2020年重点高中招收保送生考试数学试题及答案

2020年重点高中招收保送生考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分） 1、在①4
2
x x +;②4
2
x x --∙;③()(
)8
2
x x
-÷-;④()
3
2
x -中,计算结果为6
x 的是（ ）
A 、①
B ．②
C 、③
D 、④ 2、如图，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=4，AD=1，BC=2，点P 为线段AB 边上一动点，若P 、A 、D 三点组成的三角形与P 、B 、C 三点组成的三角形相似，则满足条件的AP 长为（ ） A 、
283 B 、
2±43 C 、
2± D 、
243
3、已知，221S a b =-,2
2S a ab =-,且（a ＞b ＞0）.设1
2
S n S =
，则有（ ） A 、n ＞2 B 、0.5＜n ＜1 C 、1＜n ＜2 D 、0＜n ＜0.5
4、如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么 CD ：AB 等于（ ）
A 、cos α
B 、sin α
C 、tan α
D 、
1
tan α
5、如图，在△ABC 中,已知∠ABC=60°，AP= AC ， AB=8, 若BP=3，则AC =（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D
、12
（第2题图） （第4题图） （第5题图）
6、已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c ，且c a =，若关于x 的一元二次方程
20ax c +=的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是（ ）
A 、 15°
B 、30°
C 、45°
D 、60° 7、已知直线1y x =，2112y x =
+，3417
54
y x =-+的 图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取1y 、2y 、3y 中 的最小值，则y 的最大值为（ ） A 、2 B 、
85
36
C 、52
D 、94
8、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，．试在直线a 上找一点C ，在直线b 上找一点D ， 满足CD ⊥a ,AC+CD+DB 的长度和最短，且AC+DB=8.则AB 长（ ）
A
、 B
、 C 、
D
二、填空题（共6小题，24分）
9、 在等腰△ABC 中，AB=AC,周长为24，∠ A=α （60°≤α＜180°）,腰长为x ，则x 的取值范围为 ． （第8题图）
10、某公司今年1月、2月、3月、4月的产值连续4个月呈直线上升,数据如表: 则3月份
的产值为 11
、若2015a a -=，则2
2015a - =
12、如图，ABC ∆中，CD AB ⊥，垂足为D ．在①2
AC AD AB =∙, ②
AC CD
AB BD
=
, ③AB CD AC BC ∙=∙,④2
2
CD BD BD AB +=∙四个条件中，不能．．证明ABC ∆是
Rt ABC ∆的有 ．(填序号, 填错一个不得分)
（第10
题图） （第12题图） （第13题图） 13、在ABCD 中，AB=10，∠ABC=60°，以AB 为直径作⊙O ，边CD 切⊙O 于点E ．则由弧AE 、线段AD 、DE 所围成的阴影部分的面积为 ．（结果保留π和根号） 14、在平面直角坐标系中，已知点M （4，0）、N （﹣6，0），点Q 是y 轴正半轴上的一个
动点，P 点为△MNQ 外心,当∠MPN 为Rt ∠时，则点Q 的坐标为 ．
三、简答题（共8小题，72分）
15、计算：已知 1
0221(),76a π-⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
4560b ︒︒=,求a 的平方根与b 的立方根之差（5分）
16、已知实数m 是不等于5的常数，解不等式组()13
132
1111(3)2
36x x x x m +-⎧-≥⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩，并依据
m 的取值情况写出其解集。

（5分）
17、 先化简，再求值：()()2
2648
122x x x x x x ⎡⎤---÷⎢⎥--⎣
⎦， 其中x 是方程222(87)216490x x x x -+-+-=的实数根。

（6分） 18、如图, 已知点P （m ，n ）是反比例1
1k y x
=
图象在第四象限上的一点.且m 、n 满足等式: 656mn mn mn -=--,一次函数22y k x b =+图象经过A(5,0),B(0, 5
2
)。

（1）求反比例解析式；
（2）求双曲线与直线A B 在图象上的交点坐标； （3）若
1
k x
>2k x b +,求出x 的取值范围。

（共10分）
19、某大型化工厂2015年2月份pm2. 5排放量x （吨）与该月付污染费y （万元）之间的函数关系如图．（1）当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式；
（2）若该化工厂2015年2月份付污染费为560万元，求该化工厂2015年2月份pm2. 5排放量；
（3）2015年2月底, 国家职能部门向雾霾宣战。

规定: ”为鼓励大型化工企业减少pm2. 5排放量，从2015年3月开始对每月pm2. 5排放量超过80吨的大型化工企业加收污染费，若企业每月pm2. 5排放量x 超过80吨，则除按2015年2月份收费标准收取污染费外，超过80吨部分每吨另加收0.05x 万元“。

若该大型化工厂2015年3月份付污染费为541.25万元，求这个大型化工厂该月的pm2. 5排放量。

（共10分）
20、如图，在正方形ABCD 中，点E 是正方形内一点，. △CDE 是等边三角形，连接EB 、EA,延长BE 交边AD 于点F 。

（1）求证: △AEF ∽△ADE ； （2）求证: 24BF AF AB =∙； （3）求DF
AF
（12分）
21、如图，⊙O 半径OA 被CD 垂直平分，垂足为D . 弦AB 交CD 于点E ，交⊙O 于点F ，且CB CE =．
（1）求证： BC 是⊙O 的切线；（2）连结,,AF BF 求ABF ∠的度数；
（3）连结OB ，设OA =2，，求△BCE 的面积与△AOB 的面积比值。

（共12分）
（备用图）
22、设函数2(2)2y mx m x =-++（m 为实数）．直线AC 解析式为1y
（1）、证明:无论m 为何实数, 函数图象一定经过x 轴上的定点A 、y 轴上的定点C ； （2）、在（1）的条件下,若函数的图象与x 轴总有A 、B 两个交点,且都是整数点, 求正整数m 的值及此时的函数解析式；
（3）、在（1）(2)的条件下,把直线1y 向右平移5个单位,得直线2y ,在直线2y 上是否存在点P,使得△ABC 与点A 、C 、P 组成的三角形相似, 若存在，请求出满足条件的所有P 点坐标；若不存在，说明理由。

（共12分）
数学（评分参考标准）
一、选择题（每题3分，共24分）
二、填空题（每题4分，共24分）
9、 6＜x ≦8 10
. 11、
2016 12、 ③(填错一个不得分) ; 13、 25+2563-25
4π .14、 （0，12）或（0，2） ; 三、解答题（本题有7个小题，共66分） 15．（本小题满分5分）
7,1a b ==（2分）,a 的平方根1分）a 的平方根与b 的立方根之差为-1（2
分）
16．（本小题满分5分）
()13
132
1111(3)2
36x x x x m +-⎧-≥⎪⎪⎨
⎪--<-⎪⎩ 解得 5x ≤（1分）， x m （1分）
5m ≠ ①当5m 时，不等式组的解为x m
②当5m 时，不等式组的解为5x ≤ (写出一种得2分,两种情况得3分)
17．（本小题满分6分）
()2482(6)1222x x x x x x x ⎛⎫---÷= ⎪ ⎪--⎝⎭（2分） 222(87)2(87)350x x x x -+--+-=
22(812)(8)0x x x x -+-=得(2)(6)(8)0x x x x ---= 12340,2,6,8x x x x ====（2分）
当1230,2,6x x x ===时,方式无意义,舍去（1分）,把x=8代入
原式=
42
x
=（1分） 17．（本小题满分10分） （1）656mn
mn mn -=--∵P （m ，n ）在11k y x
=图象上1k mn =
∴1
11656
k k k -
=--∴211300k k --=∴11(10)(3)0k k -+=（3分） 110k =或-3 ∵P （m ，n ）在图象第四象限上的一点. ∴110k =舍去
. ∴13k =-. ∴13
y x
-=（1分） （2）A(5,0),B(0,
52).代入22y k x b =+,得21522y x =-与13y x
-= 方程组得126,1x x ==-（2分）
∴双曲线与直线A B 在图象上的交点坐标为1
(6,),(1,3)2
--（1分） （3）
1k x >2k x b +,即3x ->1522
x -得10x -或6x （3分）
19．（本小题满分10分）解答： 解：（1）设y 关于x 的函数关系式y=kx+b ，
∵直线y=kx+b 经过点（50，200），（60，260）∴
解得
∴y 关于x 的函数关系式是y=6x ﹣100；（3分）
（2）由图可知，当y=560时，x ＞50∴6x ﹣100=560，解得x=110．（2分） 答：这化工厂2015年2月份pm2. 5排放量为110吨． （3）由题意得6x ﹣100+
（x ﹣80）=541.25，（3分）
化简得x 2
+40x ﹣12825=0（1分）
解得：x 1=95，x 2=﹣135（不合题意，舍去）．（1分） 答：这化工厂2015年3月份pm2. 5排放量为95吨． 20．（本小题满分12分）
（1）由正方形ABCD 和等边△CDE 得. E 是BF 中点. 1
,.2
AD DE AE BF BE EF ==== EAF EAD ∠=∠∴△AEF ∽△ADE ；
（3分） （2）∴2AE AF AD =∙∴2AE AF AB =∙,∵221()2
AE BF =,∴
21
4
BF AF AB =∙
∴24BF AF AB =∙（4分）
（2）设,AD AB a AF x ===,2AE AF AD ax =∙=
224a x ax +=22(2)3a x x -=,（2分）
2a x =±（2分）,
21DF a x x x
AF x x
-±-===±舍去
1DF
AF
=+2分） 21.（本题满分12分）
（1）证明：连接OB ∵OB=OA ，CE=CB ，∴∠A=∠OBA ，∠CEB=∠ABC 又∵CD ⊥OA ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90° ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线．………（3分）
（2）连接OF ，AF ，BF ， ∵DA=DO ，CD ⊥OA ， ∴△OAF 是等边三角形， ∴∠AOF=60°
∴∠ABF=∠AOF=30°………（3分）
(3）过点C 作CG ⊥BE 于点G ，过点O 作O H ⊥AB 于点H ，sin ∠,
OA=2, O A H =B H = ’
又Rt △AOH ∽Rt △CGE △BCE 的面积与△AOB 的面积比值= EG 2: O H 2=
121
64
……（6分） 22.（本题满分12分）
（1）①当0m =时, 22y x =-+一次函数经过(1,0),(0,2)A C ② 当0m ≠时, 22
(2)2(1)()y mx m x m x x m
=-++=--
经过(1,0),(0,2)A C
∴无论m 为何实数, 函数图象一定经过x 轴上的定点A 、y 轴上的定点C （3分） （2）函数的图象与x 轴总有A 、B 两个交点∴2
0,(1)()0m x x m
≠--
= 122
1,x x m
==
,∵m 为正整数, A 、B 两个交点都是整数点. ∴1m =,2m =(舍去) ∴(1,0),(2,0)A B
函数解析式2(1)(2)32y x x x x =--=-+.（3分） （3）存在.(写存在不得分)
由（1）①得122y x =-+,1y 向右平移5个单位得2212y x =-+
△ABC 中1,AB AC ==
=设(,212)P x x -+（2分）
①x 轴上存在P 点, ,使△ABC ∽△ACP . ∴AC AB
AP AC
=∴5AP =,6OP =∴1(6,0)P
（2分）
②在第一象限直线2212y x =-+上, 存在点2(,212)P x x -+.使△ABC ∽△CAP
∴
AC AB BC CP AC AP
==
∴5CP =,AP =222
(2122)5x x +-+-=, 28150x x -+=,(5)(3)0x x --=,123,5x x ==.25x =不符合题意(舍去)
∴3,x =2(3,6)P （2分）
综合上述. 在直线2y 上存在点1(6,0)P
,2(3,6)P 使得△ABC 与点A 、C 、P 组成的三角形相似,。