高考理科数学二轮专题复习专题检测：(九) 基本初等函数、函数与方程 Word版含解析

专题检测（九） 基本初等函数、函数与方程
A 级——常考点落实练
1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选D 设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a ＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 1
2＝x ，是非
奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
2．(·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)
D ．(4，＋∞)
解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
3．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝( )
A ．1
B ．a
C ．2
D ．a 2
解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.
4．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )
A ．4
B ．5.5
C ．8.5
D ．10
解析：选C 由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值．
5．已知函数f (x )＝6
x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,4)
D ．(4，＋∞)
解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－1
2<0，
所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．
6．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x
，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x
＝2x
，∴g (x )＝log 2x ，
∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.
法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.
7．(·云南第一次统一检测)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c >b >a
B ．b >c >a
C ．c >a >b
D ．a >c >b
解析：选D 因为a ＝60.7>1，b ＝log 70.6<0,0<c ＝log 0.60.7<1，所以a >c >b .
8．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )
解析：选A 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.
9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2e x －
1，x <2，log 3
(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)
B ．(－4，－2)∪(－1,2)
C ．(1,2)∪(10，＋∞)
D ．(10，＋∞)
解析：选C 令2e x －
1>2(x <2)，解得1<x <2； 令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.
故不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．
10．已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→
，则( )
A ．b ＝a 2
B ．a ＝b 2
C ．b ＝a 3
D ．a ＝b 3
解析：选C 由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→
，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3.
B 级——易错点清零练
1．已知函数f (x )＝1
log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )
A.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0 B.⎝⎛⎭⎫－1
2，＋∞ C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭
⎫－1
2，2 解析：选C 由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1≠1，2x ＋1>0，解得x >－1
2且x ≠0.
2．已知a ＞1，f (x )＝a 22x x
＋，则使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是( )
A ．－1＜x ＜0
B ．－2＜x ＜1
C ．－2＜x ＜0
D ．0＜x ＜1
解析：选A ∵a ＞1，∴y ＝a x
在R 上为增函数，故f (x )<1⇔a
22x x
＋<1⇔a
22x x
＋<a 0⇔x 2
＋2x <0⇔－2<x <0，结合选项可知，使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x ＜0.
3．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )
A ．f 2(x )与f 4(x )
B ．f 1(x )与f 3(x )
C ．f 1(x )与f 4(x )
D ．f 3(x )与f 4(x )
解析：选A f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.
4．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x
242
m m －＋在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x
∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是幂函数，
∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.
若m ＝2，则f (x )＝x －
2，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；
若m ＝0，则f (x )＝x 2，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足条件， 故f (x )＝x 2.
当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )， 即A ＝[1,4)，B ＝[2－k,4－k )， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1. 答案：[0,1]
C 级——“12＋4”高考练
1．函数y ＝a x ＋
2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0)
B ．(0，－1)
C ．(－2,0)
D ．(－2，－1)
解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x
＋2
－1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．
2．“1
a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由1
a
>1得0<a <1，
若函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增，则3－2a >1，解得a <1.
故“1
a
>1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的充分不必要条件．
3．(·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M
N
最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073
D ．1093
解析：选D 因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以
M ≈10173，则
M N ≈101731080
＝1093.
4．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4 解析：选B 函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x
－2＝0的根的个数．
令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出函数的图象，如图．
由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2. 5．函数f (x )＝x 2lg x －2
x ＋2的图象( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于原点对称
C ．关于直线y ＝x 对称
D ．关于y 轴对称
解析：选B 因为f (x )＝x 2lg x －2
x ＋2
，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f (－x )＝x 2lg
x ＋2x －2＝－x 2lg x －2
x ＋2
＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称． 6．(高三·济南质检)已知a ＝21
3
－，b ＝(2
2log 3
)
1
2
－
，c ＝1
4⎠
⎛0
πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的
大小关系是( )
A ．a>c>b
B ．b>a>c
C ．a>b>c
D ．c>b>a
解析：选C 依题意得，a ＝213
－，b ＝3
12
－
，c ＝－14cos x ⎪⎪⎪π
0＝12
，所以a 6＝2－
2＝14，b 6
＝3－
3＝127
，c 6＝⎝⎛⎭⎫126＝164，则a >b >c . 7．(·沈阳模拟)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )
A B C D
解析：选B 由函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，所以y ＝3－
x ，y ＝(－x )3
＝－x 3及y ＝log 3(－x )均为减函数，只有y ＝x 3是增函数，选B.
8．(·保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )
A ．11 000元
B ．22 000元
C ．33 000元
D ．40 000元
解析：选C 设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x )辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，
有最大利润33 000元．
9．(高三·西安八校联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x
－(log 1
4
4x －1)·f (log 3x ＋1)≤5的解集为( )
A.⎝⎛⎭⎫13，1 B ．[1,4] C.⎝⎛⎦⎤13，4
D ．[1，＋∞)
解析：选C 原不等式等价于⎩⎨⎧
log 3x ＋1≥1，log 2x －()log 1
44x －1≤5 或⎩⎨⎧
0＜log 3x ＋1＜1，
log 2
x ＋2()log 1
44x －1≤5， 解得1≤x ≤4或1
3＜x ＜1，
所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤
13，4.
10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若
⎪⎪⎪
⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，1
e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，e
D ．(e ，＋∞)
解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，
∴f (ln x )－f ⎝⎛⎭
⎫ln 1
x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， ∴
⎪⎪⎪
⎪
f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2
<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，
又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1
e
<x <e.
11．(·南昌一模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1
x －1＝1－x x ，
所以x ∈(0,1)时f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．
12．已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )
A.⎝
⎛⎭⎫
0，
33 B.⎝
⎛⎭⎫0，
22 C.⎝
⎛⎭
⎫0，
55 D.⎝
⎛⎭
⎫0，
66 解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示，
∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <
33
. 13．计算：2log 410－12log 225＋82
3
－(π－3)0＝________.
解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23)23－1＝log 210
5＋22－1＝1
＋4－1＝4.
答案：4
14．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－
x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内
单调递减的函数的序号是________．
解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．
答案：②④
15．(·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有
一个实数根，则实数a 的取值范围是________．
解析：依题意，由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝
－x 与函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
16．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；
②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是________．
解析：∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－1
2，∴t ＝⎩⎪⎨⎪⎧
64，x ≤0，2
162x -+，x >0.
①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；
②当x ∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；
③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－1
2×11＋6＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食
品不在保鲜时间内，故③错误；
④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确． 所以正确结论的序号为①④. 答案：①④。