高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.2 正弦、余弦的图象与性质学案 苏教版必修4(2021年整

2016-2017学年高中数学第1章三角函数1.3.2.2 正弦、余弦的图象与性质学案苏教版必修4
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第2课时正弦、余弦的图象与性质
1．掌握y＝sin x,y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．（重点、难点）
2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．（重点)
3．会求函数y＝A sin（ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ）的单调区间．（重点、易错点)
[基础·初探]
教材整理正弦函数、余弦函数的图象与性质
阅读教材P28～P29的全部内容,完成下列问题.
函数正弦函数y＝sin x,x∈R余弦函数y＝cos x,x∈R
图象
定义域R R
值域[－1,1]［－1，1]
最值当x＝2kπ＋错误!(k∈Z）时,
取得最大值＝1；
当x＝2kπ－错误!(k∈Z)时，
取得最小值－1
当x＝2kπ（k∈Z)时，
取得最大值1;
当x＝2kπ＋π(k∈Z）时，
取得最小值－1
周期性周期函数，T＝2π周期函数,T＝2π
奇偶性奇函数,图象关于原点对称偶函数，图象关于y轴对称
单调性
在错误!（k∈Z）上是增函数；
在2kπ＋错误!，2kπ＋错误!(k
∈Z）上是减函数
在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z)
上是增函数；
在［2kπ，（2k＋1)π]（k
∈Z)上是减函数
对称性
关于x＝kπ＋错误!（k∈Z）成
轴对称，关于(kπ，0）（n∈Z）
成中心对称
关于x＝kπ(k∈Z）成轴对
称，关于kπ＋错误!，0（k
∈Z)成中心对称
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1)y＝sin错误!是奇函数．( )
（2)y＝cos x是周期为π的偶函数．( )
（3)y＝sin x在错误!上单调递减．（）
（4)y＝cos x的值域为(－1,1)．( ）
【解析】（1）×。

∵y＝sin错误!＝cos x，∴是偶函数．
(2)×。

y＝cos x的周期为2π.
（3）×。

y＝sin x在错误!上单调递增．
(4)×.y＝cos x的值域为［－1,1］．
【答案】(1)×（2）×（3）×(4)×
［质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑:
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑:
［小组合作型]
求三角函数的单调区间
（1）y＝cos 2x;
(2)y＝2sin错误!。

【导学号：06460024】
【精彩点拨】(1)借助y＝cos x的单调性求解;
（2）解答本题要先用诱导公式将x的系数化为正数，再确定所求的单调区间后求解．【自主解答】(1）令z＝2x，由y＝cos z的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ］，k∈Z 可知
－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z,
∴－错误!＋kπ≤x≤kπ,k∈Z,
∴单调递增区间为错误!，k∈Z。

(2)y＝2sin错误!
＝－2sin错误!,
令z＝x－错误!，
则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数,所以要取y＝－2sin z的递增区间，即取sin z的递减区间，即2kπ＋错误!≤z≤2kπ＋错误!（k∈Z），
∴2kπ＋错误!≤x－错误!≤2kπ＋错误!（k∈Z)，
2kπ＋错误!≤x≤2kπ＋错误!(k∈Z),
∴函数y＝2sin错误!的递增区间为2kπ＋错误!，2kπ＋错误!(k∈Z）．
求函数y＝A sinωx＋φA〉0，ω≠0的单调区间的一般步骤：
1当ω〉0时,把“ωx＋φ”看成一个整体，由2kπ－错误!≤ωx＋φ≤2kπ＋错误!k ∈Z解出x的范围，即为函数递增区间；由2kπ＋错误!≤ωx＋φ≤2kπ＋错误!k∈Z解出x的范围，即为函数递减区间.
2当ω〈0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin－ωx－φ，则y＝sin－ωx－φ的递增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.余弦函数y＝A cosωx＋φA>0，ω≠0的单调性讨论同上.
［再练一题］
1.求函数y＝2sin错误!，x∈[－π,0］的单调减区间．
【解】当2kπ＋π
2
≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!时，函数单调递减，
解得:kπ＋错误!≤x≤kπ＋错误!。

∵x∈［－π，0]，
∴取k＝－1，此时－π＋错误!≤x≤－π＋错误!，
即－错误!≤x≤－错误!.
故函数y＝2sin错误!,x∈［－π，0]的单调减区间为错误!。

比较三角函数值的大小
（1)sin错误!与sin错误!；
（2）sin 196°与cos 156°；
（3）cos错误!与cos错误!.
【精彩点拨】先把异名函数同名化，再把异单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．
【自主解答】（1)∵－错误!＜－错误!＜－错误!＜错误!，
又∵函数y＝sin x在错误!上是增函数，
∴sin错误!＞sin错误!.
(2）sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos（180°－24°）＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°,
∴sin 16°＜sin 66°；
从而－sin 16°＞－sin 66°,
即sin 196°＞cos 156°。

（3)cos错误!＝cos 错误!π
＝cos错误!＝cos错误!π，
cos错误!＝cos 错误!π
＝cos错误!＝cos错误!。

∵0＜错误!＜错误!π＜π,且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos 错误!π＜cos 错误!，即cos错误!＜cos错误!.
比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上,以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小。

［再练一题]
2．比较下列各组数值的大小：
(1)sin 2与cos 1；(2)sin错误!与sin错误!.
【解】(1）因为cos 1＝sin错误!，
sin 2＝sin(π－2），
又0〈错误!－1<π－2<错误!且y＝sin x在错误!上是递增的,
从而sin错误!〈sin(π－2），
即cos 1〈sin 2。

(2）∵cos 错误!＝sin 错误!，0〈sin 错误!〈sin 错误!<1，
即0〈cos 错误!〈sin 错误!〈1〈错误!，
又∵y＝sin x在错误!上是增函数，
∴sin错误!〈sin错误!.
[探究共研型］
与三角函数有关的值域问题
探究1 错误!
【提示】借助函数y＝sin x在错误!上的单调性求解．
因为x∈错误!时，y＝sin x是单调递增函数,
所以sin错误!≤sin x≤sin错误!，即－错误!≤sin x≤错误!，∴其值域为错误!.
探究2 如何求形如y＝a sin x＋b(a，b≠0)的值域?
【提示】令t＝sin x，则t∈［－1,1],从而转化为y＝at＋b，t∈［－1,1]型的值域问题．
探究3 如何求形如y＝a sin2x＋b sin x＋c的值域?
【提示】令sin x＝t，t∈[－1,1],从而y＝at2＋bt＋c，t∈［－1,1］,即转化为给定区间的二次函数值域问题．
（1）求函数y＝2sin错误!错误!的最大值和最小值；
(2)求函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈错误!的值域．
【精彩点拨】(1）由x的范围⇒2x＋错误!的范围⇒借助单调性求y＝2sin错误!的最值;
（2)由x的范围⇒sin x的范围⇒函数的值域．
【自主解答】(1）∵－错误!≤x≤错误!，
∴0≤2x＋错误!≤错误!，
∴0≤sin错误!≤1，
∴当sin错误!＝1时，取得最大值2;
当sin错误!＝0时，取得最小值0。

(2)y＝－2(1－sin2x）＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1
＝2错误!2＋错误!。

∵x∈错误!，∴错误!≤sin x≤1。

当sin x＝1时，取得最大值5；
当sin x＝1
2
时，取得最小值
5
2
.
∴函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3的值域为错误!.
1．求形如y＝A sin x＋B或y＝A cos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(或y＝a cos2x＋b cos x＋c）,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x（或cos x)的有界性．
［再练一题］
3．(2016·南通高一检测)已知函数f（x)＝2a sin2x－错误!＋b的定义域为错误!，函数的
最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
【解】∵0≤x≤π
2
，∴－错误!≤2x－错误!≤错误!，
∴－错误!≤sin错误!≤1。

若a＞0，则错误!
解得错误!
若a＜0,则错误!
解得错误!
综上知错误!
或错误!
[构建·体系]
1．函数y＝2sin 2x的奇偶性为________．
【解析】∵错误!sin(－2x）＝－错误!sin 2x，
∴函数y＝2sin 2x为奇函数．
【答案】奇函数
2．函数f(x）＝sin错误!的图象的一条对称轴是________(任写一条）．
【解析】令x－π
4
＝kπ＋错误!，∴x＝kπ＋错误!(k∈Z)．
【答案】x＝－错误!错误!
3．将cos 150°，sin 470°,cos 760°按从小到大排列为______。

【导学号：06460025】【解析】cos 150°＜0,sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，
cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°。

【答案】cos 150°＜cos 760°＜sin 470°
4．函数f(x)＝sin错误!在区间错误!上的最小值是________．
【解析】∵0≤x≤错误!，∴0≤2x≤π,
∴－错误!≤2x－错误!≤错误!，
∴－错误!≤sin错误!≤1,∴f(x）取最小值－错误!。

【答案】－错误!
5．求函数y＝sin错误!的单调区间．
【解】y＝sin错误!＝－sin错误!。

因为2x－错误!是关于x的增函数，所以只需要考虑y＝－sin错误!关于2x－错误!的单调性即可．
当2kπ－错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!(k∈Z）时，y＝sin2x－错误!为增函数,y＝sin错误!为减函数，
解得kπ－π
8
≤x≤kπ＋错误!（k∈Z），
即函数y＝sin错误!的单调减区间为
错误!（k∈Z)；
同理，令2kπ＋错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!（k∈Z)，求得函数y＝sin错误!的单调增区间为
错误!（k∈Z)．
我还有这些不足：（1)
(2）
我的课下提升方案：
(1）
（2)
学业分层测评（九)
正弦、余弦的图象与性质
（建议用时：45分钟)
[学业达标］
一、填空题
1．函数y＝2cos x－1的最大值是________,最小值是________．
【解析】∵cos x∈［－1,1]，
∴y＝2cos x－1∈[－3,1］．
∴最大值为1，最小值为－3.
【答案】 1 －3
2．函数y＝cos x在区间［－π，a］上为增函数,则a的取值范围是________．
【解析】y＝cos x在［－π，0］上为增函数，在［0,π］上为减函数,所以a∈(－π,0]．【答案】（－π,0］
3．函数f(x)＝7sin错误!是________(填“奇函数”或“偶函数”）．
【解析】f（x)＝7sin错误!＝7sin错误!
＝－7cos 错误!x,
∴f(x）是偶函数．
【答案】偶函数
4．y＝错误!的定义域为________,单调递增区间为________．
【解析】∵sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z。

当x∈[0，π］时,y＝错误!在错误!上单调递增，
∴其递增区间为错误!，k∈Z.
【答案】［2kπ,π＋2kπ］，k∈Z错误!，k∈Z
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ）的图象关于直线x＝错误!对称，则φ＝________。

【解析】由题意，当x＝错误!时,
f(x)＝sin错误!＝±1，
故错误!＋φ＝kπ＋错误!（k∈Z),解得φ＝kπ＋错误!(k∈Z）．
【答案】kπ＋错误!（k∈Z)
6．已知函数f（x）＝sin错误!（x∈R）,下面结论错误的是________．(只填序号）【导
学号:06460026】
①函数f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x）在区间错误!上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x＝0对称;④函数f(x）是奇函数．
【解析】∵y＝sin错误!＝－cos x，∴T＝2π,即①正确．y＝cos x在错误!上是减函数，则y＝－cos x在错误!上是增函数,即②正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cos x为偶函数,即④不正确．
【答案】④
7．(2016·南京高一检测)若函数f(x）＝sin ωx（ω＞0)在区间错误!上单调递增,在区间错误!上单调递减，则ω＝________。

【解析】因为当0≤ωx≤错误!时，函数f(x）是增函数，
当错误!≤ωx≤π时，函数f(x）为减函数，
即当0≤x≤错误!时，函数f(x）为增函数，
当错误!≤x≤错误!时，函数f(x)为减函数，
所以错误!＝错误!，所以ω＝错误!。

【答案】错误!
8．（2016·连云港高一检测)函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域为________．
【解析】令t＝cos x，由于x∈R，故－1≤t≤1。

y＝t2－4t＋5＝（t－2）2＋1，
当t＝－1时，即cos x＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2，10]．
【答案】［2，10]
二、解答题
9．比较下列各组三角函数值的大小:
(1)sin 250°与sin 260°；（2)cos错误!与cos错误!；
(3）sin 11°，cos 10°，sin 168°。

【解】(1）∵函数y＝sin x在错误!上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°，∴sin 250°＞sin 260°。

（2）cos错误!＝cos错误!＝cos 错误!，
cos 错误!＝cos错误!＝cos错误!.
∵函数y ＝cos x 在[0，π］上单调递减，
且0＜错误!＜错误!＜π，∴cos 错误!＞cos 错误!，
∴cos 错误!＞cos 错误!。

（3）sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin （90°－10°)＝sin 80°.
又因为y ＝sin x 在x ∈错误!上是增函数,
所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°,
即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°。

10．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x ）＝2cos3x ＋错误!。

（1)求f (x )的单调递增区间．
（2）求f (x ）的最小值及取得最小值时相应的x 值．
【解】 （1)令2k π－π≤3x ＋错误!≤2k π（k ∈Z ），
解得错误!－错误!≤x ≤错误!－错误!(k ∈Z )，
∴f （x )的单调递增区间为
错误!(k ∈Z )．
（2)当3x ＋错误!＝2k π－π（k ∈Z )时，f （x )取最小值－2.
即x ＝2k π3
－错误!(k ∈Z ）时，f （x )取最小值－2。

[能力提升]
1．若f (x ）＝2sin ωx （0＜ω＜1）在区间错误!上的最大值是错误!,则ω＝________.
【解析】 由题意知0≤x ≤错误!时，0≤ωx ≤错误!＜错误!，
f (x ）取最大值2sin 错误!＝错误!时，sin 错误!＝错误!，错误!＝错误!，ω＝错误!。

【答案】 错误!
2．若函数f (x ）＝sin x ＋φ3（φ∈[0，2π]）是偶函数,则φ＝________.
【解析】 ∵f (x ）为偶函数，∴错误!＝k π＋错误!(k ∈Z ）,
∴φ＝3k π＋错误!(k ∈Z ）．
又∵φ∈[0，2π]，∴φ＝错误!。

【答案】 错误!
3．(2016·南通高一检测）函数y ＝2sin 错误!(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为
________．
【解析】周期T＝π,∴2π
ω
＝π，∴ω＝2,
∴y＝2sin错误!.
由－错误!＋2kπ≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z，
得kπ－错误!π≤x≤kπ＋错误!，k∈Z。

【答案】错误!（k∈Z）
4．已知ω是正数,函数f(x）＝2sin ωx在区间错误!上是增函数，求ω的取值范围．【解】由－错误!＋2kπ≤ωx≤错误!＋2kπ（k∈Z),得－错误!＋错误!≤x≤错误!＋错误!,∴f（x)的单调递增区间是错误!，k∈Z。

根据题意，
得错误!⊆错误!,
从而有错误!解得0＜ω≤错误!.
故ω的取值范围是错误!。