高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》基础测试题及答案解析

【高中数学】高考数学《函数与导数》练习题
一、选择题
1．已知函数()2
f x x x =+，且()1
231ln
log 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数()2
f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数
()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．
【详解】
由题意，函数()2
f x x x =+，满足()()2
2
()f x x x x x f x -=-+-=+=，
所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，
又当0x ≥时，()2
f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递
增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，
又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1
122
-=，
根据对称性，可得11
323(ln )(2)(log )2
f f f -<<，即a c b <<，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．函数()2
sin f x x x x =-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】
因为()()()()()2
2sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；
()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成
立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，
()()12f x f x ∴>，
所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2
x
f x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】
解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，
∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；
对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-， 函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确． 对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，
图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；
对于④：()cos 2
x
f x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，
故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．
4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2
42f x f x x +-=+，设()()2
2g x f x x =-，
若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
∵()()2
42f x f x x +-=+，()()2
2g x f x x =-
∴2222
()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称
∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.
5．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若2
1log 5a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()2log 4.1b f =，()
0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】C 【解析】
由题意：()2
21log log 55a f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
， 且：0.8
22log 5log 4.12,122>><<，
据此：0.8
22log 5log 4.12
>>，
结合函数的单调性有：()()()0.8
22log 5log 4.12f f f >>，
即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
6．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．(0,1)(1,)⋃+∞
D ．(1,)-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x
y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于
t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a
x a
y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数'()f x 满足'()1f x >，
则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（ ） A ．()0,1 B ．()1,e
C ．()0,e
D ．(),e +∞
【答案】A 【解析】 【分析】
设()()g x f x x =-，由题得()g x 在R 上递增，求不等式()()ln ln f x ex <的解集，即求不等式(ln )(0)g x g <的解集，由此即可得到本题答案. 【详解】
设()()g x f x x =-，则(0)(0)01g f =-=，()()1g x f x '='-， 因为()1f x '>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上递增，
又(ln )ln()1ln f x ex x <=+，所以(ln )ln 1f x x -<，即(ln )(0)g x g <， 所以ln 0x <，得01x <<. 故选：A 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.
8．二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．
9．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ）
A ．3,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
B ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．5,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．1,
4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】
由题意可得3
2
431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，
设()3
2
43f x x x a =-+(0x >)，()()2
126621f x x x x x '=-=-，
令()0f x '<，得102x <<
；令()0f x '>，得12
x >， ∴()f x 在1
(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，
∴()min 11124f x f a ⎛⎫
==-< ⎪⎝⎭
，解得：54a <.
故选：C. 【点睛】
本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）
A ．()()()0.3
1.1
3
0. 2
0.54f f log f <<
B ．()()()0.3
1.1
3
0. 240.5f f f log <<
C ．()()()1.10.3
3
40.20.5f f f log << D ．()()()0.3 1.1
3
0.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】 【分析】
由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3
1.130.2
1log 0.5141-<-<-，又
()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.
【详解】
解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.3
1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,
则0.3
1.130.2
1log 0.5141-<-<-，
又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以(
)()()0.3
1.1
3
0.20.54f f log f <<.
故选:A. 【点睛】
本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.
11．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()2
2f x f x x +-=，在()0+∞，
上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)2+∞，
B ．[)0+∞，
C ．[]
22-，
D ．(][)22-∞-⋃+∞，
， 【答案】A 【解析】 【分析】
通过x R ∀∈有()()2
2f x f x x +-=，构造新函数()()2
g x f x x =-，可得()g x 为奇函
数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式
()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.
【详解】
设()()2
g x f x x =-，
∵()()()()2
2
0g x g x f x x f x x +-=-+--=，
∴函数()g x 为奇函数，
∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，
∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，
∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，
∴()()()22
44168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣
⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.
12．函数()||()a
f x x a R x
=-
∈的图象不可能是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案. 【详解】
,0(),0a x x x f x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x
f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩
'⎪.
(1)当0a =时,,0
(),0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩
,图象为A;
(2)当0a >时,210a
x
+
>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增,
令2
10a
x -+
=得x =
∴当x <,210a
x -+<,
当0x <<时,210a
x
-+>,
∴()f x 在(,-∞上单调递减,在(上单调递增,图象为D; (3)当0a <时,210a
x
-+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减,
令2
10a
x +
=得x =
∴当x >时,210a
x +>,
当0x <<,210a
x
+<,
∴()f x 在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B; 故选：C. 【点睛】
本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
13．已知函数()ln x
f x x
=，则使
ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1) B ．10,
e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
令()ln x
t f x x
==，利用导数研究其图象和值域，再将
ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t
a t
=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x ==
，当01x <<时，()0ln x
t f x x
==
<， 当1x >时，()
2
ln 1
()ln x t f x x -''==
，
当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>，
所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥， 如图所示：
所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t
a t
=在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t =
，21ln 0t m t -'=≤，所以ln t
m t
=在[),e +∞上递减，
所以1
0m e <≤， 所以10a e <≤，当1
a e
=时，x e =，只有一个零点，不合题意，
所以10a e
<< 故选：B 【点睛】
本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
14．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】
试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；
7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，
故正确答案为选项B ．
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．
15．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2
f -的值为（ ） A ．0
B ．3
C ．
32
D ．92
-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值即可. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ⎛
⎫
+=- ⎪⎝⎭
，则函数的周期3T =， 据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-
=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，
()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1
()2
f x x <
-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,1)-∞
C ．()(1,2)2,3⋃
D ．()(,1)3,-∞⋃+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，
()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1
()|2|
f x x <
-等价
于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】
当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>， 令()|2|()F x x f x =-.
当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，
所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1
()|2|
f x x <
-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，
(1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，
所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】
本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.
17．已知函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）
A ．
20152016 B ．
2016
2017
C ．
2017
2018
D ．
2018
2019
【答案】D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】
由()2
f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，
因为函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则
()()211111
11
f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019
S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．
18．
4
cos2d cos sin x
x x x
π
=+⎰
（ ）
A ．1)
B 1
C 1
D ．2【答案】C 【解析】 【分析】
利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】
因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x
x x x x x x
-==-++，
∴4
400cos 2d (cos sin )d (sin cos )214cos sin 0
x
x x x x x x x x π
π
π
=-=+=-+⎰
⎰，故选C ． 【点睛】
本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.
19．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，
()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（ ）
A ．(),2-∞-
B ．()2,2-
C ．(),2-∞
D ．()2,-+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解. 【详解】
设()()36g x f x x =--，
Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，
又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <，
∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.
20．函数2ln x x y x
=
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e
上递减,在1(,)e
+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】
令2ln ||()||x x f x x =
,则2()ln ||
()()||
x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,
当0x >时,2ln ()ln x x
f x x x x
==,()1ln f x x '=+,
由()0f x '>,得1
x e >
,由()0f x '<,得10x e
<<, 所以()f x 在1(0,)e
上递减,在1
(,)e +∞上递增,
结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.。