沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件 (1)
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设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点共线，则
AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R)
思考1．变式4的、逆命题成立吗？为什么？
设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点满足 AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R) ，则B，M，D三点共线
．
思考2．由变式4和思考1你能得出什么结论呢?
问题1．如图1，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图1
问题2．如图2，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图2
问题3．如图3，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
设A是直线BD外任意一点，则B，M，D三点共线的充要条件是：
存在实数 1 ，2 且 1 2 1(1, 2 R) 使得 AM 1 AB 2 AD
课堂小结：
1.平面向量分解定理是什么？ 2.学习平面向量分解定理的意义？
作业布置：
课本P67 1 ～ 3 练习册8.3 A组1～5
数
1
,
，使
2
a 1 e1 2 e2
说明：
①我们把不平行的向量 e1 ,e2 叫做这一平面内所有 向量的一组基
②向量的一组基不唯一，关键是不平行 ③一组基给定时，分解形式唯一
例题分析
例题：已知平行四边形ABCD的两条对角 线相交于点M，设 AB a ，AD b ，试用
基 a,b 、分别表示 MB 和 MA ．
引入：
一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也 可以由电线OA和绳BO拉住。CO所受的力F应 与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO 所受的拉力F1和F2 。
思考：从这个实例中我们看到了什么？ 答：一个向量可以分成两个不同方向 的向量
研究：如果 e1 ,e2 是平面内的两个不平行的向 量， a 是该平面内的任意一个非零向量，那 么 a 与 e1 ,e2 之间有什么关系呢？
D
C
M
b
A
a
B
变式1．选择不同的基表示 AM
D
C
M
．
A
B
变式2．若点M不是线段BD的中点，DM 1 DB
3
试用基 a ，b 表示 AM
Dห้องสมุดไป่ตู้
C
M
b
A
B
a
变式3．若点M是直线BD上的任意一点，怎样用基 a ，b
表示AM ？ 可不可以引入其他的参数，使得问题得以
解决？
D
C
b
M
A
B
a
推广到一般的命题
e2
e1
a
图3
问题4．如图4，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
e1
e2
图4
研究结果： 平面内的任一非零向量 a 都可以表示为给定的 两个不平行向量 e1 , e2的线性组合即 a 1 e1 2 e2 且分解是唯一的。
证明唯一性：
证明：（1）当 a 0时， 0 0 e1 0 e2
（2）当
a 0 时，假设
a
1
e1
2
e，2 则有
(1 1) e1 (2 2) e2 0 由于 e1 , e2 不平行，故 (1 1) 0, (2 2) 0 ， 即 1 1, 2 2 。
平面向量分解定理：
如果 e1,e2 是平面内的两个不平行向量，那么对
于这一平面内的任意向量 a有且只有一对实
AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R)
思考1．变式4的、逆命题成立吗？为什么？
设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点满足 AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R) ，则B，M，D三点共线
．
思考2．由变式4和思考1你能得出什么结论呢?
问题1．如图1，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图1
问题2．如图2，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图2
问题3．如图3，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
设A是直线BD外任意一点，则B，M，D三点共线的充要条件是：
存在实数 1 ，2 且 1 2 1(1, 2 R) 使得 AM 1 AB 2 AD
课堂小结：
1.平面向量分解定理是什么？ 2.学习平面向量分解定理的意义？
作业布置：
课本P67 1 ～ 3 练习册8.3 A组1～5
数
1
,
，使
2
a 1 e1 2 e2
说明：
①我们把不平行的向量 e1 ,e2 叫做这一平面内所有 向量的一组基
②向量的一组基不唯一，关键是不平行 ③一组基给定时，分解形式唯一
例题分析
例题：已知平行四边形ABCD的两条对角 线相交于点M，设 AB a ，AD b ，试用
基 a,b 、分别表示 MB 和 MA ．
引入：
一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也 可以由电线OA和绳BO拉住。CO所受的力F应 与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO 所受的拉力F1和F2 。
思考：从这个实例中我们看到了什么？ 答：一个向量可以分成两个不同方向 的向量
研究：如果 e1 ,e2 是平面内的两个不平行的向 量， a 是该平面内的任意一个非零向量，那 么 a 与 e1 ,e2 之间有什么关系呢？
D
C
M
b
A
a
B
变式1．选择不同的基表示 AM
D
C
M
．
A
B
变式2．若点M不是线段BD的中点，DM 1 DB
3
试用基 a ，b 表示 AM
Dห้องสมุดไป่ตู้
C
M
b
A
B
a
变式3．若点M是直线BD上的任意一点，怎样用基 a ，b
表示AM ？ 可不可以引入其他的参数，使得问题得以
解决？
D
C
b
M
A
B
a
推广到一般的命题
e2
e1
a
图3
问题4．如图4，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
e1
e2
图4
研究结果： 平面内的任一非零向量 a 都可以表示为给定的 两个不平行向量 e1 , e2的线性组合即 a 1 e1 2 e2 且分解是唯一的。
证明唯一性：
证明：（1）当 a 0时， 0 0 e1 0 e2
（2）当
a 0 时，假设
a
1
e1
2
e，2 则有
(1 1) e1 (2 2) e2 0 由于 e1 , e2 不平行，故 (1 1) 0, (2 2) 0 ， 即 1 1, 2 2 。
平面向量分解定理：
如果 e1,e2 是平面内的两个不平行向量，那么对
于这一平面内的任意向量 a有且只有一对实