2022-2023学年上海交通大学附属中学高一年级上册学期分考试数学试题【含答案】

2022-2023学年上海交通大学附属中学高一上学期分考试数学试题
一、填空题
1．关于x 的不等式的解集是___________.23
020x x -≤-【答案】(20,23]
【分析】把给定不等式化成一元二次不等式求解即可.
【详解】不等式化为：，解得，23
20x x -≤-200(23)(20)0x x x -≠⎧⎨--≤⎩2023x <≤所以不等式的解集是.23
020x x -≤-(20,23]故答案为：.
(20,23]2．已知a 、，且，则ab 的最大值是____________.
R b ∈22
41a b +=【答案】##0.25
1
4【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值.
22
144a b ab =+≥ab 【详解】因为实数满足，
,a b 22
41a b +=所以由基本不等式可得：22
1422a b a b
=+≥⨯所以，当且仅当，即
时等号成立，
14ab ≤
22142a b =
=a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩
即的最大值为.
ab 1
4故答案为：.
1
43．若点P (3，y )是角终边上一点，且
，则y 的值是____________.
α2
sin 3=-
a 【答案】
【分析】利用三角函数值的定义，即可求解.
【详解】
，解得
s 3
2
in α=
=-
y =
故答案为：
4．已知
.若是奇函数，则实数a 的值是____________.
()11f x x x a =
+
-(1)=-y f x 【答案】2
-【分析】利用已知函数的定义域，结合奇函数的定义计算作答即可.【详解】函数
的定义域为且，
11()f x x x a =
+
-{R |0x x ∈≠}x a ≠因为函数是奇函数，则当且时，恒成立，
(1)=-y f x 1x ≠1x a ≠+(1)(1)0f x f x --+-=因此，整理得，
111101111x x a x x a +++=--------2221101(1)a x a x ++=-+-即，于是得，解得，22
222
(1)(1)(2)0(1)[(1)]a a a x x a x ++++--=-+-2(1)(1)020a a a ⎧+++=⎨--=⎩2a =-所以实数a 的值是.2-故答案为：2
-5．若函数的值域是，则函数的值域是____________.()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()12121F x f x f x =+++【答案】
172,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
(21)f x +【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(21)t f x =+1,42⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦函数变为
，，()F x 1y t t =+
1,42t ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦由对勾函数的性质知
在上递减，在上递增，1y t t =+
1,12⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦[1,4]时，，而时，，时，，即，1t =min 2y =12t =52y =4t =17y 4=
max 174y =所以原函数值域是.172,4⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦故答案为：
.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知里氏震级R 与地震释放的能量E 的关系为
.那么里氏8.4级的地震释放的
()2
lg 11.43R E =
-
能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的_____________倍.(精确到0.1)【答案】251.2
【分析】根据给定条件，作差并结合对数运算求解作答.
【详解】令里氏8.4级的地震释放的能量为，里氏6.8级的地震释放的能量为
，
1E 2E 则，，两式相减并整理得，()12lg 11.48.43E -=()22lg 11.4 6.83E -=12lg lg 2.4E E -=即
，因此.
12
lg 2.4E E = 2.41
210251.2E E =≈故答案为：251.2
7．若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为____________.
24
25【答案】或.
354
5【分析】设顶角，则其底角的余弦值为
，由半角公式求值即可.()0,πα∈πcos sin 222αα
æöç÷-=ç÷èø
【详解】设顶角，则，∴
或()0,πα∈247sin ,cos 2525αα==±3sin 25α=45则其底角的余弦值为
或.π3cos sin 2225ααæöç÷-==ç÷èø4
5故答案为：或.
354
58．已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点顺时针旋转至，则点的横坐标是
(4,3)-3π
OA '
A '____________.
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合差角的余弦公式求解作答.
【详解】以x 轴非负半轴为角的始边，令射线OA 为终边的角为，则射线为终边的角为
，
αOA '
π
3α-
显然
，
，5OA OA =='=34
sin ,cos 55αα=-=
因此
，πππ413cos cos cos sin sin 333525ααα⎛
⎫-=+=⨯- ⎪⎝⎭
所以点A '5=
9．方程
的实数解为____________.
9135
x x +-=【答案】
3log 2
x =【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.
0x ≤0x >9135x x +-=3x
【详解】当时，则，由可得
，可得
；
0x ≤31x ≤9135x
x
+-=()2
3
3
40
x x
--=3x =
当时，则，由可得
，可得，解得
.
0x >31x
>9135
x x +-=()2
33
60
x x
+-=32x =3log 2x =故答案为：
.
3log 2x =10．设，当时，恒成立，则实数m 的取值范围是
()222x x
f x --=R x ∈()()210f x mx f ++>____________.【答案】
()
1,1-【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性
2(2)(1)0f x mx f ++>2
(2)(1)f x mx f +>-和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
2
210x mx ++>R x ∈【详解】由函数
，111(22)[2()]
22222()2x x x x x x f x --=--=⋅-=均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，
1212,2x
x
y y ⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭ R ()f x R 且满足，所以函数为奇函数，1
111()2
2()22()x x x x f x f x --------=-=-=-()f x 因为，即
，2(2)(1)0f x mx f ++>2
(2)(1)(1)f x mx f f +>-=-可得恒成立，即在上恒成立，
221x mx +>-2
210x mx ++>R x ∈则满足，即，解得，
2(2)40m -<2
44m <11m -<<所以实数的取值范围是.m (1,1)-故答案为：.
(1,1)-11．已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，()ln f x x =1,e D t ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦e a D ∈b D ∈使得
，则实数的取值范围是_____________.
()()4
f a f b +=t 【答案】
{}5
e
【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值.
()f x D ()14e 1
e f t f t ⎧
⎛⎫
+= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎪>⎪⎩t 【详解】因为函数
在上单调递增，
()
f x D 对任意的，都存在唯一的，使得
，
a D ∈
b D ∈()()4
f a f b +=则，解得.
()1ln 14e 1e f t f t t ⎧
⎛⎫
+=-= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎪>⎪
⎩5
e t =故答案为：
.
{}5
e 12．对任意集合M ，定义
，X 是全集，集合，则对任意的，下列命1.()0,M x M
f x x M ∈⎧=⎨
∉⎩,S T X ⊆x X ∈题中真命题的序号是_____________.（1）若，则；
S T ⊆()()
S T f x f x ≤（2）；
()()
1S S f x f x =-（3）
；
()()()
S S T T f x f x f x =⋅ （4）
(其中符号[a ]表示不大于a 的最大整数).()()()12S T S T f x f x f x ⎡⎤
++=⎢⎥
⎣⎦ 【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.
【详解】对于(1)，因，时，，，时，，而
S T ⊆x S ∈x T ∈()()1S T f x f x ==x S ∉()0S f x =或
，则，(1)正确；
()0
T f x =()1T f x =()()S T f x f x ≤对于(2)，时，，则，时，，
x S ∈x S ∉()1,()0
S S f x f x ==x S ∉x S ∈即
，
，从而有
，(2)正确；
()0,()1
S S f x f x ==()()1
S S f x f x +=()1()
S S f x f x =-对于(3)，，则，，
x S T ∈ ,x S x T ∈∈()1,()1,()1S T S T f x f x f x === 即
，
()()()S T S T f x f x f x =⋅ ，则，此时与至少有一个成立，即与中至少一个
x S T ∉⋂()0S T f x = x S ∉x T ∉()0S f x =()0T f x =成立，从而
成立，
()()()S T S T f x f x f x =⋅
综上知(3)正确；对于(4)，时，
，若，则，
x S T ∈⋃()1S T f x = ,x S x T ∈∈()1,()1S T f x f x ==，
()()13
[
[]1
22S T f x f x ++==若，则，，
,x S x T ∈∉()1,()0S T f x f x ==()()1
[
]12S T f x f x ++=若，同理可得，
,x S x T ∉∈()()1[1
2S T f x f x ++=若，则，，，
x S T ∉⋃,x S x T ∉∉()()()0S T S T f x f x f x === ()()11
[
[]022S T f x f x ++==综上得，(4)正确.
()()1
()[]
2S S T T f x f x f x ++= 故答案为：（1）（2）（3）（4）.
【点睛】方法点睛：本题关键是理解函数的新定义，题目的来源是数学中著名的狄利克雷函数，需要对函数的新定义充分理解，进行合理的分类讨论，做到不重复不遗漏，可以利用维恩图进行辅助.
二、单选题
13．若a ，b 为实数，则“”是“
”的（ ）
1ab >1
b a >
A ．充分但非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
【答案】D
【分析】通过举反例和反例即可判断.2,3a b =-=-2,3a b =-=【详解】当时，满足，但此时
，故正向无法推出，
2,3a b =-=-1ab >1
b a <
同样时，满足，但此时，故反向也无法推出，2,3a b =-=1b a >
1ab <故“”是“”的既不充分也不必要条件.
1ab >1
b a >
故选：D.
14．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（ ）
θsin cos θθ-A ．B ．C ．D ．433453
12
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得出
，求出的取值范围，结合正弦函πsin cos 4θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π4θ-数的值域可得出的取值范围，即可得出合适的选项.
sin cos θθ-
【详解】因为，则，所以，，
ππ2θ<<ππ3π444θ<-<(
πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以，可取的值为.sin cos θθ-4
3故选：A.15．已知
.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（ ）
()22
x f x =-()a b a b ≠、
A ．
B ．
22a b ab f f
f a b +⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭
22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
C ．
D ．
22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪
+⎝
⎭⎝⎭
22ab a b f
f f a b +⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合均值不等式可得，再探讨函数的单调性，确22
a b ab
a b +>>
+()f x
定中不可能最大的作答.2(),(2ab a b
f f f a b ++
【详解】正实数，则，有，()a b a b ≠、02a b +>>0
2a b
ab +>>2ab a b >+
因此，函数，
202a b ab a b +>>>+22,1()2222,1x
x
x x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩即有函数在上单调递减，在上单调递增，
()f x (0,1][1,)+∞
若，则有，C 正确；01
2a b
+<
≤2()()2ab a b f f f a b +>>+
若，则有，A 正确；21
ab
a b ≥+2()()2a b ab f f f a b +>>+
若且时，，
12a b +>201ab
a b <<+1≥2a b f f +⎛⎫
> ⎪⎝⎭
时，，实数最大数记为，
1≤2ab f f a b ⎛⎫
> ⎪+⎝
⎭,,c d e max{,,}c d e
于是
，
22max{(
),(max{(),(22a b ab a b ab
f f f f f f a b a b ++=>++因此选项B 可能，选项D 一定不可能.故选：D
16．若，，下列判断错误的是
ππtan 22b a θθ⎛⎫
=
-<< ⎪⎝⎭()()sin cos 02πa x b x x ϕϕ+=+≤<（ ）
A ．当时，
B ．当时，0,0a b >>ϕθ=0,0a b ><2πϕθ=+
C ．当时，
D ．当时，0,0a b <>πϕθ=+0,0a b <<2π
ϕθ=+【答案】D
【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.
ϕ【详解】由选项知，，
，
0ab
≠sin cos )
a x
b x x x +=令
，有
，
，
cos ϕϕ==
)sin t n ππ
2an ta (c 2os b a ϕϕθθϕ=
=-<=<02πϕ≤<则
，sin cos cos cos sin ))a x b x x x x ϕϕϕ+=+=+对于A ，当时，为第一象限角，且，，，则，A
0,0a b >>ϕπ02ϕ<<
π
02θ<<tan tan ϕθ=ϕθ=正确；
对于B ，当时，为第四象限角，且，，，则
0,0a b ><ϕ3π2π2ϕ<<π
2θ-<<tan tan(2π)ϕθ=+，B 正确；
2πϕθ=+对于C ，当时，为第二象限角，且，，，则
0,0a b <>ϕππ2ϕ<<π
2θ-<<tan tan(π)ϕθ=+，C 正确；
πϕθ=+对于D ，当时，为第三象限角，且
，，，则
0,0a b <<ϕ3ππ2ϕ<<
π
02θ<<tan tan(π)ϕθ=+，D
错误.
πϕθ=+故选：D
三、解答题
17．已知.
tan 2θ=-π
2θ<<
(1)求；
tan θ(2)
【答案】(2)3+
【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；(2)利用弦化切的方法求解.【详解】（1）因为
22tan tan 21tan θ
θθ=
=--
解得
，
2
tan 0θθ-=t an θ
=tan θ=因为
，所以
.
π
02θ<<
t
an θ=
（2
.
sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ++=
===+--18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，设用x 单位量的水清洗一次以后，
1
3蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.()f x (1)假定函数的定义域是，写出，的值，并判断的单调性；
()
y f x =[0,)+∞(0)f (1)f ()y f x =(2)设
，求实数t 的值，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分
()21
1f x t x =
+⋅(0)a a >成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.【答案】(1)；
；严格单调递减；
(0)1f =2
(1)3f =
(2)
；答案见解析.12t =
【分析】（1）根据给定信息，直接求出，的值，再根据题意判断的单调性即可；(0)f (1)f ()f x （2）分别计算两种方式的农药残留量，再作差比较大小即可.
【详解】（1）表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样，则，
(0)f (0)1f =因为用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的
1
3农药量之比为，因此
，232(1)3f =
因为用水越多洗掉的农药量也越多，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比越小，因此函数严格单调递减.()f x （2）由（1）知，
，而函数，于是，解得
，，2(1)3f =
()2
1
1f x t x =+⋅1213t =+12t =22()2f x x =+
清洗一次，残留在蔬菜上的农药量为
，
122
()2y f a a ==
+把水平均分成2份后清洗两次，残留在蔬菜上的农药量为，2222
2
2264
[([]2(8)2()2a y f a a ===++，
2122222222642(4)(4)
2(8)(2)(8)a a a y y a a a a +--=-=
++++当时，，当时，，当时，，
4a >12y y >4a =1
2y y =04a <<12y y <所以当时，分成2份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量少；4a >当时，两种清洗方案效果相同；
4a =当时，清洗一次，清洗后蔬菜上残留的农药量少.04a <<19．已知
是定义在上的奇函数，当时，
.
()
y f x =R 0x >()1x f x x =-
+(1)求的值，并写出的解析式；
(0),(1)f f -()f x (2)若
，求实数a ，b 的值.
()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤
=∈=⎢⎥
⎣
⎦【答案】(1),.
()()100,12f f =-=()1x
f x x =-+(2)1,1
a b =-=【分析】(1)根据函数奇偶性的概念求函数值和解析式；(2)根据函数的单调性结合值域列出方程即可求解.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，()
y f x =R 所以
，
1
(0)0,(1)(1)2f f f =-=-=
当时，
，
0x <()()1x f x f x x =--=-
-所以，即.,01()0,0
,0
1x
x x f x x x x x ⎧-<⎪-⎪
==⎨⎪⎪->+⎩()1x
f x x =-+（2）因为当时，
单调递减，0x >()1
111x f x x x =-=-+
++且函数为奇函数，所以在上单调递减，()f x R 所以当时，，当时，，
0x <()0f x >0x >()0f x <
因为，所以，
()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦0a b <<所以，即解得.()2()2b f a a f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩1212a b a b a b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪+⎩1,1a b =-=20．在平面直角坐标系中，两点、的“直角距离”定义为
，记为11(,)P x y ()22,Q x y 1212x x y y -+-.如，点、的“直角距离”为9，记为.PQ (1,2)P --(2,4)Q 9PQ =(1)已知点，Γ是满足
的动点Q 的集合，求点集Γ所占区域的面积；(0,0)P 1PQ ≤(2)已知点，点，求的取值范围；(0,0)P [(cos ,sin )(0,2
))
Q αααπ∈PQ (3)已知动点P 在函数的图像上，定点，若的最小值为1，
1y x =
-)[(),sin 0,2π)Q ααα∈PQ 求的值.
α【答案】(1)2(2)⎡⎣
(3)或或π3α=4π311π
6
【分析】（1）分类讨论区绝对值，得到其图形为正方形，求出其边长，则得到面积；（2）分
，，，四类讨论即可；0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）利用绝对值不等式有，再根据范围即可得到答案.
||12sin 13PQ πα⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭α【详解】（1）设，则，
(),Q x y 1x y +≤当，则，
0,0x y ≥≥1x y +≤当，则，
0,0x y ≥<1x y -≤当，则，
0,0x y <≥1x y -+≤当，则，
0,0x y <<1x
y --≤顺次连接四点,
()()()()0,1,1,0,0,1,1,0A B C D --
则得到点集所占区域面积
.
2S ==（2），
|||0cos ||0sin ||cos ||sin |PQ αααα=-+-=+当，此时，
π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin ,cos 0αα≥则
，||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ππ3π,444α⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，即，则，πππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
πsin 4α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭
⎦||PQ ∈当，此时，
π,π2α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα≥<则
，πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，
，π,π2α⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦ππ3π,444α⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，即，则，π3ππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦πsin 4α⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭
⎦||PQ ∈当，此时，
3π,2απ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα<≤则
，πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，，3,2παπ⎛⎤∈ ⎝⎦ 57,444πππα⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦则
，则
，
sin 1,4πα⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣[1,PQ ∈当，此时，，
3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α<cos 0α>
则
，||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ π5π7π,444α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则，
，πsin 1,4α⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣
(
||PQ ∴∈综上，
.
[1,PQ ∈（3）设，根据绝对值不等式有(),1P x x
-|||||(1sin )|
PQ x x αα=+-+
，
π1sin 12sin 13ααα⎛⎫≥+=+-= ⎪⎝⎭若，即，，
，π12sin 13α⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 03α⎛⎫-= ⎪⎝⎭[)0,2πα∈ ππ5π,333α⎡⎫∴-∈-⎪⎢⎣⎭或，或.π03α∴-=ππ3α∴=4π3若，即，，π12sin 13α⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭sin 13πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π3π32α∴-=11π6α∴=综上或或.
π3α=4π311π
621．设函数的反函数存在，记为.设，.()
y f x =()1y f x -=(){}A x f x x ==()(){}1B x f x f x -==(1)若
，判断是否是、中的元素；()116x f x ⎛⎫=
⎪⎝⎭12A B (2)若
在其定义域上为严格增函数，求证：；()y f x =A B =(3)若
的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范()f x =x ()()1f x a f x a --=+a 围.【答案】(1)，
12A ∉12B ∈(2)证明见解析
(3)7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦
【分析】（1）求出函数
的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得
()1f x -12A B 出结论；
（2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，
()(){}B x f f x x ==A B ⊆，即可证得结论成立；B A ⊆（3）令，分析可得，由已知方程可得，可得()()
y g x f x a ==+()()11g x f x a --=-()()1g x g x -=，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方
()()g g x x =()g x x =220x x a -+-=程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.
a 【详解】（1）解：因为，则，()116x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1116lo
g f x x -=所以，，则，所以，，
116x A x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭121111642⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭12A ∉，则，所以，.1161log 16x B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭41211216111log log 22416--⎛⎫=== ⎪⎝⎭12B ∈（2）解：由题意可得
，()(){}()(){}1B x f x f x x f f x x -====任取，则，所以，，，故；
1x A ∈()11f x x =()()()111f f x f x x ==1x B ∴∈A B ⊆任取，则
，下面证明出.2x B ∈()()22f f x x =()22f x x =因为函数
在其定义域内为严格增函数，()f x 若
，则，与题设矛盾；()22f x x <()()()222f f x f x x <<若
，则，与题设矛盾.()22f x x >()()()222f f x f x x >>故，即，故.
()22f x x =2x A ∈B A ⊆综上所述，.
A B =（3）解：令，则，则，即
()()y g x f x a ==+()()11x a f y x g y --⎧+=⎪⎨=⎪⎩()()11g y f y a --=-
，()()11g x f x a
--=-由可得，所以，
，()()1f x a f x a --=+()()1g x g x -=()()g g x x
=因为在其定义域内单调递增，所以，有两个不等的非负
()g x =()g x x =x =实根，
整理可得，
220x x a -+-=
所以，，解得.
()Δ14247010
220a a a ⎧=--=->⎪⎪>⎨⎪-≥⎪⎩724a <≤因此，实数的取值范围是.a 7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦。