高考数学二轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及解析

高考数学二轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及
解析
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()()
2
2
14sin 2
x x
e x
f x e -=
+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD 【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，
()()
2
22
11
4sin =2cos 2x x x
x e x e f x x e e
-+=
+-，
定义域为R ，关于原点对称，
()2211
=2cos()2cos()()x x x x
e e
f x x x f x e e
--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1
()2sin x
x
f x e x e '=-
+， 11()2sin()=(2sin )()x x
x x f x e x e x f x e e
--''-=-
+---+=-， ()f x '∴是奇函数，
令1
()2sin x
x g x e x e
=-+， 则1
()+
2cos 2+2cos 0x x g x e x x e
'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；
对C ，1
()2sin x x f x e x e
'=-
+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又
(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()y f x ∴=在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误；
对D ，
()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数
()1,0,x Q f x x Q
∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，
从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 是周期函数
C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=
D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取
20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.
所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==；
任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.
所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.
3．已知函数()2221,0
21,0
x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）
A ．()f x 为奇函数
B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦
C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=
D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞
【答案】CD 【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】
对于A 选项，当0x >时，0x -<，则
()
22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-
所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =
所以函数221y x x =
++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)
-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增
即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <
则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误；
对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=
当0x <时，0x ->，则2
2
()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则2
2
()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；
对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x x
m x m -=⇔=
令函数()()g x f x x
=
，函数y m =
由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x
=
的图象有两个不同的交点
因为()0f x ≥
时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <
时，(,1x ∈-∞-
所以12,012,12)01
,1(x x x x x x x x x g x ⎧
++>⎪⎪
⎪
-++<⎨⎪⎪--<-⎩
=⎪
当0x >时，设1
201x x ，()()()()121212121212
111x x x x g x g x x x x x x x ---=+
--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()12121212
10
x x x x g x g x x x ---=
<，即()()12g x g x <
所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增
同理可证，函数()g x
在区间)1⎡⎣
上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增
1
1241)1
(g ++==
函数()g x 图象如下图所示
由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x
=的图象有两个不同的交点
则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；
故选：CD 【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.
4．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记
()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ）
A ．()g x 为奇函数
B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=
C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<
【答案】ABD 【分析】
根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】
由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称
因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；
假设cos 0x =，即,2x k k Z π
π=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫
++⋅==≠ ⎪⎝⎭
所以当,2
x k k Z π
π=+∈时，()0g x ≠
当,2
x k k Z π
π≠
+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-
当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--
由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；
当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数
()g x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=
所以函数在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为4个，故C 错误；
由图可知，()g x 大于1的零点123,
22
2
x x π
π
ππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.
5．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]
a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数
()21f x x =-，则（ ）
A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”
B ．1122⎡-⎢⎣⎦
是()f x 的一个“完美区间”
C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+
D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】
根据定义，当[]
0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】
对于A ，当[]
0,1x ∈时，()2
2
11f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的
范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；
对于B ，因为函数()2
10f x x =-≥，所以其值域为[
)0,+∞0<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；
对于C ，由定义域为[
]
a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()22
11f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递
减，
则满足()()2
2
11f a a b f b b a
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，
解得a b =（舍）或1a b +=， 由2
1
1
a b a b +=⎧⎨
+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为
()22b a -=；
当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]
a b ，的值域为[]
a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()2
1f b b b =-=，即满足
2
10b b --=
，解得b =
b =.
所以此时完美区间为⎡⎢⎣
⎦，则
“复区间长度”为(
)12212
b a +-=⨯
=+ ②若1a ≤，则()2
1f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]
a b ，内单调递增，若()
f x 的值域为[]a b ，，则()()2
2
11f a a a
f b b b
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，
解得1x =
，2x =，
所以a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美
区间.
综上可知，函数()2
1f x x =-的“复区间长度”
的和为213++=C 正确，
D 错误； 故选：AC. 【点睛】
本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，
()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取
值为( ) A ．1 B ．0
C ．1-
D ．2-
【答案】CD 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】
因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，
0x ≥时，()x f x e x b =+-，
显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，
由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立，
即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -
当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4
sin 3
x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
7．已知函数()221,0log 1,0
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数可
能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4
【答案】ACD 【分析】
先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22
210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再
数形结合，得到答案. 【详解】
画出()f x 的图象如图所示：
令()t f x =，则22210t t a -+-=，则2
4(2)a ∆=-，
当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，
即方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；
当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤
故211212a <+-≤212121a ≤-<，
当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+
，则x 有2解，
故方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；
故选：ACD 【点睛】
本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.
8．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常
数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0
x x >时，总有()()()()00f x h x m
h x g x m ⎧<-<⎪⎨
<-<⎪⎩
，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}
|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）
A ．()2
f x x =，()
g x =
B ．()10
2x
f x -=+，()23
x g x x
-=
C ．()21
x f x x
+=，()ln 1ln x x g x x +=
D ．()221
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--
【答案】BD 【分析】
根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】
解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，
()()0,()()f x g x f x g x -→>．
对于①，()2
f x x =，()
g x =
当1x >时，令()()()2
F x f x g x x =-=，
由于()20
F x x '=-
>，所以()h x 为增函数，
不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()10
22x
f x -=+>，()23
2,(1)x g x x x
-=
<> ()()f x g x ∴>，
2313
()()10210x
x x f x g x x x
--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，
因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；
对于③，21
()x f x x
+=，ln 1()ln x x g x x +=，
21111111
()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x
++-=-=+--=-
当1x >且x →∞时，
1x 与1ln x 均单调递减，但1x
的递减速度比1
ln x 快，
所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；
对于④，22()1
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--，
当x →∞时，
22()()220+1222
+1x x x f x g x x e x x e
--=-+++=→，且()()0f x g x ->，
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】
本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.
9．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则
b a a b
> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11
a b
+的最小值为4 C ．己知()11212
x
f x =
-+，且()()2
110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()
2
2log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
(]11,6--
【答案】BCD 【分析】
利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与
11
a b
+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式
()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等
式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，0a b >>，则1a b
b a
>>，A 选项错误； 对于B 选项，
0a >，0b >，1a b +=，
(
)1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12a b ==
时，等号成立，所以，11
a b
+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，
()()()()
2112121
2121
1111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，
即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，
()()()()
2211112212221212x
x
x x x f x -+-=-==+++，
则()()()()()
()2121221
2122212221x x x x x x x x
f x f x --------====-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()(
)2
110f a f a
-+-<可得()()()2
2
111f a f a f a
-<--=-，
所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()
2
2log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，
由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，
所以min 16380
a
u a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.
故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
10．下列结论正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的定义域为[]
1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数
()1f x +的值域为[]2,3
C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是
()0,3
D ．已知函数()2
3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数
根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数
()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, ()y f x =的定义域为[]
1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为
[]0,1，故正确；
对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相
同，故错误；
对于C, 函数2
()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需
(2)0
(1)0
g g >⎧⎨
->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2
3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，
由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或
9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，
综上知方程()10f x a x
--=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2
3f x x x
=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.
11．已知函数221,0
()log ,0
x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说
法中，正确的是（ ） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点
C ．当10k >>，有4个零点
D ．当4k =-时，有7个零点
【答案】ABD 【分析】
令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数
()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数2
1y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2
k
x =
对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12
t =
，由()1
2f x =可知，此时x 只有一
解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12
t =
，由()1
2f x =可知，此时x 有3个
解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；
对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112
t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由
()1
2
f x =
可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正
确； 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．
12．函数
()()
1
x
f
x x R
x
=∈
+，以下四个结论正确的是（）
A．()
f x的值域是()
1,1
-
B．对任意x∈R，都有
()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
C．若规定()()()()
()
11
,
n n
f x f x f x f f x
+
==，则对任意的()
,
1
n
x
n N f x
n x
*
∈=
+ D．对任意的[]1,1
x∈-，若函数()21
2
2
f x t at
≤-+恒成立，则当[]1,1
a∈-时，2
t≤-或2
t≥
【答案】ABC
【分析】
由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.
【详解】
由函数解析式可得
1
1,0
1
()
1
1,0
1
x
x
f x
x
x
⎧
-≥
⎪⎪+
=⎨
⎪-<
⎪-
⎩
，有如下函数图象：
∴()
f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；
对于C，有()
11
x
f x
x
=
+，若
()
1
,
1(1)
n
x
n N f x
n x
*
-
∈=
+-，
∴当2
n≥时，
1
1(1)||
()(())
1||
1||
1(1)||
n n
x
x
n x
f x f f x
x n x
n x
-
+-
===
+
+
+-
，故有
(),1n x
n N f x n x
*∈=
+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2
f x f ==
，若函数()2
122f x t at ≤-+恒成立，即有
211
222
t at -+
≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；
0t =时，()0h a 故恒成立；
0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；
综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：
1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.
2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.
3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.
13．设函数ln(2),2
()1,2
x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有
（ ）
A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根
B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根
C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根
D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.
【详解】
作出函数()f x 的图象：
令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；
当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，
，方程1()f x t =有1个根，方程
2()f x t =有2个根，所以A 错误；
②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，
由()0g t =，得1221t t ==-，，
由2122t x x ==--12x x ⇒=
由223412t x x x x =-=--⇒=
=所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，
设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，
， 2
2
()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+2329
4
m m --≥
， 221329329144m m m m t m -----=---2325
4
m m --+=
， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以21325
4
m m t --+>
， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，
所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，
当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；
当20()t f x ==，得121
3x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，
352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.
14．下列函数求值域正确的是（ ）
A ．()1f x x =+的值域为[2)+∞，
B ．222
()1
x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，
C ．()h x =
(0
D ．()w x =的值域为[2
【答案】CD 【分析】
()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；
2(1)11
()(1)11
x g x x x x ++==++
++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；()1111
h x x x x x =
+--=
++-利用单调性即可判断选项C ；()w x 定
义域为[31]
-，，将()13w x x x =-++两边平方可得()2
22(1)44w x x =-+++，
由于()0w x >，可得()22(1)44w x x =-+++，求出2
(1)t x =-+的范围即可求()
w x 值域，可判断选项D. 【详解】
对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=++-=-<≤⎨⎪->⎩
，，
，， 其图象如图，原函数值域为[3)+∞，
，故选项A 不正确，
对于选项B ：2(1)11
()(1)11
x g x x x x ++==++
++，定义域为{}|1x x ≠-， 当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫
-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 所以1
(1)21x x ++
≤-+，当且仅当1(1)1
x x -+=-+即2x =-时等号成立， 当1x >-时，10x +>，此时11
(1)(1)211
x x x x ++
≥+⨯=++，当且仅当1
11
x x +=
+即0x =时等号成立， 所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，
，，故选项B 不正确； 对于选项C ：()h x 的定义域为[1
)+∞，，
()
h x ==
=
，
因为y =
y =[1)+∞，
上是增函数，所以y =
[1)+∞，上是增函数，又y =[1)+∞，上恒不等于0，
则
y =
在[1
)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()1h =
又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(0，故选项C 正确；
对于选项D ：()w x 的定义域为[31]
-，，
()w x ==
=
===
设2
(1)t x =-+，则[40]t ∈-，
，[]0,4，[]44,8∈，
则()2,w x ⎡=⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确， 故选：CD 【点睛】
方法点睛：求函数值域常用的方法
（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；
（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为
R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；
（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；
（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；
（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如
222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如
y Ax =+22
ax bx c y dx ex f
++=++的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如
()()()()2
0F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；
（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；
（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
15．已知函数()2,0
21,0
x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（ ）
A ．()f x 的值域为()1,-+∞
B ．当0a ≤时，()()
2
1f x f x >+
C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=
D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】
A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；
B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；
C ．作出
222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；
D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出
a 是否有解，并判断结论是否正确.
【详解】
A ．当0x >时，21011x
y -=->-=-，当0x ≤时，2
22
24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭，取2a =，此时()2
111y x =+-≥-，
所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；
B ．当0a ≤时，2
22
24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在
(],0-∞上单调递减，
又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，
又因为2
2131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝
⎭，所以21x x +>，所以()()
21f x f x >+，故B 正
确；
C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：
由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2
y x ax =-+与21x y -=-相
交于()00,x y ，
因为点()00,x y 在函数2
y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2
y x ax =+的图
象上，
所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，
所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；
D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()2
11,0x
y -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，
且22
,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭
，若方程有三个根，则有2
4a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，
所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】
思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.
16．已知函数2
2(2)log (1),1()2
,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根
1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m <≤
B ．11sin cos 0x x ->
C ．3441x x +>- D
．22
12log m
x x ++10
【答案】ACD 【分析】
画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】
画出()f x 的图象如下图所示，
由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12
122,42
x x x x +=-+=-， 由(
)
()2
2221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，
所以1232,21x x -≤<--<≤-，
3324π-<-
<-，当134x π=-
时，1212sin cos ,sin cos 02
x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2
22
1x m x +=≤-，()2
2log 2
log 1x m m m +==，()2
2log 21m x +=，
(
)2
22log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，
所以()
2
11log 22m x =
+
，或()2
21log 22m x =
+，
故()()
2
222
12112
11
log 422m x x x x x ++=+--+
+
()()
2
12
1122881022x x =++
+≥=+，
当且仅当()()
2
112
11
522,222x x x +=
=-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，
()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111
x x x x +=
=-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或1
2
x =-，
由()()2log 121
x x +=>-，解得3x =或34
x =-， 所以3431
,1342
x x -
≤<-<≤， ()34333311
44145111
x x x x x x +=+
-+=-+++ ()3321511
41
x x +≥+⋅
-=-①. 令()()21134,1,142
1x x x x +=
==-++或12x =-，
所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD
【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.
17．已知函数2
ln(1),0
()21,0
x x f x x ax x +≥⎧=⎨
-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根
B ．当
1515
22
a --+<<
时，方程有2个根 C ．当 15
a --=
时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】
先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或
()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.
【详解】
解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]
()1()0f x f x a --=，故()1f x =或
()f x a =.
函数2
ln(1),0()21,0
x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2
220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式
()()411a a ∆=+-.
（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：
由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程
()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，
1a =时已知方程有1个根；
（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：
10a -<<时，函数()f x 图象如下：
由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；
（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.
下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15
2
a -<， 故当15
a --<
时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当15
a --=
21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知
方程有3个根；
1a <<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.
综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 1a <<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当
a =
3个根，C 正确；当 4a ≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：
本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.
18．一般地，若函数()f x 的定义域为[]
,a b ，值域为[]
,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结
论正确的是（ ）
A ．若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间，则2b =
B ．函数()1
1f x x
=+
存在跟随区间
C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
D ．二次函数()2
12
f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】
根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】
对A, 若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间,因为()2
22f x x x =-+在区间[]
1,b 为增
函数,故其值域为2
1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2
22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1
b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+
在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1
1f x x
=+存
在跟随区间[],a b则有
1
1+
1
1+
a
b
b
a
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
,
解得：
1
2
1
2
a
b
⎧-
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
.
故存在, B正确.
对C, 若函数(
)
f x m
=[],a b,因为(
)
f x m
=,故由
跟随区间的定义可知
b m
a b
a m
⎧=-
⎪
⇒-=
⎨
=
⎪⎩
a b
<
即(
)()()
11
a b a b a b
-=+-+=-,因为a b
<,
1
=.
易得01
≤<.
所以(1
a m m
=-=--,
令t=20
t t m
--=,
同理
t=20
t t m
--=,即20
t t m
--=在区间[]
0,1上有两根不相等的实数根.
故
140
m
m
+>
⎧
⎨
-≥
⎩
,解得
1
,0
4
m
⎛⎤
∈- ⎥
⎝⎦
,故C正确.
对D,若()2
1
2
f x x x
=-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b,值域为[]
3,3
a b.当
1
a b
<≤时,易得()2
1
2
f x x x
=-+在区间上单调递增,此时易得,a b为方程2
1
3
2
x x x
-+=的两根,求解得0
x=或4
x=-.故存在定义域[]
4,0
-,使得值域为[]
12,0
-.故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
19．已知()
()
()
5
2
log1,1
22,1
x x
f x
x x
⎧-<
⎪
=⎨
--+≥
⎪⎩
，则关于x的方程
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
()1
a<的实根
个数可能为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】
画出()
f x的图像，由1
a<，可分类讨论01
a
<<，0
a=，0
a<三种情况，令
1
2
t x
x
=+-，并画出图像，结合两个函数图像以及
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
，判断出实根个数
构成的集合. 【详解】
画出()f x 的图像如图所示，令1
2t x x
=+
-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5
t t =-=
，由()2
221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()2
2201t t --+=≥，解得922t =+. （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或4
05
t <<或322t <<+，结合12t x x =+
-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，4
05
t <<或322t <<+时每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或22t =+，0t =有一个1x =与其对应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合1
2t x x
=+
-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时1
2f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
有2个实数根.
综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-=
⎪⎝⎭
的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC。