08 函数应用 【十一大考点】高一数学上学期期末考点(苏教版2019)

反比例函数模型
k
f(x)＝ ＋b(k，b为常数且k≠0)
x
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
常用技巧/结论
函数的零点与方程的根的关系及应用
2π

3
−4
π
D． = 2cos
π

3
π
+4
π
+4
【答案】A
2π
【解析】设点的纵坐标为 = sin + ，
由题意可得 =
）
2π

= 3，得 =
2π
．
3
π
因为起始点在第四象限，所以初相 = − 4 ，由图可知
= 2，
所以 = 2sin
2π

3
π
−4 ．
所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是
显然0 < ≤ 3，2 + 1 = 2 − 1 = ，
即0 < 2 − 1 ≤ 3 ⇒ 1 < ≤ 2， = − = −
1
2
1
2 − 2 = − 2 − 1
2
3
+ 2，
22 − 2 = 1，
故选：A
典型例题
题型5：函数零点个数的判断
1
【对点训练5】（2023·北京西城·高一北师大二附中校考期中）已知函数 = +2 − 有三个零点，则实数m的取
典型例题
题型2：函数y＝Asin（ωx＋φ）模型的综合应用
【例2】（2023·广东·高一统考期末）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一
圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（
A． = 2sin
C． = 2sin
2π

3
2π

3
−4
π
B． = 2cos
(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴
有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成
两个函数图象的交点个数进行判断.
常用技巧/结论
几个函数模型的比较
(1)一次函数模型
一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
故选：B
1
3
− + 4的一个零点，则0 ∈（
）
典型例题
题型5：函数零点个数的判断
【例5】（2023·江苏南通·高一统考期中）已知函数 =
最小值为（
2 + 1, ≤ 1
，若 > ，且 = ，设 = − ，则的
2 − 1, > 1
）
B． 5 − 1
π, ∈ ，
所以函数的解析式为 = 3sin
故答案为： = 3sin
= 4π,
∴ = 4π = 2，由图象可知点(−
入函数解析式可得1 = 3sin
π
由于 < 2 ，故 = 3 ，
4−(−2)
2
1
的部分图象
．
+1
2π
− 3
π
2
1

2
+
π
3
1

2
+1
π
+ 3 + 1．
典型例题
题型1：由三角函数的图象求解析式
相同的是（
A．f（4）
）
B．f（2）
C．f（1）
【答案】C
3
【解析】由题意()的唯一零点在(1, 2)上，因此(1)与
3
(0)符号相同，(2)，(2)，(4)符号相同且与(0)符号
相反，
故选：C．
3
2
D．f( )
典型例题
题型6：判断函数y＝f（x）是否存在零点
1
【对点训练6】（2023·河北衡水·高一统考期中）已知0 是函数 = 2 − −3的一个零点，若1 ∈ 3, 0 ，2 ∈
高一苏教版数学上册期末
08 函数应用
思维
导图
知识
串讲
常用
技巧/结论
典型
例题
思维导图
知识串讲
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 零点 ⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有
角坐标系，则点到轴的距离（单位：cm）与时间t（单位：min）的函数解析式为（
A． = 5|sin|
B． = 5|cos|
π
C． = 5 sin
30
π
【答案】D
所以可以取 = 2 ，
2π
π
【解析】如图所示：由题意得分针每分钟转 60 = 30rad，
π
则分钟后转了30 rad，
所以零点为−2和3．
故选：D．
D．−2和3
典型例题
题型3：求函数的零点
【对点训练3】（2023·江苏·高一专题练习）函数 = + ln − 1的零点为（
A．（1，0）
B．1
C．e
1
D．
【答案】B
【解析】根据零点的定义，将x＝1代入函数，
则 1 = 1 + ln1 − 1 = 0即零点为：1．
(a>1)
(a>1)
(n>0)
单调递增
单调递增
单调递增
越来越快
越来越慢
相对平稳
随x的增大逐渐表现为 随x的增大逐渐表
图象的变化
y轴
x轴
与
平行
现为与
平行
随n值变化而各有
不同
知识串讲
4.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
【答案】B
【解析】函数 =
1
在区间
3
1, +∞ 上单调递减，函数
= − + 4在区间 1, +∞ 上单调递减，
故函数 =
1
3
− + 4在区间 1, +∞ 上单调递减，
又 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, 4 > 0, 5 < 0，
∴ 0 ∈ 4,5 ．
公共点.
知识串讲
(3)函数零点存在定理
如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 且 有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存在
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1
1
1
(2) = log 2 2 − 2 = 1 − 2 = 2 > 0，
所以()存在唯一零点0 ，且0 ∈ (1,2)．
故选：C．
）
典型例题
题型4：判断零点所在的区间
【对点训练4】（2023·甘肃定西·高一统考期末）已知0 是函数 =
A． 2,3
B． 4,5
C． 3,4
D． 1,2
如图所示，则这个函数的解析式为
【答案】 = 3sin
1

2
π
3
+
【解析】由图象可知 =
小正周期为 = 2
2π
4π
−
3
π
= 3, =
π
π
1
2
4+(−2)
2
= 1，最
2π
, 1)在函数图象上，代
3
−
2π
3
+ + 1,
π
∴ 3sin(− 3 + ) = 0，故− 3 + = π, ∈ , ∴ = 3 +
π
= 2sin 3 − 4 ．
故选：A．
典型例题
题型2：函数y＝Asin（ωx＋φ）模型的综合应用
【对点训练2】（2023·广东东莞·高一统考期末）记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长 = 5cm，
且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直
A．1
C．
17
12
D．
4
3
【答案】A
对称轴为 = 1，当 = 2时， = − 有最小值2 −
【解析】设 = = ，函数 如图所示：
1
2
1
显然有 > 1 > > − 2，
所以直线 = 与函数 相交两点记为(, 2 +
1), , 2 − 1 ，
【对点训练1】（2023·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）函数 = 2sin + ቀ >
π
π
0, − 2 < < 2 ቁ的部分图象如图所示，则函数 解析式为
π
π
【答案】2sin 2 − 3
则 = 2sin 2 − 3 ．
π
3
【解析】设函数的最小正周期为，由图象可知：4 =
5π
π
+
12
3
=
3π
，解得：
4
因为 > 0，所以 =
将
5π
,2
12
= π，
2π

= 2，故 = 2sin 2 + ，
代入解析式得：2sin
π
π
π
因为− 2 < < 2，所以 3 <
π
解得： = − 3 ，
．
5π
+
6
5π
+
6
= 2，
<
4π
5π
+
，故
3
6
π
= 2，
故答案为：2sin 2 − 3 ．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来
越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越
来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快.
则点到轴的距离与时间t的关系可设为： =
π
5 sin − 30 + ，
当 = 0时，点在钟表的12点处，此时 = 5，所以5 =
π
π
D． = 5 cos
30
5 sin − 30 × 0 +
⇔ sin = 1，
π
此时 = 5 cos 30 ，
故选：D．
）
典型例题
故选：B．
）
典型例题
题型4：判断零点所在的区间
1
【例4】（2023·北京海淀·统考二模）函数() = − + log 2 的零点所在区间是（
1
A． 0, 2
B．
1
,1
2
C．(1,2)
D．(2,3)
【答案】C
【解析】易知增函数加增函数为增函数，函数()在定
1
义域 (0, +∞) 上单调递增，且 (1) = log 2 1 − 1 = −1 < 0 ，
= ，显然
D． < −1
+ 2 , > 0
− + 2 , ∈ −∞, −2 ∪ −2,0
1
，它的图象如图所示：
因此要想函数 = +2 − 有三个零点，
1
只需0 < < 1 ⇒ > 1，故选：A
典型例题
题型6：判断函数y＝f（x）是否存在零点
3
【例6】（2023·高一单元测试）若函数f（x）唯一零点同时在（0，4），（0，2），（1，2），(1, 2)内，则与f（0）符号
值范围为（
）
A． > 1
B．0 < < 1
C．1 < < 2
【答案】A
【解析】令 =
1
+2
− =0⇒
1
+2
有 ≠ 0且 ≠ −2且 ≠ 0，
1
于是有 = + 2 =
+ 2 , > 0
，
− + 2 , ∈ −∞, −2 ∪ −2,0
设 = + 2 =
，
所以方程 2 − − = 0 的两根分别为 −3 和2，且 < 0 ，
1
则
−3 + 2 =

−3 × 2 = −
，解得
= −1
，
= −6
故函数 = 2 + − = − 2 + + 6 = − + 2 − 3 ，
则与轴的交点坐标为 3,0 和 −2,0 ，
常用技巧/结论
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并分别用x，y表示.
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.
典型例题
题型1：由三角函数的图象求解析式
【例1】（2023·天津河西·高一天津实验中学校考期末）函数 = sin + + > 0, > 0, <
题型3：求函数的零点
【例3】（2023·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）若不等式 2 − − > 0的解集为 −3 < < 2 ，则函
数 = 2 + − 的零点为（
A． 3,0 和 −2,0
）
B． −3,0 和 2,0
C．2和−3
【答案】D
【解析】因为 2 − − > 0 的解集为 −3 < < 2
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它
的零点所在区间 一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点 ，进而得到
零点近似值的方法叫做二分法.
知识串讲
3.三种函数模型的性质
函数
性质
在(0，＋∞)上
的增减性
增长速度
y＝ax
y＝logax
y＝xn
0 , +∞ ，则（
）
A． 1 < 2
B． 1 > 2
【答案】A