最新广东中考考前模拟检测《数学试卷》含答案解析

广 东 中 考 全 真 模 拟 测 试
数 学 试 卷
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.6的相反数为( )
A. -6
B. 6
C. 16-
D. 16 2.如图，直线//a b ，直线c 与直线a 、b 都相交，1115︒∠=，则2∠（ ）
A . 125°
B. 115°
C. 65°
D. 25° 3.下列式子计算正确的是（ ）.
A. 326a a a ⋅=
B. ()235a a =
C. 623a a a ÷=
D. 3332a a a += 4.如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D. 5.若一组数据4，1，7，x ，5的平均数为4，则这组数据的中位数为( )
A. 7
B. 5
C. 4
D. 3
6.已知326a b a b -=⎧⎨-=⎩
，则+a b 等于（ ） A. 1
B. 3
C. -1
D. -3 7.将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为【 】
A. ()2y x 2=-
B. ()2y x 26=-+
C. 2y x 6=+
D. 2y x =
8.如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为N ，如果∠MNB=52°，则∠NOA 的度数为( )
A. 76°
B. 56°
C. 54°
D. 52°
9.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. ac ＜0
B. b ＜0
C. 24b ac -＜0
D. a b c ++＜0 10.如图，正方形ABCD 内接于圆O ，4AB =，则图中阴影部分的面积是（ ）.
A. 416π-
B. 3216π-
C. 1632π-
D. 816π-
第二部分非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11.函数2y x =-x 的取值范围是_____．
12.截止到2018年5月31日，上海世博园共接待游客约8000000人，将数8000000用科学记数法表示为________.
13.计算：22
a b a b a b
-=--____________ 14.如图，已知菱形ABCD ，60B ︒∠=，4AB =，则AC =________.
15.阅读理解：引入新数i ，新数i 满足分配律，结合律，交换律.已知21i =-，那么(1)(1)i i +⋅-=________. 16.在平面直角坐标系中，四边形AOBC 为矩形，且点C 坐标为（8,6），M 为BC 中点，反比例函数k y x
=（k 是常数，k≠0） 的图象经过点M ，交AC 于点N ，则MN 的长度是________.
三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解方程：104(3)22x x --=-
18.如图，AC 和BD 相交于点0，OA=OC ,
OB=OD ，求证：DC//AB
19.已知代数式：2()2()A a b a a b =+-+.
（1）化简A ； （2）已知2(1)20a b -++=，求A 的值.
20.为了传承中华优秀传统文化,市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动,某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛,赛后对全体参赛学生的成绩进行整理,得到下列不完整的统计图表.
请根据所给信息,解答以下问题:
(1)表中a = ___ ；b =____
(2)请计算扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数;
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩,其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学,学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.
21.如图，直线y mx n =+与双曲线k y x
=相交于(1,2)A -，(2,)B b 两点，与y 轴相交于点C .
（1）求m ，n 的值；
（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD 的面积.
22.如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求ACB ∠的度数；
（2）已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.（参考：2 1.414
≈、3 1.732≈）
23.如图，在△ABC 中，∠C=90°
（1）利用尺规作∠B 的角平分线交AC 于D ，以BD 为直径作⊙O 交AB 于E （保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在（1）的条件下，连接DE
①求证：CD=DE ；
②若sinA=35
，AC=6，求AD ．
24.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半园于点D ，交AC 于点E ，连接DA ，DC .已知半圆O 的半径为3，2BC =.
（1）求AD 的长.
（2）点P 是线段AC 上一动点，连接DP ，作DPF DAC =∠∠，PF 交线段CD 于点F .当DPF 为等腰三角形时，求AP 的长.
25.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+
53
x+c 图象经过点C （0，2）和点D （4，﹣2）．点E 是直线y=﹣13
x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E 的坐标．
（2）如图①，若点M 是二次函数图象上的点，且在直线CE 的上方，连接MC ，OE ，ME ．求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标．
（3）如图②，经过A 、B 、C 三点的圆交y 轴于点F ，求点F 的坐标．
答案与解析
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.6的相反数为( )
A. -6
B. 6
C. 1
6- D. 16 【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义进行求解.
【详解】6的相反数为：﹣6．故选A.
【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
2.如图，直线//a b ，直线c 与直线a 、b 都相交，1115︒∠=，则2∠（ ）
A. 125°
B. 115°
C. 65°
D. 25°
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补求解即可.
【详解】∵直线a ∥b ，
∴∠1+∠2=180°．
∵1115︒∠=
∴∠2=180°
-∠1=180°-115°=65°. 故选C
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
3.下列式子计算正确的是（ ）.
A. 326a a a ⋅=
B. ()235a a =
C. 623a a a ÷=
D. 3332a a a +=
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘，同底数幂相除，底数不变指数相减，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A 、a 3•a 2=a 3+2=a 5，故本选项错误；
B 、（a 3）2=a 3×2=a 6，故本选项错误；
C 、a 6÷a 2=a 6-2=a 4，故本选项错误；
D 、a 3+a 3=2a 3，故本选项正确．
故选D ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，合并同类项法则，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
4.如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：从左面看可得到上下两个相邻的正方形．
故选A ．
考点：简单组合体的三视图．
5.若一组数据4，1，7，x ，5的平均数为4，则这组数据的中位数为( )
A. 7
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平均数为4求出x 的值，然后根据中位数的概念进行求解即可.
【详解】数据4，1，7，x ，5的平均数为4，
417x 545
++++∴=， 解得：x 3=，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故选C ．
【点睛】本题考查了平均数和中位数，熟知平均数和中位数的求解方法是解题的关键.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6.已知326a b a b -=⎧⎨
-=⎩，则+a b 等于（ ） A. 1
B. 3
C. -1
D. -3 【答案】B
【解析】
【分析】
运用加减消元法求解方程组，再把a ，b 的值代入，即可求出所求式子的值．
【详解】326a b a b -=⎧⎨-=⎩
①②， ①×
2-②得，-b=0， ∴b=0,
把b=0代入①得，a=3，
∴a+b=3+0=3.
故选B.
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 7.将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为【 】
A. ()2y x 2=-
B. ()2y x 26=-+
C. 2y x 6=+
D. 2y x =
【答案】D
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则，
将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位所得直线解析式为：()2
2y x 113y x 3=-++⇒=+； 再向下平移3个单位为：22y x 33y x =+-⇒=．故选D ．
8.如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为N ，如果∠MNB=52°，则∠NOA 的度数为( )
A. 76°
B. 56°
C. 54°
D. 52°
【答案】A
【解析】
【分析】 先利用切线的性质得90ONM ∠=︒，则可计算出38ONB ∠=︒，再利用等腰三角形的性质得到38B ONB ∠=∠=︒，然后根据圆周角定理得ONA ∠的度数.
【详解】解：∵MN 是⊙O 的切线，
∴ON NM ⊥，
∴90ONM ∠=︒，
∴905238ONB ONM MNB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∵ON OB =，
∴38B ONB ∠=∠=︒，
∴276NOA B ∠=∠=︒，
故答案为A.
【点睛】考查了圆周角定理和切线的性质.关键是利用圆的切线垂直于经过切点的半径解题.
9.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. ac ＜0
B. b ＜0
C. 24b ac -＜0
D. a b c ++＜0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向确定a ，根据抛物线与y 轴的交点确定c ，根据对称轴确定b ，根据抛物线与x 轴的交点确定b 2-4ac ，根据x=1时，y ＞0，确定a+b+c 的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a ＞0，
∵抛物线交于y 轴的正半轴，
∴c ＞0，
∴ac ＞0，A 错误；
∵-2b a
＞0，a ＞0， ∴b ＜0，∴B 正确；
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b 2-4ac ＞0，C 错误；
当x=1时，y ＞0，
∴a+b+c ＞0，D 错误；
故选B ．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．
10.如图，正方形ABCD 内接于圆O ，4AB =，则图中阴影部分的面积是（ ）.
A. 416π-
B. 3216π-
C. 1632π-
D. 816π-
【答案】D
【解析】
【分析】 连接OA 、OB ，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°
2，根据阴影部分的面积=S ⊙O -S 正方形ABCD 列式计算可得．
【详解】连接OA 、OB ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴OA=ABcos45°=4×222， 所以阴影部分的面积=S ⊙O -S 正方形ABCD =π×（2）2-4×4=8π-16．
故选D ．
【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．
第二部分非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11.函数2y x =-x 的取值范围是_____．
【答案】2x ≥
【解析】
【
分析】
根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】依题意，得20x -≥，
解得：2x ≥， 故答案为2x ≥．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
12.截止到2018年5月31日，上海世博园共接待游客约8000000人，将数8000000用科学记数法表示为
________.
【答案】6810⨯
【解析】
【分析】 科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】8 000 000=8×106．
故答案为8×106．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.计算：
22
a b
a b a b
-=
--
____________
【答案】+
a b
【解析】
【分析】
按照同分母分式的减法法则计算即可.
【详解】原式=
22()()
a b a b a b
a b a b a b
-+-
==+ --
.
【点睛】此题考查同分母分式的减法法则和平方差公式，解题关键在于掌握运算法则14.如图，已知菱形ABCD，60
B︒
∠=，4 AB=，则AC=________.【答案】4 【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB=BC，再根据等边三角形的判定和性质得出AC的长. 【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC ∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∵AB=4，
∴AC=4.
故答案为4.
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾等边三角形的判定和性质等知识，根据已知得出△ABC 是等边三角形是解题关键．
15.阅读理解：引入新数i ，新数i 满足分配律，结合律，交换律.已知21i =-，那么(1)(1)i i +⋅-=________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：原式=1-i 2=1-（-1）=2
故答案为2
【点睛】本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义．
16.在平面直角坐标系中，四边形AOBC 为矩形，且点C 坐标为（8,6），M 为BC 中点，反比例函数k y x
=（k 是常数，k≠0） 的图象经过点M ，交AC 于点N ，则MN 的长度是________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据矩形的性质，可得M 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得N 点坐标，根据勾股定理，可得答案．
【详解】由四边形AOBC 为矩形，且点C 坐标为（8，6），M 为BC 中点，得
M （8，3），N 点的纵坐标是6．
将M 点坐标代入函数解析式，得
k=8×3=24，
反比例函数的解析是为y=24x
，
当y=6时，24x =6，解得x=4，N （4，6）， NC=8-4=4，CM=6-3=3，
MN=2222345NC CM +=+=.
故答案是：5.
【点睛】考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M 点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出N 点坐标，勾股定理求MN 的长．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解方程：104(3)22x x --=-
【答案】4x =
【解析】
【分析】
方程去括号，移项合并，将x 系数化为1，即可求出解．
【详解】原方程可化为：1041222x x -+=-
∴42222x x --=--
∴624x -=-
∴4x =
故原方程的解为：4x =
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
18.如图，AC 和BD 相交于点0，OA=OC, OB=OD ，求证：DC//AB
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据SAS 可知△AOB ≌△COD ，从而得出∠A=∠C ，根据内错角相等两直线平行的判定可得结论.
【详解】∵OA=OC ，∠AOB=∠COD ，OB=OD ，
∴△AOB ≌△COD （SAS ）.
∴∠A=∠C.
∴AB ∥CD.
考点：1.全等三角形的的判定和性质；2.平行的判定．
19.已知代数式：2()2()A a b a a b =+-+.
（1）化简A ；
（2）已知2(1)0a -+=，求A 的值.
【答案】（1）22b a -；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案；
（2）首先利用偶次方以及二次根式的性质得出a ，b 的值，进而代入求出答案．
【详解】（1）()()2
2A a b a a b =+-+ 222222a ab b a ab =++--
22b a =-
（2）∵()2
10a -=
∴10a -=，20b +=
解得：1a =，2b =-
所以()2222213A b a =-=--=
【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及偶次方的性质等知识，正确化简是解题关键．
20.为了传承中华优秀传统文化,市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动,某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛,赛后对全体参赛学生的成绩进行整理,得到下列不完整的统计图表.
请根据所给信息,解答以下问题:
(1)表中a = ___ ；b =____
(2)请计算扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数;
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩,其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学,学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.
【答案】（1）0.3，45；（2）108︒；（3）16
【解析】
【分析】
（1）根据频数的和为样本容量，频率的和为1，可直接求解；
（2）根据频率可得到百分比，乘以360°即可；
（3）列出相应的可能性表格，找到所发生的所有可能和符合条件的可能求概率即可. 【详解】（1）a=0.3，b=45
（2）360°
×0.3=108° （3）列关系表格为：
由表格可知，满足题意的概率为：16
. 考点：1、频数分布表，2、扇形统计图，3、概率
21.如图，直线y mx n =+与双曲线k y x
=相交于(1,2)A -，(2,)B b 两点，与y 轴相交于点C .
（1）求m ，n 的值；
（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD 的面积.
【答案】（1）1m =-，1n =；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）由题意，将A 坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m 与n 的值；
（2）得出点C 和点D 的坐标，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）把1x =-，2y =；2x =，b y =代入y k x =
， 解得：2k =-，1b =-；
把1x =-，2y =；2x =，1y =-代入y mx n =+，
解得：1m =-，1n =；
（2）直线1y x =-+与y 轴交点C 的坐标为()0,1，
所以点D 的坐标为()0,1-，
点B 的坐标为()2,1-，
所以ABD 的面积()()1111232
=⨯+⨯+= 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象的性质．
22.如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求ACB ∠的度数；
（2）已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.（参考：2 1.414≈、3 1.732≈）
【答案】（1）30°；（2）货船继续向正东方向行驶无触礁危险.
【解析】
【分析】
（1）在△ABP 中，求出∠CAB 、∠CBA 的度数即可解决问题；
（2）作CD ⊥AB 于D ．求出CD 的值即可判定.
【详解】（1）∵CAB 30︒∠=，ABC 120︒∠=，
∴ACB 180CAB ABC 30︒︒∠=-∠-∠=.
（2）过点C 作CD AB ⊥于D ，
由题意30CAB ︒∠=，30BCD ︒∠=，30ACB ︒∠=，
∴ACB CAB ∠=∠，
∴BC AB =,
∴124122
BC AB ==⨯=（海里）,
在Rt BCD中，cos
CD BCD
BC
∠=,
∴
3
cos30126310.392
CD BC︒
=⋅=⨯=≈,
∵10.3929
>.
所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
23.如图，在△ABC 中，∠C=90°
（1）利用尺规作∠B 的角平分线交AC于D，以BD为直径作⊙O交AB于E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在（1）的条件下，连接DE
①求证：CD=DE；
②若sinA=
3
5
，AC=6，求AD．
【答案】（1）作图见解析；（2）①证明见解析；②AD=
15
4
．
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的作法得出∠B的角平分线BD，根据线段垂直平分线的作法作出线段BD的垂直平分线，交BD于点O，以O为圆心，以OB长为半径作圆即可；
（2）根据直径所对的圆周角为直角可得∠BED=90°，再由角平分线的性质可得CD=DE；在Rt△ADE中，
sinA=
DE AD =
3
5
，设DC=DE=3x，AD=5x，根据AC=AD+DC列出方程求得x的值，即可求得AD的长．
【详解】解：（1）如图即为所求：
（2）①∵BD为O的直径∴∠BED=90°，又∵∠C=90°∴DE⊥AB，DC⊥BC
又∵BD平分∠ABC
∴DE=DC
②在Rt△ADE中，sinA=DE AD
∵sinA=3 5
∴DE AD
=
3
5
设DC=DE=3x，AD=5x ∵AC=AD+DC
∴3x+5x=6
x=3 4
AD=5x=5×3
4
=
15
4
24.如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半园于点D，交AC于点E，连接DA，DC.已知半圆O的半径为3，2
BC .
（1）求AD的长.
（2）点P 是线段AC 上一动点，连接DP ，作DPF DAC =∠∠，PF 交线段CD 于点F .当DPF 为等腰三角形时，求AP 的长.
【答案】（1）26AD =；（2）当DPF 为等腰三角形时，AP 的长为0或5或826-.
【解析】
【分析】
（1）先求出AC ，进而求出AE=4，再用勾股定理求出DE 即可得出结论； （2）分三种情况，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论．
【详解】（1）如图，连接OD ，∵3OA OD ==，2BC =，
∴8AC =，
∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴142
AE AC ==， ∴1OE AE OA =-=，
在Rt ODE △中，220022DE D E =-=；
在Rt ADE 中，2226AD AE DE =+=；
（2）①当DP DF =时，如图，
点P 与A 重合，F 与C 重合，
则0AP =；
②当PF DF =时，如图，
∴FDP FPD ∠=∠，
∵DPF DAC C ∠=∠=∠，∴DAC PDC
∽,
∴PC CD CD AC
=，
∴
26
8
26
=，
∴5
AP=,
③当DP PF
=时，如图，
∴CDP PFD
∠=∠，
∵DE是AC
的垂直平分线，DPF DAC=∠∠，∴DPF C∠=∠，∴PDF CDP∠=∠，∴PDF CDP∽，∴DFP DPC∠=∠，∴CDP CPD∠=∠，∴826AP AC CP AC CD AC AD=-=-=-=-综上所述：当DPF为等腰三角形时，AP的长为0或5或826-.
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，判断出△PDF∽△CDP和△DAC∽△PDC是解本题的关键．
25.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+
5
3
x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣
1
3
x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=21
4
，M坐标为（
3
2
，3
）；（3）F坐标为（0，﹣
3
2
）．
【解析】
【分析】
1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；
（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF 相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．
【详解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
20
162
3
2
a c
c
⎧
++=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
2
a
3
2
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，即二次函数解析式为y=﹣
2
3
x2+
5
3
x+2，
联立一次函数解析式得：
2
2
25
2
33
y x
y x x
﹣
﹣
=+
⎧
⎪
⎨
=++
⎪⎩
，
消去y得：﹣
1
3
x+2=﹣
2
3
x2+
5
3
x+2，
解得：x=0或x=3，
则E（3，1）；
（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，
设M（m，﹣2
3
m2+
5
3
m+2），则H
（m，﹣
1
3
m+2），
∴MH=（﹣
2
3
m2+
5
3
m+2）﹣（﹣
1
3
m+2）=﹣
2
3
m2+2m，
S四边形COEM=S△OCE+S△CME=
1
2
×2×3+
1
2
MH•3=﹣m2+3m+3，
当m=﹣
a
b
=
3
2
时，S最大=
21
4
，此时M坐标为（
3
2
，3）；
（3）连接BF，如图②所示，
当﹣
2
3
x2+
5
3
x+20=0时，x1
5+73
x2
5-73
∴
73-5
，
5+73
，
∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴
OA OC
OF OB
=，即
73-5
4
5+73
OF
=，
解得：OF=
3
2
，
则F坐标为（0，﹣
3
2
）．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。