高考数学一轮复习随堂演练：8.4圆的方程.doc

8.4 圆的方程
一、选择题
1．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的曲线关于x ＋y ＝0成轴对称图形，则( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＋F ＝0 C ．E ＋F ＝0
D ．D ＋
E ＋
F ＝0
答案：A
2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π
3
到达Q 点，则Q 的坐标为( ) A ．(－12，3
2
)
B ．(－
32，－12
) C ．(－12，－3
2
)
D ．(－
32，12
) 解析：由题意知∠POQ ＝2π3，∴Q 点为(－12，3
2)．
答案：A
3．(·合肥调研)过点A (1，－1)、B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4
答案：C
4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案：D 二、填空题
5．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为________． 答案：1
6．过两圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝10，C 2：(x ＋2)2＋(y －7)2＝12，交点所在的直线方程为________．
解析：⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
－8x －10y ＋31＝0，x 2＋y 2＋4x －14y ＋41＝0，两式相减得12x －4y ＋10＝0，即6x －2y ＋5＝0.
答案：6x －2y ＋5＝0
7．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 解析：由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题
8．根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.
解答：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7，y ＝－3.
∴圆心为C (7，－3)．又|CB |＝65， 故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.
(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得
⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.
①②
又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，③ 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36.④
由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8. 或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.
故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.
9．已知圆满足①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：
x －2y ＝0的距离为5
5.求该圆的方程．
解答：设所求圆心为P (a ，b )，半径为r ，则圆心到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |，因圆P 截y 轴得弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，又圆被x 轴分成两段圆弧弧长的比为3∶1，∴劣弧所对圆心角90°，故r ＝2b ，即r 2＝2b 2，∴2b 2－a 2＝1① 又∵P (a ，b )到直线x －2y ＝0的距离为5
5
， 得|a －2b |5＝55，即a －2b ＝±1.②
解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝－1
，于是r 2＝2b 2＝2，所以，所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2
＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.
10．如图，已知点P 到两个定点M (－1,0)，N (1,0)的距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程． 解答：设P 点坐标为(x ，y )，根据已知条件可得|PM |∶|PN |＝ 2.即(x ＋1)2＋y 2(x －1)2
＋y
2＝
2，整理得x 2＋y 2－
6x ＋1＝0.①
设PM 的方程为y ＝k (x ＋1)，即k x －y ＋k ＝0. 由N 到PM 的距离为1得
|k －0＋k |k 2＋1
＝1，解得k ＝±3
3.
∴y ＝
3
3
(x ＋1)，② 或y ＝－
3
3
(x ＋1)．③
解①②联立方程组可得⎩⎨⎧ x ＝2＋3，y ＝3＋1，或⎩⎨⎧
x ＝2－3，
y ＝3－1，
解①③联立方程组可得⎩⎨⎧ x ＝2＋3，y ＝－3－1， 或⎩⎨⎧
x ＝2－3，
y ＝1－ 3.
∴P 点坐标为(2＋3，3＋1)、(2－3，3－1)、(2＋3，－3－1)、(2－3，1－3)． 因此所求直线PN 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.即x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. ★选做题
1．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
答案：
B
2．(·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4. (1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为2 3，求直线l 的方程．
(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无数多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆
C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标． 解答：(1)由于直线x ＝4与圆C 1没有交点，则直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝k (x －4)，即
k x －y －4k ＝0，圆心C 1到直线的距离为d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1
.由已知条件：d 2
＝1，即(7k ＋1)2k 2＋1＝1.
整理得48k 2＋14k ＝0，解得k ＝0，或k ＝－7
24.
所求直线方程为y ＝0，或7x ＋24y －28＝0.
(2)设点P (a ，b )满足条件，设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，即k x －y ＋b －a k ＝0，k ≠0，则直线l 2的
方程为y －b ＝－1
k (x －a )，即x ＋k y －a －k b ＝0.根据已知条件得|－3k －1＋b －k a |k 2＋1＝|4＋5k －a －k b |1＋k 2
，去绝对值整理得(a ＋b －2)k ＋(a －b －3)＝0或(a －b ＋8)k －(a ＋b －5)＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0a －b －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＋8＝0
a ＋
b －5＝0
.解得⎩⎨⎧ a ＝5
2
b ＝－1
2
或⎩⎨⎧
a ＝－3
2
b ＝13
2
.
所以满足条件的点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫52，－12或⎝⎛⎭⎫－32，13
2.。