2023-2024学年河北省唐山市高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年河北省唐山市高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线y 2=x 的焦点坐标是( )
A. (12,0)
B. (14,0)
C. (0,12)
D. (0,14)2.已知向量AB =(0,1,2)，则|AB |=( )
A. 1
B. 3
C. 5
D. 5
3.记S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3=6，S 6=21，则S 12=( )
A. 27
B. 36
C. 45
D. 78
4.已知圆x 2+y 2=4与圆(x−5)2+y 2=9，则两圆公切线的条数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 3+b 3=5，则a 2023+b 2023=( )
A. 2026
B. 2025
C. 2024
D. 2023
6.线段AB 长度为4，其两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 中点的轨迹所围成图形的面积为
( )
A. 2
B. 4
C. 2π
D. 4π
7.如图，在正三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，若AB = 2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( )
A. 60°
B. 90°
C. 105°
D. 75°
8.已知M 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，椭圆的左、右顶点分别为A ，B.MN 垂直椭圆的长轴，垂足
为N ，若|NA|⋅|NB|=2|MN |2，则该椭圆的离心率为( )A. 12 B. 2
2 C. 34 D. 3
2
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知直线l 1：(a +2)x +3y +3=0与l ：x−y−2=0，则( )
A. 若a =1，则两直线垂直
B. 若两直线平行，则a =5
C. 直线l 1恒过定点(0,−1)
D. 直线l 2在两坐标轴上的截距相等10.数列{a n }满足：a 1=0，a n +1=−1a n +2，则( )
A. a 2=−12
B. S 3=16
C. {a n }为单调递减数列
D. {1a n +1}为等差数列11.已知双曲线C ：y 2−x 22=1，直线l ：y =kx 与C 交于A ，B 两点，点P 是C 上异于A ，B 的一点，则( )
A. C 的焦点到其渐近线的距离为 2
B. 直线PA 与PB 的斜率之积为2
C. 过C 的一个焦点作弦长为4的直线只有1条
D. 点P 到两条渐近线的距离之积为23
12.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P ，Q 分别是棱AB ，B 1C 1上的动点(含端点)，则( )
A. 四面体PQA 1D 1的体积是定值
B. 直线A 1P 与平面A 1B 1CD 所成角的范围是[π6,π
4]
C. 若P ，Q 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，则|PQ|= 6
D. 若P ，Q 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，则经过P ，Q ，C 三点作正方体的截面，截面面积为2 5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列{a n }的公比为q ，且0<q <1，a 2=2，a 1+a 3=5，则q = ______．14.已知a =(2,−1,3),b =(−4,2,x)，且a //b ，则x = ．
15.已知直线l 与圆C ：x 2+(y−1)2=2相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l 的方程为______.(写出一个满足条件的方程即可)
16.已知点M(2,1)在抛物线C ：x 2=2py(p >0)上，则p = ______；过点M 作两条互相垂直的直线MA ，MB 分别交C 于A ，B 两点(不同于点M)，则直线AB 经过的定点坐标为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)
已知直线l ：3x−4y−1=0与圆C ：x 2+y 2−4x +2=0相交于A ，B 两点．
(1)若P 为圆C 上一点，求点P 到直线l 的最大距离；
(2)求弦AB 的长度．
数列{a n}是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足a3=2a2+3．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{a n+n}的前n项和T n．
19.(本小题12分)
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=DC=2，BC=4，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB的中点．
(1)证明：AE//平面PDC；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
数列{a n}满足a1=1，a2=4，a n+2−2a n+1+a n=2．
(1)求a3，a4；
(2)证明：数列{a n+1−a n}是等差数列；
(3)若b n=1
.求数列{b n}的前n项和T n．
a n+2n
21.(本小题12分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧面A1ACC1和ABB1A1均为正方形，AA1=2AB1，交A1B于点O，D为A1C1中点，AB⊥AD．
(1)证明：AB⊥AC；
(2)设CE=λCB(0<λ<1)，当λ为何值时，平面ODE与平面A1ACC1夹角的余弦值等于6
？
3
已知椭圆Γ：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为3
2
，长轴长为4，过点D(−1,0)的
直线l交Γ于M，N两点(M在x轴上方)．
(1)求Γ的方程；
(2)记△AND的面积为S1，△BMD的面积为S2，求S1
S2
的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.B
6.D
7.B
8.B
9.AC
10.ACD
11.AD
12.ABC
13.12
14.−6
15.x−y−1=0或x +y +1=0或x−y +3=0或x +y−3=0(任写一个都对) 16.2 (−2,5)
17.解：(1)圆C ：x 2+y 2−4x +2=0，整理得(x−2)2+y 2=2，所以圆心(2,0)到直线3x−4y−1=0的距离d =|6−1|
32+(−4)2=1，故点P 到直线l 的最大距离为1+ 2．
(2)利用垂弦定理，|AB|=2 r 2−d 2=2．
18.解：(1)设等比数列{a n }是的公比为q >0，a 1=1，
∵a 3=2a 2+3，
∴q 2=2q +3，q >0，
解得q =3，
∴a n =3n−1；
(2)由(1)可得：数列{a n +n}的前n 项和T n =3n −13−1+n(n +1)2
=12(3n −1)+n(n +1)2
．
19.解：(1)证明：取PC中点F，连结EF，DF，如图，
BC，
∵E为PB的中点，∴EF//BC，EF=1
2
BC，∴EF//AD，EF=AD，
∵AD//BC，AD=1
2
∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE//DF，
∵AE⊄平面PDC，DF⊂平面PDC，
∴AE//平面PDC．
(2)取AD中点O，BC中点G，连接PO，OG，则OG⊥AD，
∵△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
∵OG⊂平面ABCD，∴PO⊥OG，
分别以OG，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
AD=3，则P(0,0,3)，A(0,−1,0)，B(3,−2,0)，C(3,2,0)，PO=3
2
∴PC=(3,2,−3)，AP=(0,1,3)，AB=(3,−1,0)，
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，
3,−1)，
则{AP⋅n=y+3z=0
AB⋅n=3x−y=0，取x=1，得n=(1,
设直线PC与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|PC n |
|PC |⋅|n |4 3 10× 5=2 65
，∴直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为2 6
5．
20.解：(1)∵a 1=1，a 2=4，a n +2−2a n +1+a n =2，
∴a 3−2a 2+a 1=2，即a 3−2×4+1=2，
∴a 3=9，
同理可得a 4=16．
(2)证明：∵a n +2−2a n +1+a n =2，
∴(a n +2−a n +1)−(a n +1−a n )=2，又a 2−a 1=3，
∴数列{a n +1−a n }是等差数列，首项为3，公差为2；
(3)由(2)可得：a n +1−a n =3+2(n−1)，
∴a n +1−a n =2n +1，
∴a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+…+(a 2−a 1)+a 1=(2n−1)+(2n−3)+…+3+1=n(2n−1+1)2
=n 2．
∴b n =1a n +2n =1n 2+2n =1n(n +2)=12(1n −1n +2)，∴数列{b n }的前n 项和T n =12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+…+(1n−1−1n +1)+(1n −1n +2)]=12(1+12−1n +1−1n +2)=34−2n +32(n +1)(n +2)．
21.解：(1)证明：因为平面ABB 1A 1为正方形，
所以AB ⊥AA 1，
又因为AB ⊥AD ，AA 1∩AD =A ，AA 1⊂平面A 1ACC 1，AD ⊂平面A 1ACC 1，所以AB ⊥平面A 1ACC 1，
因为AC ⊂平面A 1ACC 1，所以AB ⊥AC ；
(2)由(1)知，AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，
因为平面A 1ACC 1为正方形，所以AC ⊥AA 1，
所以AA 1，AB ，AC 两两互相垂直，
以A 为坐标原点，AA 1，AB ，AC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，O(1,1,0)，
因为D 为A 1C 1中点，所以D(2,0,1)，CB =(0,2,−2)，因为CE =λCB =(0,2λ,−2λ)，所以E(0,2λ,2−2λ)，因为OD =(1,−1,1),DE =(−2,2λ,1−2λ)，
设平面ODE 的法向量为n =(x,y,z)，
则{OD ⋅n =x−y +z =0
DE ⋅n =−2x +2λy +(1−2λ)z =0，
令x =1，则y =3−2λ，z =2−2λ，所以n =(1,3−2λ,2−2λ)，由题可知，平面A 1ACC 1的一个法向量为m =(0,1,0)，则|cos 〈m ⋅n 〉|=|3−2λ1× 1+(3−2λ)2+(2−2λ)2|= 6
3，
即(3−2λ)2=2
3[1+(3−2λ)2+(2−2λ)2]，
整理得：4λ2−4λ+1=0，即(2λ−1)2=0，所以λ=1
2，
所以当λ=1
2时，平面ODE 与平面A 1ACC 1夹角的余弦值为
6
3．
22.解：(1)由题意可得2a =4，则a =2，e =c a = 1−b 2a 2= 32
，可得b 2=1，所以椭圆的方程为：x 2
4+y 2=1；
(2)显然直线l 的斜率不为0，
设直线l 的方程为x =my−1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设M 在x 轴上方，
由(1)可得A(−2,0)，B(2,0)，D(−1,0)，|AD|=1，|BD|=3，联立{x =my−1x 24+y 2=1，整理可得(4+m 2)y 2
−2my−3=0，
显然Δ>0成立，
可得y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2，
可得(y 1+y 2)2y 1y 2=−4m 23(4+m 2)=−43+163(4+m 2)∈(−4
3,0]，
即y 1y 2+y 2y 1+2∈(−4
3,0]，
所以y 1y 2+y 2y 1∈(−10
3,−2]，
所以y 1y 2<0，所以y 1y 2+y 2
y 1∈(−10
3,−2]，
可得S △AND S △BMD =1
2|AN|⋅|y 2|12|BD|⋅|y 1|=13⋅
−y 2y
1，设t =−y 2y 1，则−(y 1y 2+y 2y 1)=1t +t ∈[2,10
3)，
可得2≤1t +t ≤103，即3t 2−10t +3<0，可得1
3<t <3，
所以S △AND S △BMD ∈(1
9,1)．。