2019版九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版

*3 垂径定理
【教学目标】
知识技能目标:
1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.
2.运用垂径定理及其逆定理解决问题.
过程性目标:
经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 情感态度目标:
通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.
【重点难点】
重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.
难点:垂径定理及其逆定理的证明,以及应用时如何添加辅助线.
【教学过程】
一、创设情境
1.等腰三角形是轴对称图形吗?
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,可以发现什么结论?
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心,腰长为半径画圆,得到的图形是否是轴对称图形呢?
二、探究归纳
1.如图,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
(1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
条件:①CD是直径;②CD⊥AB
结论(等量关系):③AM=BM;④=;⑤=.
证明:连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵☉O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
和重合,和重合.
∴=,=.
.
证明完毕后,让学生自行用文字语言表述这一结论,最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.辨析:判断下列图形,能否使用垂径定理?
注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦.
通过以上辨析,让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.
3.垂径定理逆定理的探索
如图,AB是☉O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.
(1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
条件:①CD是直径;②AM=BM
结论(等量关系):③CD⊥AB;④=;⑤=.
让学生模仿垂径定理的证明过程,自行证明逆定理,并表述逆定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
4.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立?
反例:______
例:如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中,点O是所在圆的圆心),其中CD=600 m,E为上的一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90 m.求这段弯路的半径.
解:连接OC,设弯路的半径为R m,
则OF=(R-90)m.
∵OE⊥CD,
∴CF=CD=×600=300.
根据勾股定理,得OC2=CF2+OF2,
即R2=3002+(R-90)2.
解这个方程,得R=545.
所以,这段弯路的半径为545 m.
三、交流反思
学生交流总结
1.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2.解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连接半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.
四、检测反馈
课本P76 随堂练习T1,T2
五、布置作业
课本P76 知识技能T1,T2,T3
六、板书设计
*3 垂径定理
1定理: 2.逆定理: 3.应用:
探究练习
七、教学反思
垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点,教师如果直接给出,则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会.因此,应该让学生大胆表述,并对每位学生的表述严谨分析,找出漏洞,反复提炼,直至得出正确的说法,使学生得到更好的锻炼.。