湖北省武汉市汉阳区2018-2019学年八年级下学期期末数学试题(解析版)

湖北省武汉市汉阳区2018-2019学年八年级第二学期期末考试数学试
题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.4的算术平方根是（ ）
A. 2±
B. 2
C. 2-
D. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据算术平方根的概念求解即可.
【详解】解：4的算术平方根是2，故选B.
【点睛】本题考查了算术平方根的概念，属于基础题型，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.
2.x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥
C. 2x >
D. 0x ≥
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次根式有意义的条件得到关于x 的不等式，解不等式即得答案.
20x -≥，解得2x ≥. 故选B.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式中被开方数非负是求解的关键.
3.五名女生的体重（单位：kg ）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 2、40 B. 42、38
C. 40、42
D. 42、40
【答案】D 【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义分别进行求解即可得.
【详解】这组数据中42出现了两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是42，
将这组数据从小到大排序为：37，38，40，42，42，所以这组数据的中位数为40， 故选D.
【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.
4.八（1）班45名同学一天的生活费用统计如下表：
则这45名同学一天的生活费用中，平均数是（ ） A. 15 B. 20 C. 21
D. 25
【答案】C 【解析】 【分析】
根据加权平均数公式列出算式求解即可.
【详解】解：这45名同学一天的生活费用的平均数=10315920152512306
2145
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
故答案为C.
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，读懂题意，正确的运用公式是解题的关键
5.下列函数中为正比例函数的是（ ） A. 23y x = B. 3y x
=
C. 3
x y =
D. 61y x =+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据正比例函数的定义y =kx （k ≠0）进行判断即可.
【详解】解：A 项是二次函数，不是正比例函数，本选项错误； B 项，是反比例函数，不是正比例函数，本选项错误；
C项，
1
33
x
y x
==是正比例函数，本选项正确；
D项，是一次函数，不是正比例函数，本选项错误.
故选C.
【点睛】本题考查了正比例函数的概念，熟知正比例函数的定义是判断的关键.
6.若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣1
2
x+b﹣l上，则常数b=（）
A. 1
2
B. 2
C. ﹣1
D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．
【详解】因为以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣1
2
x+b﹣l上，
直线解析式乘以2得2y=﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2=0，
所以﹣b=﹣2b+2，
解得：b=2，
故选B．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答．
7.一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）
A. （﹣5，3）
B. （1，﹣3）
C. （2，2）
D. （5，﹣1）
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．
【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，
∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣4
5
＜0，不符合题意；
B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；
C 、把点（2，2）代入y=kx ﹣1得到：k=
3
2
＞0，符合题意； D 、把点（5，﹣1）代入y=kx ﹣1得到：k=0，不符合题意， 故选C ．
【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k ＞0是解题的关键．
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A. 9
B. 6
C. 4
D. 3
【答案】D 【解析】 【分析】
已知ab ＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】a b -由题意可知：中间小正方形的边长为：，
11
ab 8422
=⨯=每一个直角三角形的面积为：，
2
14ab a b 252
（），∴⨯+-=
2
a b 25169∴-=-=（），
a b 3∴-=， 故选：D.
【点睛】本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
9.如图，点P 是矩形ABCD
对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，
连接PB ，PD ．若2AE =，8PF =，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 10
B. 12
C. 16
D. 18
【答案】C 【解析】 【分析】
由矩形的性质可证明S △PEB =S △PFD ，即可求解．
【详解】解：如图，过点P 作MN AD ⊥于点M ，交BC 于点N ，
则四边形AEPM ，四边形DFPM 、四边形CFPN 、四边形BEPN 都是矩形， ∴ADC ABC S S ∆∆=，AMP AEP S S ∆∆=，PBE PBN S S ∆∆=，PFD PDM S S ∆∆=，PFC PCN S S ∆∆=， ∴1
2882
PBE PFD S S ∆∆==
⨯⨯=， ∴8816S =+=阴影． 故选：C ．
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD ．
10.甲、乙两车从A 地出发，匀速驶向B 地．甲车以80km/h 的速度行驶1h 后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B 地并停留1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h ；②m ＝160；③点H 的坐标是（7，80）；④n ＝7.5．其中说法正确的是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据乙追上甲的时间求出乙的速度可判断①，根据乙由相遇点到达B点所用时间可确定m的值，即可判断②，根据乙休息1h甲所行驶的路程可判断③，由乙返回时，甲乙相距80km，可求出两车相遇的时间即可判断④.
【详解】由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．
所以正确的有①②③，
故选A.
【点睛】本题考查通过分段函数图像解决问题，根据题意明确图像中的信息是解题关键.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.计算2712
-的结果是.
【答案】3
【解析】
试题分析：先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
2712
-.
考点：二次根式的化简
点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
12.一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】
先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 【详解】这组数据的平均数是：()123452+++÷=，
则方差()()()()()22222
2
1021222324225s ⎡⎤=
-+-+-+-+-=⎣
⎦； 故答案为：2．
【点睛】此题考查方差，解题关键在于掌握运算法则
13.将直线33y x =-向右平移2个单位，所得的直线的与坐标轴所围成的面积是_______. 【答案】272
【解析】 【分析】
先求出平移后的直线的解析式，再求出平移后的直线与两坐标轴的交点即可求得结果. 【详解】解：直线33y x =-向右平移2个单位后的解析式为3(2)339y x x =--=-， 令x =0，则y =－9，令y =0，则3x －9=0，解得x =3，
所以直线39y x =-与x 轴、y 轴的交点坐标分别为（3，0）、（0，－9）， 所以直线39y x =-与坐标轴所围成的三角形面积是1273922
⨯⨯=. 故答案为：
27
2
. 【点睛】本题考查了一次函数的平移和一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移遵循“上加下减，左加右减”的规律，正确求出平移后一次函数的解析式是解此题的关键.
14.以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE ，则∠BEC 的度数是_____．
【答案】30°或150°．
【解析】
【分析】
分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解即可得．
【详解】如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，
∴∠AEB=∠CED=15°，
则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°；
如图2，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，
∴∠CED=∠ECD=1
2
×（180°﹣30°）=75°，
∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°， 故答案为：30°或150°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质、运用分类讨论思想画出符合题意的图形并准确识图是解题的关键．
15.正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，...按如图的方式放置，点1A ，2A ，3A ...和点1C ，2C ，3C ...分别在直线1y x =+和x 轴上，则点2019B 的坐标为_______.
【答案】()
2019
20182
1,2- 【解析】 【分析】
按照由特殊到一般的思路，先求出点A 1、B 1；A 2、B 2；A 3、B 3；A 4、B 4的坐标，得出一般规律，进而得出点A n 、B n 的坐标，代入即得答案.
【详解】解：∵直线1y x =+，x =0时，y =1，∴OA 1=1， ∴点A 1的坐标为（0，1），点B 1的坐标为（1，1）， ∵对直线1y x =+，当x =1时，y =2，∴A 2C 1=2， ∴点A 2的坐标为（1，2），点B 2的坐标为（3，2）， ∵对直线1y x =+，当x =3时，y =4，∴A 3C 2=4， ∴点A 3的坐标为（3，4），点B 3的坐标为（7，4）， ∵对直线1y x =+，当x =7时，y =8，∴A 4C 3=8， ∴点A 4的坐标为（7，8），点B 4的坐标为（15，8）， ……
∴点A n 的坐标为（2 n ﹣1﹣1，2 n ﹣1）， 点B n 的坐标为（2 n ﹣1，2 n ﹣1）
∴点2019B 的坐标为（2 2019 ﹣1，2 2018）
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质和规律的探求，解决这类问题一般从特殊情况入手，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
16.如图，已知60XOY ∠=︒，点A 在边OX 上，2OA =.过点A 作AC OY ⊥于点C ，以AC 为一边在
XOY ∠内作等边ABC ∆，点P 是ABC ∆围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作//PD OY 交OX 于
点D ，作//PE OX 交OY 于点E .设OD a =，OE b =，则2+a b 最大值是_______.
【答案】5 【解析】 【分析】
过P 作PH ⊥OY 于点H ，构建含30°角的直角三角形，先证明四边形EODP 是平行四边形，得EP=OD=a ，在Rt △HEP 中，由∠EPH =30°，可得EH 的长，从而可得a +2b 与OH 的关系，确认OH 取最大值时点H 的位置，可得结论.
【详解】解：过P 作PH ⊥OY 于点H ，
∵PD ∥OY ，PE ∥OX ，
∴四边形EODP 是平行四边形，∠HEP =∠XOY =60°， ∴EP=OD=a ，∠EPH =30°，
∴EH=1
2
EP=
1
2
a，
∴a+2b=2（1
2
a b
+）=2(EH+EO)=2OH，
∴当P在点B处时，OH的值最大，
此时，OC=1
2
OA=1，AC=3=BC，CH=
333
3
222
BC=⨯=，
∴OH=OC+CH=1+3
2
=
5
2
，此时a+2b的最大值=2×
5
2
=5.
故答案为5.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、30°的直角三角形的性质和平行四边形的判定和性质，掌握求a+2b 的最大值就是确定OH的最大值，即可解决问题.
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 一次函数图象经过（3，8）和（5，12）两点，求一次函数解析式．
【答案】y=2x+2．
【解析】
试题分析：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．利用待定系数法即可求得函数的解析式．
试题解析：解：设一次函数解析式为y=kx+b，则，
解得．
所以一次函数解析式为y=2x+2．
考点：待定系数法求一次函数解析式．
18.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，
F.
求证：OE OF =. 【答案】见解析 【解析】 【分析】
用AAS 证明△OAE ≌△OCF ，再利用全等三角形的性质即可证得结论. 【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴//AD BC ，OA OC =，
∴EAO FCO ∠=∠，OEA OFC ∠=∠， 在OAE ∆和OCF ∆中
EAO FCO OEA OFC OA OC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴()OAE OCF AAS ∆≅∆. ∴OE OF =
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质是解题的关键.
19.某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分.前3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现得知1号选手的综合成绩为87分.
（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比：
（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次。

【答案】（1）笔试占40%，面试占60%；（2）第一名：2号，第二名：1号，第三名：3号. 【解析】
【分析】
（1）设笔试成绩占百分比
x ，则面试成绩占比为1x -，根据题意列出方程，求解即可；
（2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余两名选手的综合成绩，即可得出答案. 【详解】解：（1）设笔试成绩占百分比为x ，则面试成绩占比为1x -. 由题意，得()9085187x x +-=
0.4x =
∴笔试成绩占40%，面试成绩占60%.
（2）2号选手的
综合成绩：
9240%8860%
89.640%60%
⨯+⨯=+
3号选手的综合成绩：
8440%8660%
85.240%60%
⨯+⨯=+ ∴三位选手按综合成绩排名为：第一名：2号，第二名：1号，第三名：3号.
【点睛】本题考查了加权平均数和一元一次方程的应用，熟知加权平均数的计算公式是解题的关键.
20. 现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形 纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图①、图②、图③)．
图②矩形(正方形)
,
分别在图①、图②、图③中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形． 要求：
(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形．
(2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙．
(3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
【答案】(1)、答案见解析；(2)、答案见解析；(3)、答案见解析
【解析】
试题分析：(1)、剪出一个非正方形的矩形，过平行四边形的一个定点作垂线即可；(2)、链接平行四边形的对角线即可得出答案；(3)、找到一边的中点，然后连接其中一个顶点和对边的中点即可.
试题解析：如图所示．
考点：四边形的性质
>）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD 21.如图，将矩形纸片ABCD（AD AB
相交于点E，F，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H.
（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
AB=，且四边形CEGF的面积20，求线段EF的长.
（2）若4
【答案】（1）四边形CEGF菱形，理由见解析；（2）25
【解析】 【分析】
（1）根据折叠的性质可得EC=EG ，GF=CF ，GEF CEF ∠=∠，由GF ∥EC ，可得GFE CEF ∠=∠，进一步可得GE=GF ，于是可得结论；
（2）根据题意可先求得CE 的长，过点E 作EK ⊥GF 于点K ，在Rt △GEK 中，根据勾股定理可求得GK 的长，于是FK 可求，在Rt △EFK 中，再利用勾股定理即可求得结果. 【详解】（1）四边形CEGF 为菱形，理由如下：
证明：由折叠可得：EC EG =，GF CF =，GEF CEF ∠=∠， 又∵//GF CE ， ∴GFE CEF ∠=∠， ∴GEF GFE ∠=∠， ∴GE GF =，
∴GE GF FC CE ===， ∴四边形CEGF 为菱形.
（2）如图，∵四边形CEGF 为菱形，且其面积为20，∴420CE ⋅=， ∴5CE GE GF ===，
过点E 作EK ⊥GF 于点K ，则EK =AB =4，
在Rt △GEK 中，由勾股定理得：22543GK =-=， ∴532KF =-=，
在Rt △EFK 中，由勾股定理得：224225EF =+=.
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定方法和勾股定理等知识，知识点虽多，但难度不大，熟练掌握折叠的性质、菱形的判定方法和勾股定理是解题的关键.
22.某网店销售单价分别为60元/筒、45元/筒的甲、乙两种羽毛球.根据消费者需求，该网店决定用不超过
8780元购进甲、乙两种羽毛球共200简.且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的3
5
.已知甲、乙两种羽
毛球的进价分别为50元/筒、40元/筒。

若设购进甲种羽毛球m 简. （1）该网店共有几种进货方案?
（2）若所购进羽毛球均可全部售出，求该网店所获利润W （元）与甲种羽毛球进货量m （简）之间的函数关系式，并求利润的最大值
【答案】（1）3种；（2）W ＝()510007578m m +<≤，最大为1390元 【解析】 【分析】
（1）设购进甲种羽毛球m 筒，根据题意可列出关于m 的不等式组，则可求得m 的取值范围，再由m 为整数即可求得进货方案；
（2）用m 表示出W ，可得到W 关于m 的一次函数，再利用一次函数的性质即可求得答案. 【详解】解：（1）设购进甲种羽毛球m 筒，则乙种羽毛球（200m -）筒，
由题意，得()()50402008780
3
2005m m m m ⎧+-≤⎪
⎨>-⎪⎩
， 解得7578m <≤. 又∵m 是整数，
∴m =76，77，78共三种进货方案.
（2）由题意知，甲利润：10元/筒，乙利润：5元/筒， ∴()()105200510007578W m m m m =+-=+<≤ ∵W 随m 增大而增大
∴当78m =时，max 1390W =（元）. 即利润的最大值是1390元.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，弄清题意列出不等式组和一次函数解析式是解题的关键.
23.如图，长方形ABCD中，点P沿着边按B C D A
→→→.方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动、a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，ABP
∆的面积S与运动时间t的函数关系如图所示.
（1）直接写出长方形的长和宽；
（2）求m，a，b的值；
（3）当P点在AD边上时，直接写出S与t的函数解析式.
【答案】（1）长方形的长为8，宽为4；（2）m=1，a=4，b=11；（3）S与t的函数解析式为
448(811)
226(1113)
t t
S
t t
-+≤≤
⎧
=⎨
-+<≤
⎩
.
【解析】
【分析】
（1）由图象可知：当6≤t≤8时，△ABP面积不变，由此可求得长方形的宽，再根据点P运动到点C时S△ABP=16，即可求出长方形的长；
（2）由图象知当t=a时，S△ABP=8=1
2
S△ABP，可判断出此时点P的位置，即可求出a和m的值，再根据当t=b
时，S△ABP=4，可求出AP的长，进而可得b的值；
（3）先判断S与t成一次函数关系，再用待定系数法求解即可.
【详解】解：（1）从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变，
∴6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位，∴CD=2（8－6）=4，
∴AB=CD=4.
当t=6时（点P运动到点C），由图象知：S△ABP=16，
∴1
2
AB•BC＝16，即
1
2
×4×BC＝16.
∴BC=8.
∴长方形的长为8，宽为4．
（2）当t=a时，S△ABP=8=1
2
×16，此时点P在BC的中点处，
∴PC=1
2
BC=
1
2
×8=4，
∴2（6－a）=4，∴a=4.
∵BP=PC=4，
∴m=BP
a
=
4
4
=1.
当t=b时，S△ABP=1
2
AB•AP=4，
∴1
2
×4×AP=4，AP=2.
∴b=13－2=11.
故m=1，a=4，b=11.
（3）当8≤t≤11时，S关于t的函数图象是过点（8，16），（11，4）的一条线段，
可设S=kt+b，∴
816
114
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
4
48
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴S=－4t+48（8≤t≤11）.
同理可求得当11＜t≤13时，S关于t的函数解析式为S=－2t+26（11＜t≤13）.
∴S与t的函数解析式为
448(811)
226(1113)
t t
S
t t
-+≤≤
⎧
=⎨
-+<≤
⎩
.
【点睛】本题是一次函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象和用待定系数法求一次函数的解析式，弄清题意，抓住动点运动中的几个关键点，读懂图象所提供的信息是解题的关键.
24.ABCD中，点O是对角线AC的中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形. 【答案】(1)①见解析；②()22012x
y x x
-=<<-；
（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决. 【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°， 又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ）， ∴EB=ED ，∠CBE =∠1， ∵∠BEC =90°，∠BCF =90°， ∴∠EBC +∠EFC =180°， ∵∠EFC +∠2=180°，
∴∠EBC =∠2， ∴∠1=∠2. ∴ED=EF ， ∴BE=EF
.
②解：∵正方形ABCD
的边长为2，∴对角线AC =2.
将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2， 则△BAE ≌△BCP ，
∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，
由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°
=∠EBG ， 在△PBG 与△EBG 中，PB EB
PBG EBG BG BG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PBG ≌△EBG （SAS ）. ∴PG=EG =2－x －y ，
∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，
∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2
22
2x y x y +=--，
化简，得()22012x
y x x
-=
<<-.
新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题（2）如图3，作法如下：
①延长BE交AD于点M，
②连接MO并延长交BC于点N，
③连接DN交AC于点Q，
④连接DE、BQ，
则四边形BEDQ为菱形.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q的位置是解决（2）题的关键.
新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。