高校理工类数学插值求积公式教学课堂讲解

四、求积方法
实际计算中常用的插值求积公式主要有以上三种。不过， 如果积分区间比较大，直接使用这些求积公式，精度就难 以保证。通常采取的办法是细分求积区间的方法。
细分求积区间：取步长h=(b–a)/n分(a,b)为n等分，分点为：
xk=a+kh k=0,1,2,…,n
然后对每个分段(xk-1, xk)，使用上述求积公式得到积分近似
这时求积公式含有三项： 为了计算求积系数λ0，λ1，λ2，我们作变换
三点公式
取t作为新的积分变量，则有
三点公式
于是，三点公式的实际形式是
此即辛卜生(Simpson)公式。
三、五点公式
除端点a，b及中点c外， 再增加结点d=a+(b– a)/4与e=a+3(b–a)/4 （如图），用类似于 前面的方法不难导出 下列柯特斯(Cotes)公 式：
n
2
( 2 ) S S f ( a jh ) j 1,2 ,... n ;
(3) S hS 3 .输出 S
2、复化Simpson求积公式
复化形式的辛卜生公式： 每个子区间(xk-1, xk)的中点记为xk-1/2，则复化的辛卜 生公式为：
复化Simpson求积公式的推导
复化Simpson公式类似于梯形公式：
值Ik，并取其和值
作为整个区间上的积分近似值，
这种求积方案称作复化求积法。
1、复化梯形求积公式
a ab b 2
复化形式的梯形公式是
T (h ) a b ( f (a ) f (b )) 2
ab
T ( h ) 2 ( f (a ) f ( a b ))
22
2
ab
2 ( f ( a b ) f (b ))
所以
b
n
f ( x ) dx
a
S j RT [ f ,h]
j 1
而
n
Sj
j 1
h 2
n
( f ( x j1 )
j 1
f (x j))
h
( f (a) 2
f ( x1)
f ( x1 )
f ( x 2 ) ...
f ( x n 1 ) f ( b ) f ( b ) f ( b ))
则必存在一点 （ a, b）使得
f '' ( )
1 n
n j 1
f '' ( j )
故 RT
[
f
, h]
h3 12
nf
'' (
)
(b
a)h2 12
f '' ( )
定步长复化梯形求积公式算法
1 .输入 a , b , n ;
2 . 计算 Tn (h )
(1) h b a ; S f ( a ) f (b ) ;
3
2
j 1
2
Sn (h)
RS
[
f
,
h]
h5 2880
n
f (4) (i )
j 1
i ( x j1, x j )
(b a)h4 f (4) ( ) (a, b)
2880
定步长复化Simpson求积公式算法
1.输入a,b, n;
2. 计算Sn (h)
(1)h b a ; S f (a) f (b) ;
[例4-2-1] 利用数据表（如图）计算积分：
[解] 此问题有很精确值
取n=8用复化梯形公式(5)，求得：
[例4-2-1]
若取n=4，按辛卜生公式(6)，有
比较T8与S4两个结果，它们都需要调用f 9次，工作 量基本相同，但精度却差别很大，T8只有三位有效 数字，而S4却有六位有效数字。这项计算的结果表 明，辛卜生公式是一种精度较高的求积公式。
辛卜生求积程序设计
辛卜生公式是一种精度较高的求积公式。将辛卜生 公式（6）改写成 分两种情况讨论： （1）设给出了函数y=f(x)的一张数据表：
（2）设给出了被积函数y=f(x)的表达式。
教学资料整理
• 仅供参考，
在每个子区间[xj1, xj ] j 1,2,...n上有
Sj
h 6
(
f
(xj1) 4 f
(xj1 ) 2
f
(xj ))
则 b f (x)dx a
n
S j RS[ f , h]
j1
复化Simpson求积公式的推导
而
n
Sj
j1
h 6
n
j1
(
f
( x j1 )
4
f
( x j 1 ) 2
h（ 6
f0
4
f1
2
f1
f1 4 f 3 f 2
2
.......... .
f ( x j ))
f n1 4 f n 1 f n f n f n 2
h
n
n
( f (a ) 6
f (b ) 4
j1
f
( x j 1 ) 2
2
j1
f (x j))
h ( f (a )
3
2
f (b )
n
2
(2)S S 2 f (a ( j 1)h) f (a jh) 2
(3)S h S; 3
3.输出S
( j 1,2,...n);
3、复化科特斯求积公式
如果将每个子区间(xk-1, xk)四等分，分点依次记为xk-3/4， xk-1/2，xk-1/4，则复化的柯特斯公式具有形式：
复化求积举例
2
n j1
f ( x j 1 ) 2
n
f (x j))
j1
复化Simpson求积公式的推导
h f (a) f (b) n
1
n
(
2 f (a ( j )h) f (a jh ))
3
2
j 1
2
j 1
h ( f (a) f (b) ( n f (a jh ) 2 f (a ( j 1 )h))
h
n
( f (a) 2
f (b ) 2
j 1
f (x j))
h ( f (a) 2
n
f (b ) 2
j 1
f (a
jh ) ) T n ( h )
复化求积公式
而
RT
[
f
,
h]
h3 12
n j 1
f '' ( j )
j ( x j1, x j )
若 f ( x)是[a, b]区间上的二阶连续函数
高校理工类数学插值求积公式教 学课堂讲解
插值求积公式
用插值多项式pn(x)的表达式（上一章的公式） 代入(1)式，得：
其中： 称作求积系数，而xk则称作求积结点。
一、两点公式
设取两端点a，b作结点构造一次插值多项式
并计算
作为积分值，结果得到我们所熟 知的梯形法则：
二、三点公式
如果除端点a和b外，再补充中点c=(a+b)/2作为结点 构造二次插值多项式
2
2
b a ( f (a ) 2 f ( a b ) f (般地将[a,b]区间n等分，则
h
a
2
b
,
x
j
a
jh
( j 0,1,2,...n)
对每个子区间[xj1, xj ] ( j 1,2,...n)
使用T公式有
Sj
h( 2
f
(xj1)
f
(xj ))
复化求积公式