上海市控江中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市控江中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学
试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、单选题
三、解答题
17．已知函数()
23log 9y x =-的定义域为集合A ，集合[]2,2B a a =-+．
且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．
(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合{}12345
,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n
A a a a =L 是“可分集合”，证明n 是奇数．
显然符合题意；
当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合，显然符合题意.
综上所述，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.
（2）证明：不妨设123450a a a a a <<<<<，
若去掉元素2a ，将集合{}1345
,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②，
若去掉元素1a ，将集合{}2345
,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，
由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =-，矛盾，
由②③得12a a =-矛盾，由②④得12a a =矛盾，
故当5n =时，集合A 一定不是“可分集合”．。