2017-2018学年福建省福建师范大学第二附属中学高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版

福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二年期末考
数 学 试 卷
（满分：150分 完卷时间：120分钟，）
班级 姓名 座号 准考证号 ．
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项） 1.如果复数2－bi
1＋2i 的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为( )
A. 2
B ．－2
C ．－23 D.2
3
2．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ′＝2x y ′＝3y
后得到的曲线方程为( ) A ．y ＝3sin x
B ．y ＝3sin 2x
C ．y ＝3sin 12x
D ．y ＝1
3
sin 2x
3．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为
0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ）
A ．3
B ．3.5
C ．4.5
D ．2.5
4．已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则=>)4(X P （ ） A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585 5.5
(21)(2)x x -+的展开式中含4x 项的系数为( )
A ．30
B ．70
C ．90
D ．150
6将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．72
7.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于 ( )
A.
3
1
B.
18
1
C.
6
1 D.
9
1 8. 设随机变量X 的分布列如下
若E(X)=
8
15
,则D(X)等于
( ) A.
327
B.
32
9
C.6432
D.
64
55
9.
=
=
=
==a b +=（ ） A ．109 B ．1033 C.199 D ．29
10.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种.
A. 120
B. 260
C. 340
D. 420 11. 7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（ ）
A ． 60 B.120 C.240 D.360
12．已知0a >，若存在0x >，使得(2ln )1ax x -≥能成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13.已知X 服从二项分布B （n,p ）,且E(3X+2)=9.2，D(3X+2)=12.96，则二项分布的参数 n= ，,p= .
14.已知三个正态分布密度函数
e 21
)
(i
i x σπ=
ϕ（R ∈x ，3,2,1=i ）的图象如图所示,
123,,μμμ的大小关系是 ；123,,σσσ的大小关系是 .
15.已知椭圆122
22=+b y a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰_______.
（10题图）
16.设函数
()0
f x=的根为 .
n
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)
某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX.
18. （本题满分12分）
全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定,“全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随
⨯列联表：
机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查,得到以下的22
（1的把握认为A市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？
（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男
性市民和女性市民的人数；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从A 市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取
3位市民进行长期跟踪调查,记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X .
①求X 的分布列；
②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .
，其中n a b c d =+++
参考数据：
19. （本题满分12分）
元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.
（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.
（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.
20. （本题满分12分）
近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．
图1 图2
（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；
（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用
作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，
）：
①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．
附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；
②参考数据：．
21. (本题满分12分)
已知函数()()2
ln 2a f x x a R x =-∈.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若0a >，设函数()()2g x f x x a =-有唯一零点，求a 的值.
22.（本小题满分10分）
已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D 的极坐标是31,2π⎛⎫
⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为2
1cos ρθ
=
-.
（1）求点 D 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若经过点D 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求DA DB ⋅的最小值.
福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二年期末考
数 学 试 卷
（满分：150分 完卷时间：120分钟，）
班级 姓名 座号 准考证号 ．
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项） 1.如果复数2－bi
1＋2i 的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为( C )
A. 2
B ．－2
C ．－23 D.2
3
2．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x
y ′＝3y 后得到的曲线方程为(A )
A ．y ＝3sin x
B ．y ＝3sin 2x
C ．y ＝3sin 12x
D ．y ＝1
3
sin 2x
3．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为
0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ A ）
A ．3
B ．3.5
C ．4.5
D ．2.5
4．已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则=>)4(X P （ B ） （A ）0.1588 （B ）0.1587 （C ）0.1586 （D ）0.1585 5.5
(21)(2)x x -+的展开式中含4x 项的系数为(B )
A ．30
B ．70
C ．90
D ．150
6将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ C ） （A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）72
7.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,
则P(B|A)的值等于 ( C )
A.
B. C. D.
8. 设随机变量X 的分布列如下
若E(X)=
8
15
,则D(X)等于 (D ) A.
327
B.
32
9
C.6432
D.
64
55
9.=====a b +=（A ） A ．109 B ．1033 C.199 D ．29
10.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种.
A. 120
B. 260
C. 340
D. 420 11. 7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（C ）
A ． 60 B.120 C.240 D.360
12．已知0a >，若存在0x >，使得(2ln )1ax x -≥能成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13.已知X 服从二项分布B （n,p ）,且E(3X+2)=9.2，D(3X+2)=12.96，则二项分布的参数n,p 的值分别为6 * ，0.4 * .
14.已知三个正态分布密度函数2
22)(e 21
)
(i i x i
i x σμ--
σπ=
ϕ（R ∈x ，3,2,1=i ）的图象
（8题图）
如图所示,123,,μμμ的大小关系是 123123,μμμσσσ<
==<* ；
123,,σσσ的大小关系是 * .
15.已知椭圆122
22=+b y a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰_π______.
16.设函数
则方程
()0n f x =的根为
.
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本题满分12分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；
（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .
17. 解：（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=， 所以高为
0.3
0.065
=．频率直方图如下：
第一组的人数为
1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以200
10000.2
n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以195
0.65300
p =
=．
第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.46
a =⨯=． （2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为
60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6
人． 随机变量X 服从超几何分布．
031263185(0)204C C P X C ===，12
1263
1815
(1)68
C C P X C ===， 21
12631833(2)68
C C P X C ===，301263
1855
(3)204C C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为
∴数学期望5153355012322046868204
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=
18.全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定,“全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查,得到以下的22⨯列联表：
（1的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？ （2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男
性市民和女性市民的人数；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从A 市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取
3位市民进行长期跟踪调查,记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X .
①求X 的分布列；
②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .
，其中n a b c d =+++
参考数据：
18.解：（1）由列联表可得
K 2
所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关.
（2）依题意可知，所抽取的15位市民中,男性市民有，女性市民有
. （3）（i ）由22⨯列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为
率，即从A
由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，
即，所
以
从而X 的分布列为：
（10分）
（ii ）E （X ） D （X ）=np
19. 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.
（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.
（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.
19.试题解析：（1）选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件A ，则()223
3
44416
P A ⨯⨯=
=
⨯⨯，故所求概率()()2
32471116256
P P A P A ⎛⎫
=-=-=
⎪⎝⎭． （2）若选择方案一，则需付款100.69.4-=（万元）． 若选择方案二，设付款金额为X 万元，则X 可能的取值为6,7,8,10，
()()22112232212215
6,74441644416
P X P X ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==
====
⨯⨯⨯⨯，
()2232232217844416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==
=⨯⨯， ()3
1016
P X ==，
故X 的分布列为
所以()1573
678107.937516161616
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=（万元）9.4<（万元）
， 所以选择第二种方案根划算． 20．（1）
；（2）①
，②
万元.
【解析】分析：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在
的频率为，在的频率为
，则
．
（2）①由
得
，即关于的线性回归方程为
． 其中，
则关于的线性回归方程为
，据此可得
②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；
使用时间在
的平均成交价格为
，对应的频率为
，则该汽车交易市场对于成交的
每辆车可获得的平均佣金为
万元.
详解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的
频率为，在
的频率为
所以．
（2）①由
得，即关于的线性回归方程为
．
因为
，
所以关于的线性回归方程为，
即关于的回归方程为
②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：
使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在
的平均成交价格为
，对应的频率为
所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为
万元.
点睛：本题主要考查非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21. (本题满分12分)已知函数()()2
ln 2a f x x a R x =-∈.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若0a >，设函数()()2g x f x x a =-有唯一零点，求a 的值.
21.解：（Ⅰ）由题可知函数()f x 为()0,+∞
()2222()
a x a x f x x
x '=--=
…………………………………1分
①当0a ≤时，()0f x '≥在()0,+∞上恒成立 此时函数()f x 在()0,+∞上单调递
增 …………………………………2分
②当0a >时，令()0f x '=
，则x =
x =
当(x ∈时，()0f x '<，
当)
x ∈
+∞时，()0f x '>
此时函数()f x
在(
上单调递减，在)
+∞上单调递
增 …………………………4分
（Ⅱ）由题可知()2
2ln 2g x x a x ax =--， ()2222x ax a
g x x
--'=.
令()0g x '=，即20x ax a --=，
因为0,0a x >>
，所以102
a x -=< (舍去)，
22
a x +=
. …………5分 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减，
当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增， …………………………6分
所以()g x 的最小值为
()2g x . …………………………………7分
因为函数()g x 有唯一零点，所以()20g x =， …………………………………8分
由()()220,
{
0,
g x g x ='=即22222
22220,{
0,
x alnx ax x ax a --=--= …………………………………9分
可得222ln 0a x ax a +-=，因为0a >，所以()222ln 10*x x +-=， 设函数2ln 1y x x =+-，因为当0x >时该函数是增函数， 所以0y =至多有一解.
…………………………………10分
因为当1x =时，0y =， …………………………………11分
所以方程()*的解为21x =，即12
a +=，解得12a =. …………………………
12分
（22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程） （1）()0,1-，2
44y x =+；（2）3.
【解析】
试题分析：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得点D 的直角坐标，由2
1cos ρθ
=
-可得
cos 2ρρθ=+，从而得()2
222x y x +=+，化简即得曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的倾斜角是α，则l 的参数方程变形为cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨
=-+⎩,代入2
44y x =+,得()22sin 4cos 2sin 30t t ααα-+-=,设其两根为12,t t ，则1223
sin t t α
=-
，从而
122
3
sin DA DB t t α
⋅==
，当90α=︒时, DA DB ⋅取得最小值3. 试题解析：（1）点D 的直角坐标是()0,1-,2
,cos 21cos ρρρθθ
=∴=+-,即
()2
222x y x +=+,
化简得曲线C 的直角坐标方程是2
44y x =+. （2）设直线l 的倾斜角是α，则l 的参数方程变形为cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨
=-+⎩,代入2
44y x =+,得
()22sin 4cos 2sin 30t t ααα-+-=,设其两根为12,t t ，
则121222
33
,sin sin t t DA DB t t αα
=-
∴⋅==,当90α=︒时, DA DB ⋅取得最小值3. 考点：1、参数方程；2、坐标变换；3、一元二次方程根与系数的关系．。