杨辉三角与二项式系数的性质 课件

“杨辉三角”与二项式系数的性质
一般地，对于n N*有
二项定理:
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
1．“杨辉三角”的来历及规律
展开式中的二项式系数，如下表所示：
C
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… …… ……
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较 的大小.
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法
例2.
例2
思考：
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
练习:(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 ( ) (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：
证明：在展开式 中 令a=1，b=－1得
（3）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
系数 取得最大值；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、
相等，且同时取得最大值。
（4）各二项式系数的和
这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：
一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质：
（1）
（2）
（3）当 时，
（4）
当 时，
还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研 究二项式系数的性质．
(a+b)n展开式的二项式系数是 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n}, 对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.
.
.
----- Nhomakorabea-
-
-
-
-
10
8
4
6
2
16
20
f(r)
.
.
.
.
.
3
6
9
r
课堂练习： 1）已知 ，那么 = ； 2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ； 3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ；
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
二项式系数的性质
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较 的大小.
所以 相对于 的增减情况由 决定．
可知，当 时，
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。