广西南宁市第三中学高三10月月考——数学理(数学(理))

广西南宁市第三中学
2019届高三10月月考
数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R| }，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A．{0,1,2} B．{0,1}
C．{1,2} D．{1}
2．复数满足，则（）
A．B．C．D．
3．下列各式中的值为的是（）
A．B．
C．D．
4．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )
A．B．C．D．
5. 已知为实数，“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为()
A．5 B．6 C．8 D．7
7．函数的部分图象大致是图中的（）．
A．B．C．D．
8．已知，则下列关系正确的是（）
A．B．C．D．
9．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外
接球的表面积为
A．B．C．D．
10．已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．B．
C．D．
12．已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点
，，点为线段上的动点，若取得最小值和最大值时，的
面积分别为，，则( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数满足，则的最大值为__________．
14．若的展开式式中含的项为__________.
15．直线l与抛物线相交于A、B两点且AB的中点为M（1、1），则l的方程为________.
16．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则角A的取值范围是________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题12分）
设正项等比数列的前项和为，且满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列，求的前项和.
18. （本小题12分）
如图，平面平面，其中为矩形，为梯形，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角的平面角的余弦值为，求的长.
19. （本小题12分）
质检部门从某超市销售的甲、乙两公司生产的糖果中分别各随机抽取
100颗糖果检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：
(I)求出频率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两个公司各抽取的100颗糖果的质量指标方差分别为，
试比较的大小（只要求写出答案）；
(Ⅱ)用样本情况估计甲乙另个公司的产品情况，估计在甲、乙两个公司的糖果中各随机抽取1颗，恰有一颗的质量指标大于20，且另一颗糖果的质量指标不大于20的概率；
(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为，乙公司生产的糖果质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙公司生产的糖果中随机抽取10颗，其品质指标值位于（14.55，
38.45)的颗数，求的数学期望.
注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：
②若，则，.
20.（本小题12分）
已知椭圆的离心率为，左右端点为,其中的横坐标为2. 过点的直线交椭圆于两点,在的左侧，且，点关于轴的对称点为，射线与交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证:点在直线上.
21.（本小题12分）
设是在点处的切线．
（1）求证：；
（2）设，其中．若对恒成立，求的取值
范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）
已知直线的参数方程为（为参数），在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值.
23. [选修4—5：不等式选讲]（本小题10分） 已知，且，证明： （1）； （2）.
参考答案
一、单选题
1.C 【解析】由题意得，图中阴影部分所表示的集合为. ∵∴
∴()
{}{}{}1,2,3,4,5|312U A B x R x ⋂=⋂∈<=，ð 2.D 【解析】，
，所以
3.C 【解析】由二倍角公式得到= ; 由二倍角公式得到 ; 由二倍角公式得到; =1.
4. B 【解析】2,-20,--0BC BA BP BC BA BP BC BP BA BP PC PA +=+=+=+=移项得
5.C 【解析】
6. D 【解析】 根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4. 因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=
7. 7. B 【解析】
由题意，函数为偶函数，∴函数的图象关于轴对称，故可以排除，答案． 又 ∵函数在区间上为增函数，排除B ，故选． 8.A 【解析】∵，，，
因为，即，∴，故选A.
9.B 【解析】 三棱锥中，为等边三角形，，
，
，
以为过同一顶点的三条棱，作长方体如图， 则长方体的外接球也是三棱锥外接球， 长方体的对角线为，球直径为，半径为， 因此，三棱锥外接球的表面积是，故选
B.
10. A 【解析】由题知有解，令，，故函数在递减，在递增，所以，解得. 11.D
【
解
析
】
设
AB=4,
则
OG=GH=FD=HI=IE=,DE=2,
所
以
12.A 【解析】由已知得，，故线段所在直线的方程为， 又点在线段上，可设，其中， 由，，
得
，
，
则
，由，可知当时，
取得最小值，此时，当时，取得
最大值，此时
，所以．.
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13. 9【解析】详解：画出可行域如图所示， ，可知当目标函数经 过点时取最大值，最大值为 14.【解析】的展开式中通项公式为
， 令时，展开式中含的项为.
15..【解析】设、则
4
a 9 0.5
0.1
b
相减可得：有
中点为故
的方程为：即故答案为
16. ⎝⎛⎦
⎤0，π
6【解析】由已知及正弦定理得
,
∴sin B ＝2sin A ，
∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32
，当且仅当c ＝3
a 时取等号，∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π
6
，则角A 的取值范围
是⎝⎛⎦⎤0，π6. 三、解答题 17．【解析】（Ⅰ） 设正项等比数列的公比为，则且 由已知有，即
故
或（舍）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 故当时， 当时， 当时，
. 18．【解析】(Ⅰ)平面平面,且为矩形， 平面，又平面,，又且 平面.
19.【解析】 (1)；
(Ⅱ)设事件：在甲公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，事件：在乙公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，事件：在甲、乙公司产品中随机抽各取1颗，恰有一颗糖果的质量指标大于20，且另一个不大于20，则
，
，
；
（Ⅲ）计算得:，由条件得 从而
，
从乙公司产品中随机抽取10颗，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826， 依题意得，
.
20.【解析】
（1）因为离心率为，所以 因为的横坐标为2，所以
因此椭圆的方程为； （2）设
由与联立，得
所以
直线:，直线:，
联立解出
21【解析】
（1）设，则，所以．所以．
令．
满足，且．
当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增．
所以，）．所以．
（2）法一：的定义域是，且．
①当时，由（Ⅰ）得，
所以．
所以在区间上单调递增，所以恒成立，符合题意．
②当时，由，且的导数，
所以在区间上单调递增．
因为，，
于是存在，使得．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，此时不会恒成立，不符合题意．
综上，的取值范围是．
法二：∵
∴
当
当
令=
令,
故,故，
综上。

22.【解析】
（1）∵，
∴，即，
此即为曲线的直角坐标方程.
（2）将代入得，
∴，∵直线与曲线只有一个公共点，
∴，即，
，又，∴或.
23【解析】
（1）∵,
∴, 当且仅当时，取得等号.
（2）因为，且
所以，所以，
所以.。