江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何2.3专题提能—“立体几何”专题提能课课件

体体积的两种基本方法．法一是对不规则几何体进行分割．法
二则是在原不规则几何体的基础上补上一个几何体，使之成为
规则几何体.
策略2
等积法：求三棱锥的体积
[例 2] 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 已知 AB＝AA1＝3，点 P 在棱 CC1 上，则三棱 锥 P-ABA1 的体积为________．
提能点(三)
系统数学思想， 实现“触类旁通”
1．函数与方程思想——解决立体几何中的最值问题 [例 1] 如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分 别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D， E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥 体积(单位：cm3)的最大值为___4__1_5__．
∴0<a<5 3，∴所得三棱锥的体积 V＝13× 43a2×
25－5
3
3 a
＝ 123×
25a4－5 3 3a5.
令 t＝25a4－53 3a5，则 t′＝100a3－253 3a4，由 t′＝0，得 a
＝4 3，此时所得三棱锥的体积最大，为 4 15 cm3.
法二：如图，连接 OD 交 BC 于点 G，由题意知，
[点评] 在证明面面平行时，有的同学喜欢跳步，直接由 线线平行得到面面平行，少了由线线平行到线面平行的过程， 在考试中是要被扣分的．立体几何逻辑性非常强，证明时要严 格按照定理的要求来进行书写，切不可漏条件．
提能点(二)
灵活运用策略， 尝试“借石攻玉”
策略1
割补法：求不规则几何体的体积
[例 1] 如图所示，在多面体 ABCDEF 中，
[解析] 法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱 锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为 a(a>0)cm，
则△ABC 的面积为 43a2，△DBC 的高为 5－ 63a，则正三棱锥
的高为 5－ 63a2－ 63a2＝ 25－53 3a，∴25－53 3a>0，
已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ADE，
△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该
2
多面体的体积为_____3___．
[解析] 法一：如图所示，分别过 A，B 作 EF
的垂线 AG，BH，垂足分别为 G，H.连结 DG，CH，
容易求得 EG＝HF＝12.
所以 AG＝GD＝BH＝HC＝ 23，S△AGD＝S△BHC＝12× 22×1＝
42，V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝13×12×
42×2＋
42×1＝
2 3.
法二：如图所示，将该多面体补成一
个斜三棱柱ADE-MNF，点F到平面AMND
的距离为
2 2
，则V＝VADE-MNF－VF-Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCB＝
1 2
×1×
22×2－13×1×1×
22＝
2 3.
[点评] 本题中所用的两种方法实际上就是求不规则几何
[点评] 该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结 合平面内连结两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿 着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定 理来求解，选出最小的那个，容易出错的地方在于考虑不全面， 沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误，所以一定要注意 应该有三条路径.
失误3
因定理表述不严谨而导致丢分
[例 3] 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面 BC1D∥平面 AB1D1.
[证明] ∵BD∥B1D1，BD⊄平面 AB1D1，B1D1⊂平面 AB1D1. ∴BD∥平面 AB1D1， 同理 BC1∥平面 AB1D1. 又∵BD∩BC1＝B，BD⊂平面 BC1D，BC1⊂平面 BC1D， ∴平面 BC1D∥平面 AB1D1.
[解析] 如图，可把该三棱锥补成正方体， 正方体的体对角线即为外接球的直径，所以半
径为
23，所以体积为43π×
233＝
3 2 π.
[答案]
3 2π
[点评] 学生对于本题往往不知道球心的位置而导致不会 解答．把该三棱锥补成正方体来确定球心的位置是求解本题的 关键之处，正方体的体对角线就是外接球直径.
和四边形 DD1C1C 在同一平面内时，最小距离为四边形 AA1C1C 的对角线，长度是 32＋4＋22＝ 45；当四边形 AA1D1D 和四 边形 A1B1C1D1 在同一平面内时，最小距离为四边形 AB1C1D 的对角线，长度是 22＋3＋42＝ 53；四边形 ABCD 和四边 形 CDD1C1 在同一平面内时，最小距离为四边形 ABC1D1 的对 角线，长度是 42＋2＋32＝ 41，所以最小距离是 41 cm.
[解析] 三棱锥 P-ABA1 的体积为 V 三棱锥 P-ABA1＝V 三
棱锥 C-ABA1＝V 三棱锥 A1-ABC＝13S△ABC·AA1＝13× 43×32×3
＝9
4
3 .
[答案]
93 4
[点评] 等积法包括等面积法和等体积法．利用等积法 的前提是平面图形(或立体图形)的面积(或体积)通过已知条 件可以得到，利用等积法可以求解几何图形的高， 特别是 在求三角形的高(点到线的距离)或三棱锥的高(点到面的距 离)时，通常采用此法解决问题．
第三讲
专题提能
——“立体几何”专题提能课
提能点(一)
防止思维定式， 实现“移花接木”
失误1 因不会构造适当的几何体而解题受阻 [例 1] 已知三棱锥 S-ABC 的四个顶点 S，A，B，C 都是球 O 表面上的点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC＝1， 则球 O 的体积等于________．
失误2
因不会利用侧面展开图而解题受阻
[ 例 2] 如 图 所 示 ， 在 长 方 体
ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝4 cm，AD＝2 cm，
AA1＝3 cm，则在长方体表面上连结 A，C1 两
点的所有曲线长度最小值为____4_1___cm. [解析] 将长方体的面分别展开平铺，当四边形 AA1D1D