值为 ▲ ．
14.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为长方形，点B 的坐标为（－5，3），
D 为长方形内一动点，且OABC CDO S S 长方形31
=∆，则当DC+DO 的值最小时，点D 的
坐标为 ▲ ．
第14题
三、解答题（共5小题，58分）
15.（10分）已知()()111>=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=-x x x x x b
a
，求b a 11+的值.
16.（10分）已知实数x ，y 满足322=++y xy x ，设22y x xy S --=，求S 的最大值和最小值.
17.（12分）（1）化简232+---x x ；
（2）在如图所示平面直角坐标系中，画出函数232+---=x x y 的函数图象；
（3）借助于（2）中所画的函数232+---=x x y 的函数图象，探究：一次函数2+='kx y 的图象与函数232+---=x x y 的图象有三个不同的交点时k 的取值范围﹒（写出你的探究过程）
18.（12分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，分别以AC 、BC 为边在△ABC 外作正△ADC 和正△BEC ，连结DE ，BC 的延长线交DE 于点F ﹒
求证：DF=EF ﹒
第18题
19. （14分）已知一个正整数t ，t ＝20x ＋y （其中1≤x ≤9，0≤y ≤9，x ，y 是自然数），如果t 与其各个数位上数字之和能被19整除，那么我们称这个数t 为“梦想成真数”.求所有“梦想成真数”.
2018年温州育英国际实验学校8年级实验班分班考试
数 学 答 题 卷
一、选择题（每小题4分，共32分）
二、填空题（每小题5分，共30分）
9﹒_________________；10﹒_________________；11﹒_________________；
12﹒_________________；13﹒_________________；14﹒_________________﹒ 三、解答题（共5小题，58分）
15.（10分）已知()()111>=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-x x x x x b
a
，求b a 11+的值.
16.（10分）已知实数x ，y 满足322=++y xy x ，设22y x xy S --=，求S 的最大值和最小值.
17.（12分）（1）化简232+---x x ；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数232+---=x x y 的函数图象；
（3）借助于（2）中所画的函数232+---=x x y 的函数图象，探究：一次函数2+='kx y 的图象与函数232+---=x x y 的图象有三个不同的交点时k 的取值范围﹒（写出你的探究过程）
18.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，分别以AC、BC为边在△ABC 外作正△ADC和正△BEC，连结DE，BC的延长线交DE于点F﹒
求证：DF=EF﹒
第18题
19.（14分）已知一个正整数t ，t ＝20x ＋y （其中1≤x ≤9，0≤y ≤9，x ，y 是
自然数），如果t 与其各个数位上数字之和能被19整除，那么我们称这个数t 为“梦想成真数”.求所有“梦想成真数”.
2018年温州育英国际实验学校8年级实验班分班考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题4分，共32分）
二、填空题（每小题5分，共30分）
9﹒_________5________；10﹒________21-或3_________；11﹒_________7
6
________；
12﹒_______6__________；13﹒__________5043_______；14﹒_______（2
5
-，2）______﹒
三、解答题（共5小题，58分）
15.（10分）已知()()111>=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-x x x x x b
a
，求b a 11+的值.
【解析】由题意，得
∵()b
a
x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-11，∴()()b
b a x x x 11-=-，即()b b a x x =-+1……3分 ∵()x x a
=-1，∴()[]
b b
a
x x =-1，即()b ab
x x =-1……3分
∴()
()ab
b
a x x 11-=-+
∴ab ＝a+b ，……8分 两边同时除以ab 即b
a 1
1+＝1.……10分 16.（10分）已知实数x ，y 满足322=++y xy x ，设22y x xy S --=，求S 的最大值和最小值.
【解析】由322=++y xy x 可得()xy y x +=+32
，()xy y x 332
-=-……2分
∵()02
≥+y x ，()02
≥-y x
∴⎩
⎨⎧≥-≥+03303xy xy ，解得13≤≤-xy ……4分
又22y x xy S --=＝()()[]
()322322
22-=-+=-+-=+-xy xy xy xy y x xy y x xy
∴23
+=
S xy ……8分 ∴12
3
3≤+≤-S ，解得19-≤≤-S
∴S 的最大值为－1，最小值为－9﹒……10分 17.（12分）（1）化简232+---x x ；
（2）在平面直角坐标系中，画出函数232+---=x x y 的函数图象；
（3）借助于（2）中所画的函数232+---=x x y 的函数图象，探究：一次函数2+='kx y 的图象与函数232+---=x x y 的图象有三个不同的交点时k 的取值范围﹒（写出你的探究过程）
【解析】（1）解：①当x ≥3时，y=x -2-x+3+2=3； ②当x ≤2时，y=-x+2+x -3+2=1；
③当2＜x ＜3时，y=x -2+x -3+2=2x -3；……3分 （2）函数图象如图所示：
……7分
（3）因为一次函数2+='kx y 的图象恒过定点（0，2），观察图象可知要使两个函数图象有三个不同的交点，直线必须经过图中线段AB （不包含端点） 当直线经过点A （3，3）时，3＝3k ＋2，解得k ＝3
1
，当直线经过点B 时，直线与x 轴平行，此时k ＝0﹒
∴一次函数2+='kx y 的图象与函数232+---=x x y 的图象有三个不同的交点时k 的取值范围为3
1
0<
<k ﹒……12分
18.（12分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，分别以AC 、BC 为边在△ABC 外作正△ADC 和正△BEC ，连结DE ，BC 的延长线交DE 于点F ﹒ 求证：DF=EF ﹒
【解析】过点E 作EG ⊥BC ，过点D 作DH ⊥BF 交BF 的延长线于点H ，作DM ⊥AC ﹒
设AB ＝a ，则BC=a 21,GE=a 2
1×23＝a 43， 又AC ＝a 23，CM=a a 432321=⨯……4分
∵DM ⊥AC ，HC ⊥AC
∴DM ∥CH
由两平行线间距离处处相等，可得DH=CM=a 43……8分
又∠H=∠EGF=90°
∠DFH=∠EFG
∴Rt △DFH ≌Rt △EFG （AAS ）
∴DF=EF .……12分
19.（14分）已知一个正整数t ，t ＝20x ＋y （其中1≤x ≤9，0≤y ≤9，x ，y 是自然数），如果t 与其各个数位上数字之和能被19整除，那么我们称这个数t 为“梦想成真数”.求所有“梦想成真数”.
【解析】①当1≤x ≤4时，t ＝20x ＋y=10×2x+y
∴t 的十位数字为2x ，个位数字为y ∵19
231922219220y x x y x y x y x ++=+=+++是整数 ∴3x+2y 是19的倍数
∵1≤x ≤4，0≤y ≤9，x ，y 是自然数
∴3≤3x+2y ≤30
∴3x+2y=19
解得⎩⎨⎧==81y x 或⎩
⎨⎧==53y x ∴“梦想成真数”t 是28或65；……6分
②当5≤x ≤9时，t=20x+y=100×1+10×()y x +-102
∴t 的百位数字为1，十位数字是2x -10，个位数字是y
∵()19
92319922219102120-++=-+=+-+++y x x y x y x y x 是整数 ∴3x+2y -9是19的倍数
∵5≤x ≤9，0≤y ≤9，x ，y 是自然数
∴6≤3x+2y -9≤36
∴3x+2y -9=19
解得⎩⎨⎧==56y x 或⎩⎨⎧==2
8y x ∴“梦想成真数”t 是125或162；
综上所述所有的“梦想成真数”t 是28或65或125或162.……14分。