数学建模5-层次分析法

数学建模5-（离散模型）层次分析法
层次分析法的基本步骤如下：
层次结构分析模型实例：（选择旅游地）
每次取两个因素C i和C j，用a ij表示C i和C j对上层因素O的影响之比，全部结果可用成对比较矩阵表示：a ij=1（i=j）
由成对比较阵求权向量的特征根法：
（原理）一致阵的概念：a ij·a jk=a ik，I,j,k=1,2,……,n
一致阵的性质：1.R（A）=1，A的唯一非零特征根为n；2.A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。

若A不是一致阵在不一致容许的范围内，用对应于A最大特征根（记作λ）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=λw。

（实现方法）——和法
例子：
一致性检验：
一致性指标：（CI越大A的不一致程度越严重）
随机一致性指标：
一致性比率：当时，认为A的不一致程度在容许范围内。

组合权向量的计算
组合一致性检验：
关于层次分析法的一些问题：
1.不完全层次结构中组合权向量的计算：
例：
如何得到合理结果？
用支配因素的数量对权向量进行加权修正
2.成对比较阵残缺时的处理：
设Θ表示残缺；
3.本节讨论的内容主要是逐阶层次结构（层次内部因素无相互影响或支配，层
次自上而下，逐层传递的支配关系）
对于更复杂的层次结构，可能存在层次内部因素之间的相互影响，下层反过来对上层有支配作用，层次之间存在反馈作用等。

附：层次分析法的简单MATLAB实现
clc;
clear;
A=[1 1.2 1.5 1.5;
0.833 1 1.2 1.2;
0.667 0.833 1 1.2;
0.667 0.833 0.833 1];
%因素对比矩阵A，只需要改变矩阵A
[m,n]=size(A); %获取指标个数
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];
R=rank(A); %求判断矩阵的秩
[V,D]=eig(A); %求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量；
tz=max(D);
B=max(tz); %最大特征值
[row, col]=find(D==B); %最大特征值所在位置
C=V(:,col); %对应特征向量
CI=(B-n)/(n-1); %计算一致性检验指标CI
CR=CI/RI(1,n);
if CR<0.10
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
disp('对比矩阵A通过一致性检验，各向量权重向量Q为：');
Q=zeros(n,1);
for i=1:n
Q(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化
end
end
Q。