数学-七年级-第4讲-实数的综合

学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期
时 间
主 题
第4讲-实数综合
学习目标
1. 掌握分数指数幂运算；
2. 复习实数的基本概念；
3. 掌握实数的简单加、减、乘、除运算；
4.
掌握实数运算规律。

教学内容
（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

（二）上次预习思考内容讨论分享 1. 分数指数幂
(0)
1
(0)
n
m n
m
a a a a
=≥=>（其中m 、n 为整数，1>n ）.
2. 小练习
（1）
2212
1)32(-
（2）2212122121
)32()32(-+
（3）3
1212
131212
1
)32()32(-+
（4）2212122121
)32()32(--+
【章节知识检测】 1．在ΛΛ3737737773.057
22
6.114.382202
134
、、、、
、、、、
、π-，这十个数中，无理数有 ____个.
2．16的平方根是 ，21(1)n +--的四次方根是 （n 是正整数）． 3．4055000精确到万位 ；保留两个有效数字 ． 4．计算：
(
)
(
)
2013
2014
32
32
+⨯
-=________．
5．已知23x <<，那么210x x -+-= ． 6．已知370x y ++-=,则y x +2的4次方根是 .
7．如图，实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，试化简：2()||||a b c b a c +---+ = . 8．当x 时，31
x
x -+有意义. 9．计算下列各题： （1）0
2)625()625()23(-++⨯- （2）
()
()
2
2
122
332
-+
-
（3）22
)3()36)(63()2
2(-++--
10．设57+
的小数部分为a ，57-的小数部分为b ，求5ab b +的值.
参考答案：
1、5；
2、2,1±±；
3、66
4.0610,4.110⨯⨯；4、32-+；
c
b
a O
5、102-；
6、2±；
7、0；
8、31x x ≤≠且；
9、1(1)2(2)42231
(3)62
-+
10、57772
57237
5(72)(37)5(37)37762715572
a b ab b =+-=-=--=-+=----=--+-+=
知识点一：分数指数幂
(0)
1
(0)
n
m n
m
a a a a
=≥=>（其中m 、n 为整数，1>n ）.
)
0(1
)
0(>=
≥=-
a
a a
a
a a n m n
m
n m n
m （其中m 、n 为整数，n ＞1）.
上面规定中的m n
a 和m n
a
-叫做分数指数幂，a 是底数. n
m
a =n
m a （a ≥0）,
n m
a
1
=n
m a
- (a >0), 其中m,n 为正整数，n >1.
上面规定中的n
m a 和n
m a
-
叫做分数指数幂，a 是底数.
1.有理数指数幂、整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.
2.有理数指数幂的运算性质， 设a>0,b>0,p,q 为有理数，那么 （1）q p q p a a a +=⋅， q p q p a a a -=÷ （2）()
pq q
p
a a =
（3） ()p
p
p
b a ab =， .p p p
b a b a =⎪⎭
⎫
⎝⎛
【例题精讲】
例1. 将下列方根化成幂的形式
15_____= 3
41_____2⎛⎫
= ⎪⎝⎭
6
75______=
5
9
_______25
= 教法指导：方根转化成幂的时候注意分子分母的数字
答案：1
2
15 ；341()2 ；7
65 ；253
()5
例2. 将下列幂化成方根的形式
122_____= 23
3_____= 34
5
_____-
= 52
10
_____-
=
教法指导：幂转化成方根的时候注意分子分母在方根中的位置 答案：2 ；39 ；
3
4
1
5
；
5
2
1
10
例3．计算：])2()2(3[)1.08(81
16232132
4
-+---⨯-÷-- 教法指导：实数混合运算中注意运算顺序
参考答案：
2211
(410)(982)()3369=-÷-⨯-++=-⨯-=原式
【试一试】
1. 将下列方根化成幂的形式
1
_____6
= 3
2
1
_______4=
3
1
_______14
= 答案：12
6- ；23
4
-
；13
14
-
2. 计算：202
21(12)(21)(12)()2--+-÷-⨯
22
1111
12121(12)222
(12)
=-+÷
⨯=-+-⨯=-原式 知识点二：实数章节整理
【考点1】实数概念及分类
一、概念
实数：有理数和无理数统称实数
无理数：无限不循环小数叫做无理数。

有理数：有限小数或无限循环小数称为有理数。

有限小数：特征一个最简分数的分母只含有因数2或5
无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数
无限循环小数（纯循环小数和混循环小数）：纯循环小数的分母中没有2和5；混循环小数的分母中有2或5也有其他质因数
二、实数分类
按定义分类正整数
整数0
有理数负整数
实数分数正分数
负分数
无理数正无理数
负无理数
特别提示：
（1）小数属于分数的一种情况，因此，小数也属于有理数；
（2）非负数与非整数有一个公共数，这个数就是0
按正负分类
正整数
正有理数正分数
正实数 正无理数 实数 0
负整数 负实数 负有理数 负分数 负无理数
三、特别注意：
1.任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数
2.对无理数的判断注意以下三点：
（1）无理数是无限不循环小数，所以只能以四种形式出现 ①开方开不尽的数，如2,37等；
②化简后含圆周率π的数（“π”虽然是一个常数，但它是无限不循环小数，属无理数）；
③特定结构的数，如0.100 100 010 000 1……等，这类数有规律，但是并不循环； ④有些锐角三角比值。

（2）判断无理数要先化简，不能只看表面形式。

（3）一些除不尽的分数，如
722，13
1
等，会误认为是无理数，但事实上分数都是有理数，而23 这样的数
并不是分数，只是分数的形式。

【例题精讲】
例4. （1）_____ ______叫做无理数，___ ______统称为实数。

无限不循环小数；有理数和无理数
（2）将下列各数填在相应的大括号内
0，13
9
， 25， π-，0.21• ，⋅⋅⋅1010010001.0（相邻两个1之间0的个数依次加1），7，3.1415926
有理数： 0，13
9
，0.21•，3.1415926
无理数：
25，π-，⋅⋅⋅1010010001.0（相邻两个1之间0的个数依次加1），7
非负数： 0，13
9
， 25，0.21• ，⋅⋅⋅1010010001.0（相邻两个1之间0的个数依次加1），7，3.1415926
教法指导：考查实数的概念和分类 【试一试】
判断题
1、无限小数都是无理数. ( )
2、无理数都是无限小数. ( )
3、无理数没有相反数. ( )
4、不带根号的数都是有理数. ( )
5、两个无理数的和一定是无理数. ( )
6、一个实数，不是有理数就是无理数. ( ) 答案：×；√；×；×；×；√；
【考点2】n 次方根与开n 次方
如果一个数x 的n 次方等于a （n 是大于1的整数），则这个数x 叫a 的n 次方根； 注意：
（1） 当n 为偶数时，a （a ≥0）的n 次方根称为a 的偶次方根；
正数a 有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a ”；其中n a 为a 的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a 叫被开方数，n 为根指数；读作“n 次根号a ”.
0的偶次方根等于0，n 0±=0；
负数没有偶次方根（即当a <0时，n a 无意义）.
（2） 当n 为奇数时，a 的n 次方根之为a 的奇次方根；记作： n a ，a 叫被开方数，n 为根指数；n a 读作“n 次根号a ”.
任意实数a 的奇次方根都存在，并且与a 有相同的正负性.
【例题精讲】
例5. 求值：364-＝ ， 3
.0216＝ ，
答案：-8；0.6
教法指导：考查求方根，注意方根的符号 【试一试】
求值：6
641 121
481 664+131- 答案：0.5；
13
11
；1 【考点3】数轴上的点与实数的一一对应关系 例6．如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）
Ａ．7； Ｂ．7-； Ｃ． 3.2-； Ｄ．10-． 教法指导：考查中点逼近法确定方根的取值范围 答案：B
【考点4】绝对值的意义 【例题精讲】
例7．下列说法正确的是（ ）
A ．一个有理数的绝对值一定大于它本身；
B ．只有正数的绝对值等于它本身；
P
C ．负数的绝对值是它的相反数；
D ．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数． 教法指导：考查绝对值的概念 答案：C
【考点5】实数的大小比较 【例题精讲】
例8．实数m 、n 在数轴上的位置如图4所示，则下列不等关系正确的 是（ ）． A ．n ＜m ； B ． n 2
＜m 2
；
C ．n 0
＜m 0
； D ．| n |＜| m | ． 教法指导：考查数轴上的点与实数的关系以及实数比较大小 答案：A 【试一试】
1．比较大小:3 2； 6 2.35.(填“>”或“<”) 答案：＞；＞ 2．比较大小：（1）26+与322+；（2）75-与53-．
答案：＜；＜
【考点6】数轴上两点间的距离 【例题精讲】
例9．数轴上点A 表示-4，点B 表示2，则表示AB 两点间的距离的算式是（ ） A ．-4+2 ； B ．-4-2 ； C ．2-（-4）； D ．2-4． 教法指导：考查求数轴上两点间距离的方法——作差法 答案：C
【考点7】实数的运算 【例题精讲】
例10．计算：（1）1
33(
323)2
--； （2）2(32)(526)-⨯+； 教法指导：考查实数的加减乘除乘方混合运算及常见的公式 答案：（1）原式=19
33323322
-
+=； （2）原式=(526)(526)25241+⨯+=-=.
-1 m n
-2 （图4）
例11．小东在学习了
b a
b
a =
后, 认为b
a b
a =也成立,因此他认为一个化简过程:
5
4
5520520-⨯-=
--=--545-⋅-==24=是正确的. 你认为他的化简对吗?说说理由. 教法指导：考查平方根的意义及计算 答案：不对，被开方数不能是负数.
【考点8】近似数与有效数字 【例题精讲】
例12．地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数据用科学记数法表示为_____(保留三个有效数字)． 教法指导：考查有效数字的意义及科学计数法的表示 答案：81.4910⨯ 【试一试】
一名宇航员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为46.110⨯千米和46.1010⨯千米，这两组数据之间（ ）
Ａ．有差别； Ｂ．无差别； Ｃ．差别是40.00110⨯千米；Ｄ．差别是100千米． 教法指导：考查有效数字的意义及科学计数法的表示 答案：A
【考点9】分数指数幂 【例题精讲】
例13．计算:11
2271
(1)(2)94
-
教法指导：考查分数指数幂的运算 答案：原式=431326
-=- 【试一试】
1．利用幂的运算性质计算：34666⨯⨯ 答案：19
12
6
2．若，，则
_______．
答案：
45
1．把5
4
5表示成幂的形式是__________； 2．求值：2
61()8
-= ；
3．如果175n 是一个正整数，求满足条件的最小正整数____________； 4．已37.186a =知，371.86ab =，则b = ； 5．近似数63.15610⨯精确到 位，有 个有效数字；
6．当m = 时，7m -+的最大值是 ； 7．化简：(
)2
2
(1)1a a
-+
-= 。

8．已知7a =，70b =，用含,a b 的式子表示 4.9__________= 9．一个数的两个不同的平方根是1a +和24a -，则这个数是___________.
10．在实数轴上有A 、B 两点，点A 对应实数35，已知AB 距离55，则点B 对应的实数为 ． 11．把
2写成分数指数幂是 ．
12．若0x <，则2
32x x -= ．
13．化简33a a -⋅-后的结果为（ ）
（A ）3a - （B ）3a - （C ）3a - （D ）0 14．下列说法中错误的是（ ） （A ）2的平方根是2 （B ）33(2)2-=-
（C ）2(2)2-=
（D ）2111n +-=-（n 是正整数）
15、下列个数中，无理数的个数有（ ）
12、0.1010010001-、35-、
4π、38-、0.321&&、157
-、0、16 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
16、将2
(2)--、1
2
2-、1
21()2-、2 12-按从小到大顺序排序（ ） A . 1122221 1(2)2()22---<-<<- B . 1
12222 112(2)()22---<-<-< C . 1122221 1()(2)222--<-<-<- D . 112
2
22 11(2)2()22
---<-<-<
17、实数a 、b 在数轴上的位置如图，化简2()
()a a b a b a b
+--
+的结果为（ ）
A . b
B . b -
C . 2a b -+
D . 2a b - 18．利用幂的运算性质计算：
（1）3
2
6
9273⨯÷ （2） 11113
6
4
2
392781⨯÷⨯
19．计算：
b
a
（1）(236)(236)+--+ （2）(
)
2
3
3
1
353
255
÷+
---
（3）1
3
3
234
81(2)0.5162721-⎛⎫⎛⎫--+÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
20．观察下列式子
1121
2121(21)(21)⨯-==-++-， 132
32(32)32
⨯-=-+-，
1(23)
23(23)(23)
⨯-=-+-，L
1）根据以上规律，可得：
152=+ ，1
65
=+ ． 2）能否通过计算，用含n 的代数式总结规律？ 3）计算1111
1223329910
++++
++++L
参考答案： 1、4
5
5；2、
1
2
；3、7； 4、1000； 5、千，4； 6、-7，0； 7、22a -； 8、
7a b ； 9、259
； 10、2585-或； 11、1
8
2； 12、5x -；
13、D ； 14、A ； 15、C ； 16、B ； 17、A ； 18、（1）8
3
3； （2）1； 19、（1）627-；（2）55-； （3）23；20、（1）52-，65-；（2）111n n n n
=+-++；（3）9
1、363263⨯÷⨯
2、113
22
2
71551294⎛⎫⎛⎫
⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3、
22
(12)(223)--- 4、(
)
2
2
13223-⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭
5、 1
3102
2113()|4(2)| 2.25(1)(2)235
----⨯--⨯-+-
6、已知229918
3
x x y x -+-+=-，求xy 的平方根．
7、已知,x y 分别是43-
的整数部分和小数部分，求22xy y -的值。

8、已知a 、b 、c 满足关系式()05242
=-+-++c b a ，求c b a ++的平方根.
9、已知b a ,7-=的相反数的绝对值是0，c 是1-的立方根，求222c b a ++的立方根.
答案：1、1513(1)
(2)24
(3)324(4)1(5)8
2
6
20
- 6、3±；7、222,43223,22(23)(23)1x y xy y ==--=--=---= 8、3± 9、2
（1）用剪刀剪东西的时候，两个刀柄之间的夹角和两刀刃之间的夹角有什么关系？ （2）轨道并轨处有什么特征？。