江西省南昌市八一中学2017届高三2月测试数学(文)试题含答案

2016～2017学年度第二学期高三文科数学2月份月考测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

（1）若集合{}
|0B x x =≥，且A B A =，则集合A 可能是（ ）
（A ）
{}
1,2
（B ）
{}|1x x ≤
（C){}
1,0,1-
（D ）R （2）已知方程
()
2(4)40x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于 （ )
A 。

22i -
B 。

22i +
C 。

22i -+
D 。

22i --
（3）设函数R x x f y ∈=),(,“)
(x f y =是偶函数"是“)(x f y =的图像关于原点对称”的 ( ）条件
（A ）充分不必要 （B ）必要不充分条件 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要
（4）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率
213
=e ,则它的渐近线方程为（ ） （A ）
x y 23±
=
（B ）
x y 32±
= (C ）x y 49±= （D ）x y 94±=
（5）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马，劣
于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( ）
（A ）31 （B ）41 （C ）51 （D ）61
（6）如图所示,将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2)中的几何体,
则该几何体的侧视图为（ )
（7）已知M 是ABC ∆内的一点,且23,30,AB AC BAC =∠=若
,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y
，则14x y +的最小值
是（ ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9
（8）执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（ ) （A ）7 (B)9 (C ）10 (D ）11
A
C
D
E
1D F
1
A 1
B 1
C A
B
E
1
D F 1
A 1
B 1
C （1）
（2）
(A)
(B)
(C)
(D)
开始10
i =,S =lg
2i
S =S i ++1?
S ≤-i 输出结束
2
i =i +是否
（9）已知实数x ，y 满足：错误!，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝（ ） （A ）1 (B ）2 （C ）4 （D ）8
（10)已知函数()sin cos ()f x x x R λλ=+∈的图象关于
4x π
=-
对称，则把函数()f x 的图象上每个点的横坐标扩
大到原来的2倍，再向右平移3π
,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的一条对称轴方程为( ）
（A ）
6x π
=
（B ）
4x π
=
(C ）
3x π
=
（D ）
116x π=
(11）已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢
慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的87
时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切）,则小
球的表面积等于 ( ）
（A ）67π
（B)34π
（C ）3
2π
（D ）2π
（12）已知2cos sin )(x x x x x f ++=,则不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x
+<的解集为( ）
(A ）),(+∞e （B)(0,)e (C ）1(0,)(1,)e e
（D ）),1(e e 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分。

（13）设向量),4(m a = ，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=+b a 2________。

（14）若角α满足sin 2cos 0αα+=，则sin 2α的值等于____________。

(15）已知直线ax y =与圆0222:22=+--+y ax y x C 交于两点B A ,，且CAB ∆为等边三角形，则圆C 的面积
为____________。

（16)已知函数
()
()2
||()24x x m f x x m x mx m ≤⎧=⎨>-+⎩，其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的零点，则m 的取值范围是____________． 三．解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17)（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和2*
3,4n n n
S n N +=∈．
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2)设
11
(1)44n a n n n b n a a +=+-
，求数列{}n b 的前n 项和．
（18）(本小题满分12分)
某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元;未售出的产品，每盒亏损30元。

根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图所示。

该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润。

（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的中位数；
(Ⅱ）将y 表示为x 的函数，并根据直方图估计利润不少于4800元的概率.
（19）（本小题满分12分）
如图，在矩形ABCD 中,2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥,垂足为E ，若将
ADM ∆沿AM 折起，使点D 位于'D 位置,连接','D B D C ，得四棱锥'D ABCM -．
（1）求证:平面'D EF ⊥平面AMCB ；
（2）若π'3D EF ∠=
，直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为π
3，求几何体'A D EF -的体积.
频率/组距
需求量
100120140160180200
0.01500.01250.01000.00750.0050
O
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -,
点1,2A ⎛ ⎝⎭
在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线5
3
y =
上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． （21)(本小题满分12分）
已知函数()()1
ln 0f x a x a a x
=
+≠∈R ，． (Ⅰ)若1a =,求函数()f x 的极值和单调区间;
（Ⅱ）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，
求实数a 的取值范围．
请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴，建立平面
直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t α
α=+⎧⎨
=⎩（t 为参数）
．
（Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,
且AB =l 的倾斜角α的值．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
5
(),2f x x x a x R =-
+-∈．
（Ⅰ)求证：当2
1
-
=a 时，不等式ln ()1f x >成立． （Ⅱ)关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立,求实数a 的最大值．
高三文科数学2月份月考测试卷参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）
13。

102 14。

4
5
- 15。

π6 16. ()3,+∞ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17。

（本小题满分12分） 解：（1）当1n =时，
111a S ==；
当2n ≥时，
()()2
2113131
442n n n n n n n n a S S --+-++=-=-=
因为
11a =也适合上式，因此，数列{}n a 的通项公式为
1
2n n a +=
………5分
(2）由（1）知,
12n n a +=
记数列
{}
n b 的前n 项和为
n T )111
11(1)2[()(
)]23
12n n n n ++
++--+
+-++
1
11
11(1)2
,()()
23
12n n B n n ++
++=-+
+-++，则
22n A n +=,
数列
{}n b 的前n
……12分
18。

（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）由频率直方图得：需求量为)120,100[的频率1.02005.0=⨯=,
需求量为)140,120[的频率2.02001.0=⨯=，需求量为[140,160）的频率3.020015.0=⨯=， 则中位数3
460
2032140=⨯+
=x ……………4分 （Ⅱ）因为每售出1盒该产品获利润50元,未售出的产品，每盒亏损30元,
所以当160100≤≤x 时，480080)160(3050-=-⨯-=x x x y …………5分 当200160≤≤x 时，800050160=⨯=y …………7分
所以⎩
⎨⎧≤<≤≤-=200160,8000160100,4800
80x x x y 。

……………8分
因为利润不少于4800元，所以4800480080≥-x ，解得120≥x ，…………10分 所以由（1）知利润不少于4800元的概率9.01.01=-=P ……………12分
19．（本小题满分12分）
证：（1)E EF E D EF AM E D AM =⋂'⊥'⊥,,
EF
D AM '⊥∴面AM AMCB ⊂面EF
D AMCB '⊥∴面面 …………5分
（2)过D '作EF H
D ⊥'于H 平面'D EF ⊥平面AMCB
∴⊥'H D 平面AMCB 直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为3π
∴
3D FE π
'∠=
'3D EF π
∠=
∴EF D '∆是正三角形
∴h =
113V =⨯=
……………12分 20. （本小题满分12分）
解:（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c ,则1c =，
因为A ⎛ ⎝⎭
在椭圆C
上，所以122a AF AF =+=, ．
．．．．．．．．2分
因此2
2
2
1a b a c =-=，故椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(Ⅱ）椭圆C 上不存在这样的点Q ,证明如下：设直线的方程为2y x t =+，
设()11,M x y ，()()223445,,,,,3
N x y P x Q x y ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，MN 的中点为()00,D x y ,
由22212
y x t x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去，得2
29280y ty t -+-=， ……………6分
所以1229t y y +=
,且()22
43680t t ∆=-->，故12029
y y t y +==且33t -<<．．．．．8分
由PM NQ =得),()3
5
,(2424131y y x x y x x --=-- ．．．．．．．．．9分
所以有24135y y y -=-,=-+=35214y y y 3
5
92-t ．．．．．．．．．．．．10分
（也可由PM NQ =知四边形PMQN 为平行四边形 而D 为线段MN 的中点,因此，也D 为线段PQ 的中点, 所以405329
y
t y +==,可得42159t y -=)，
又33t -<<，所以47
13
y -
<<-，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[]1,1-矛盾。

．．．．．．11分 因此点Q 不在椭圆上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21。

（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当1a =，()22111
'x f x x x x
-=-
+=． 令()'0f x =得，1x =．………………………………1分
又()f x 的定义域为()0+∞，，由()'0f x <得01x <<,由()'0f x >得，1x >． 所以1x =时，()f x 有极小值为1．
()f x 的单调递增区间为()1+∞，,单调递减区间为()01，．……………………3分
(Ⅱ）若在区间(0]e ，上存在一点0x ,使得()00f x <成立，即()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于0．
()22
11'a ax f x x x x -=-
+=,且0a ≠,令()'0f x =,得到1
x a =………………………4分
当1
0x a
=
<，即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减…………5分 故()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11
ln f e a e a e e
=
+=+，………………………6分 由10a e +<,得1a e <-,即1a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭，．………………………………………………7分
当1
0x a
=
>即0a >时，
①若1
e a
≤
，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，
成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减………8分 则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11
ln 0f e a e a e e
=
+=+>， 显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立．………………………9分 ②若10e a <
<，即1
a
>时，则有 所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为ln f a a a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，………………………10分
由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫
=+=-< ⎪⎝⎭
，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，
，……11分 综上,由①②可知，()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝
⎭，，符合题意．………………………………12分
22. （本小题满分10分)
解:（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．
∵2
2
2
x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，
∴曲线C 的直角坐标方程为22
40x y x +-=,即()2
224x y -+=。

……………4分
(Ⅱ)将
1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩
代入圆的方程得()()22
cos 1sin 4t t αα-+=, 化简得2
2cos 30t t α--
=． ……………5分
设,A B 两点对应的参数分别为1t
、2t ,则12122cos ,3.
t t t t α+=⎧⎨
=-⎩ ……………6分 ∴
12AB t t =-=
== ……………8分
∴2
4cos 2α=，
cos 2α=±
，
4πα=
或34π． ……………10分 23。

（本小题满分10分)
解：(1)证明：由51
()||||22f x x x =-++1222153225222x x x x x ⎧
-+ <-⎪⎪⎪= -≤≤⎨⎪
⎪
- >⎪⎩
………2分
得函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立。

………5分
(2) 由绝对值的性质得555
()|||||()()|||222
f x x x a x x a a =-
+-≥---=-， ………7分 所以()f x 最小值为5||2a -，从而5
||2
a a -≥， ………8分
解得5
4
a ≤， ………9分
因此a 的最大值为5
4。

………10分。