人教版八年级数学(下)学期5月份 质量检测测试卷及答案

一、选择题
1．如图，将5个全等的阴影小正方形摆放得到边长为1的正方形ABCD ，中间小正方形的各边的中点恰好为另外4个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为2a b -（a 、b 为正整数），则+a b 的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
2．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上．小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ，你认为
( )
A ．仅小明对
B ．仅小亮对
C ．两人都对
D ．两人都不对
3．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点F 是边CD 上一点，连接ED ，EF ，ED 平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB AD
的值是( )
A ．32
B ．22
C ．2
D ．3
4．如图，E 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE AB =，F 为BE 上任意一点，FG AC 于点G ，FH AB ⊥于点H ，则FG FH +的值是（ ）
A ．22
B ．2
C ．2
D ．1
5．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.若AB ＝3，BC ＝4，则PE ＋PF 的值为( )
A ．10
B ．9.6
C ．4.8
D ．2.4 6．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，C
E AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，
F 、
G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点
H ，则下列结论：
①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正
确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A ．1
B ．1.3
C ．1.2
D ．1.5
8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结论：
①FB OC ⊥，OM CM =；
②EOB CMB ≅；
③四边形EBFD 是菱形；
④:3:2MB OE =．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知菱形ABCD 的面积为83，对角线AC 的长为43，∠BCD=60°，M 为BC 的中点，若P 为对角线AC 上一动点，则PB+PM 的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．23
D ．4
10．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )
A ．233
B ．334
C ．536
D ．3
二、填空题
11．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
12．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．
13．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：
①可以得到无数个平行四边形EGFH ；
②可以得到无数个矩形EGFH ；
③可以得到无数个菱形EGFH ；
④至少得到一个正方形EGFH ．
所有正确结论的序号是__．
14．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．
15．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．
16．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______
18．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．
19．如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为______．
20．如图所示，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是
__________．
三、解答题
21．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重
合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．
提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？ 探究问题：
（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系： ；
（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；
情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系： ．
22．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．
23．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED
的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．
（1）求证：CG 平分∠DCB ；
（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；
（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．
24．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．
（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．
简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点
A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．
25．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论； （3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．
26．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．
（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；
（3）联结AF ，求证：2DE AF =．
27．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC 中，AB =2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边
四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
28．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .
(1)求出直线BC 的解析式；
(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 10,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.
(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
29．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32
的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332
+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.
(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.
(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.
30．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．
(1)求G 点坐标
(2)求直线EF 解析式
(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
通过小正方形的边长表示出大正方形的边长，再利用a 、b 为正整数的条件分析求解.
【详解】 解：由题意可知，222212a a AD b b
=⨯+⨯= ∴(42)(422a a b ---=
∵a 、b 都是正整数
∴4a - =0，4a-2=2b
∴a+b=11
故选：B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及有理数、无理数的性质，表示出大正方形的边长利用有理数、无理数的性质求出a 、b 是关键.
2．C
解析：C
【分析】
分别过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，根据正方形的性质可得EG=MP ；对于小明的说法，先利用“HL ”证明Rt △EFG ≌Rt △MNP ，根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG ，再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP ，然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，从而得到∠MOQ=90°，根据垂直的定义即可证得MN ⊥EF ；对于小亮的说法，先推出
∠EQM=∠EFG ，∠EQM=∠MNP ，然后得到∠EFG=∠MNP ，然后利用“角角边”证明△EFG ≌△MNP ，根据全等三角形对应边相等可得EF=MN ．
【详解】
如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴EG=MP ，
对于小明的说法：
在Rt △EFG 和Rt △MNP 中，
MN EF EG MP ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △EFG ≌Rt △MNP （HL ），
∴∠MNP=∠EFG ，
∵MP ⊥CD ，∠C=90°，
∴MP ∥BC ，
∴∠EQM=∠EFG=∠MNP ，
又∵∠MNP+∠NMP=90°，
∴∠EQM+∠NMP=90°，
在△MOQ 中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP ）=180°-90°=90°，
∴MN ⊥EF ，
对小亮的说法：
∵MP ⊥CD ，∠C=90°，
∴MP ∥BC ，
∴∠EQM=∠EFG ，
∵MN ⊥EF ，
∴∠NMP+∠EQM=90°，
又∵MP ⊥CD ，
∴∠NMP+∠MNP=90°，
∴∠EQM=∠MNP ，
∴∠EFG=∠MNP ，
在△EFG 和△MNP 中，
90EFG MNP EGF MPN EG MP ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝ ， ∴△EFG ≌△MNP （AAS ），
∴MN=EF ，故小亮的说法正确，
综上所述，两个人的说法都正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解．
3．C
解析：C
【分析】
由题意得△AED ≌△MED 、△BEG ≌△MEG 、△MGF ≌△CGF ，设CG=x ，用含x 的式子表示AD =2x
，AB =
，即可得出
AB AD 2x
==【详解】
∵ED 平分∠AEF
∴∠AED=∠DEM
在矩形ABCD 中，∠A=∠B=∠BCD=90°
∵DG ⊥EF
∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°
∴∠A=∠DME=90°
∵DE=DE
∴△AED ≌△MED
∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点
∴AE=BE
∴ME=BE
∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG
∴Rt △BEG ≌Rt △MEG
∵AD ∥BC
∴∠ADG=∠CGD
∵ED ∥GF
∴∠EDM=∠FGM
∴∠ADE=∠CGF
∴∠CGF=∠FGM
∴△MGF ≌△CGF
∴MG=CG=BG
设CG=x
∴BC=2x
∴AD=DM=2x
∴DG=3x
根据勾股定理可得
CD =
∴AB =
∴AB AD 2x
==故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
过点E 作EM ⊥AB ，连接AF ，先求出EM ，由S △ABE ＝
12AB•EM ＝12AE•GF+12
AB•FH ，可得FG+FH=EM ，则FG+FH 的值可求．
【详解】
解：如图，过点E 作EM ⊥AB ，连接AF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴△AEM 是等腰直角三角形，
∵AB=AE=2，
∴222224AM EM EM AE +===
∴EM 2，
∵S △ABE =S △AEF +S △ABF ，
∴S △ABE ＝12AB•EM ＝12AE•GF+12
AB•FH ， ∴2；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，运用面积法得出线段的和差关系是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
连接OP ,由矩形ABCD 的可求OA=OD=
52 ，最后由S △AOD =S △AOP +S △DOP 即可解答. 【详解】
解：如图：连接OP
∵矩形ABCD ，AB ＝3，BC ＝4
∴S 矩形ABCD =AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,225AC =
AB +BC ∴S △AOD =14S 矩形ABCD =3，OA=OD=52
∴S △AOD =S △AOP +S △DOP =()111532222OA PE OD PF PE PF +=⨯+= ∴PE+PF=2.4
故答案为D ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正确的做出辅助线和运用数形结合思想是解答本题的关键．.
6．C
解析：C
【分析】
由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证
∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，
由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．
【详解】
∵点F 是AD 的中点，
∴2FD=AD ， ∵在ABCD 中，AD=2AB ，
∴FD=AB=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠BCF ，
∴∠DCF=∠BCF ，即：12
DCF BCD ∠=∠， ∴①正确；
∵AB ∥CD ，
∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，
又∵AF=DF ，
∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），
∴EF=HF ，
∵CE AB ⊥，
∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，
∴EF CF ==
12
EH ， ∴②正确；
∵EF=HF ，
∴2HEC CEF S S =
∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，
∴BE CH <,
∴BEC HCE S
S <, ∴2BEC CEF
S S <， ∴③错误；
设∠AEF=x ，则∠H=x ，
∵在Rt ∆ECH 中，CF=FH=EF ，
∴∠FCH=∠H=x ，
∵FD=CD ，
∴∠DFC=∠FCH=x ，
∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，
∴FG ∥CD ∥AB ，
∴∠AEF=∠EFG=x ，
∵EF=CF ，
∴∠EFG=∠CFG=x ，
∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，
∴3DFE AEF ∠=∠．
∴④正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM=
12AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM.
【详解】
在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2，
所以△ABC 为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，
故四边形AEPF 为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP 中点，即AM=12
AP ， 故当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小，
由
11
22
ABC
S AB AC BC AP
=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=
12
5
，
AM=1
2
AP=
6
1.2
5
=
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
8．C
解析：C
【分析】
①证明△OBC是等边三角形，即可得OB=BC，由FO=FC，即可得FB垂直平分OC，①正确；②由FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC≌△EOA，所以FO=EO，即可得OB垂直平分EF，所以△OBF≌△OBE，即△EOB≌△FCB，②错误；③证明四边形DEBF是平行四边形，再由OB垂直平分EF，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF，即可得平行四边形DEBF为菱形，③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，可得OE
=，在Rt△OBM中，可得，即可得BM ：OE =3：2，④正确.
【详解】
①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
∴FB⊥OC，OM=CM；
①正确；
②∵FB垂直平分OC，
根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，
∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
∴OB垂直平分EF，
∴△OBF≌△OBE，
∴△EOB≌△FCB，
②错误；
③∵△FOC≌△EOA，
∴FC=AE，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DF∥EB，DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OB垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴平行四边形DEBF为菱形；
③正确；
④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，
在Rt△OBE中，OE =
3
3
OB，
在Rt△OBM中，
3
∴BM ：OE =3
2：=
3
3
OB=3：2.
④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．
9．C
解析：C
【分析】
作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；由菱形的面积可求出BD=4，由题意可证△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DM⊥BC，CM=BM=2，由勾股定理可求3
【详解】
解：作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；
∵菱形ABCD 的面积为3，对角线AC 长为3，
∴BD=4，
∵BC=CD ，∠BCD=60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∵M 是BC 的中点，
∴DM ⊥BC ，CM=BM=2，
在Rt △CDM 中，CM=2，CD=4，
∴2216423CD CM -=-
故选：C ．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形勾股定理；掌握利用轴对称求最短距离，将PB 与PM 之和的最小值转化为线段DM 的长是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据等边三角形边长为2，在Rt BDE ∆中求得DE 的长，再根据CM 垂直平分DF ，在Rt CDN ∆中求得CN ，利用三角形中位线求得MN 的长，最后根据线段和可得CM 的长．
【详解】 解：等边三角形边长为2，12
BD CD =， ∴23BD =，43
CD =， 等边三角形ABC 中，//DF AB ，
60FDC B ∴∠=∠=︒，
90EDF ∠=︒，
30BDE ∴∠=︒，
DE BE ∴⊥，
1123BE BD ∴==，2
222213()33DE BD BE ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12
DM EF FM ==，
60FDC FCD ∠=∠=︒，
CDF ∴∆是等边三角形，
43
CD CF ∴==， CM ∴垂直平分DF ，
30DCN ∴∠=︒，
Rt CDN ∴∆中，43
DF =，32DN =，23CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ， ∴132MN ED =， 23353CM CN MN ∴=+． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
二、填空题
11．4:9
【分析】
设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=
12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，
∴2m=MC ，22PM MC +，
∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，
∵四边形HMPN 是正方形，
∴GF ⊥BC
∵∠ACB ＝45︒，
∴△FGC 是等腰直角三角形，
∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98
m 2， ∴12:S S =
12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．18
【分析】
由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．
【详解】
在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，
CD ＝22OC +OD =5，
∵ABCD 是菱形，
∴AD ＝CD ＝5，
∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，
∴EF ＝8，
作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，
则E 1（0，2），F 1（3，6），
则E 1F 1即为所求线段和的最小值，
在Rt △AE 1F 1中，E 1F 122211EE +EF =-+(8-5)2(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．
【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．13．①③④
【分析】
由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，
∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，
∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，
故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF＝90°；
∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；
在△BOG和△COF中，
∵
BOG COF BO CO
GBO FCO ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG＝OF，
同理可得：EO＝OH，
∴GH＝EF；
∴四边形EGFH是正方形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．
14．24
【分析】
由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可
得OH＝1
2
BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．
【详解】
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，
∴OH＝1
2
BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO＝1
2
∠DCB＝24°，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH是BD的一半，和∠DHO＝∠DCO是解决本题的关键．
15．102
【分析】
根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．
【详解】
连接BD，BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=27°，
∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，
∴∠DAB=2∠DAC=102°．
故答案为：102°．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
16．6
【分析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，
推出PE=1
2
PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条
直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=1
2
AB=3，得到2PB+
PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=1
2 PD，
∵2PB+ PD=2（PB+1
2
PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=1
2
AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
17．120 13
【分析】
设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．
【详解】
解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，
∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN＝2MO．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO＝2222
135
AC CO
-=-＝12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，
即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13
．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13
．
所以此时MN最小值为2OH＝120 13
．
故答案为：120 13
．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
18．10+55
【分析】
取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55
NG=．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．
【详解】
如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝1
2
AB＝5．
同理ON＝5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，
∴222
210555NG DN DG ++＝＝＝．
在点M 与G 之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG 的大小为定值，只要∠DON＝
12
∠DNG，且M 、N 关于点O 中心对称时，M 、O 、N 、G 四点共线，此时等号成立，
∴线段MG 取最大值5
故答案为：5
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M 、O 、N 、G 四点共线，则线段MG 长度的最大是解题关键．
19．207
【分析】
根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长． 【详解】
解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，
∴DC =DE =5，CP =EP ．
在△OEF 和△OBP 中，
90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），
∴OE =OB ，EF =BP ．
设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，
又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，
∴AF =AB -BF =2+x ．
在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，
∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，
∴x=6 7
∴AF=2+6
7
=
20
7
故答案为：20 7
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
20．答案不唯一，例AC=BD 等
【分析】
连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】
连接AC，
∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=1
2 AC，
同理HG∥AC，HG=1
2 AC,
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
连接BD,同理EH=FG,EF∥FG，
当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.
【点睛】
此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.
三、解答题
21．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝2DF或|AF－CF|2
【分析】
（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出CB ，即可得出结果；
（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得
△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，CF ，连接BE ，设∠CDG =α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，
∠BEA=∠ABE=12
（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰
直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出CF ；
情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得
△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出
CF ；
（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则△HDF 是等腰
直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得
CF=HA ，即可得出；
②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得
∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS
证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；
③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直
角三角形，得出DF ，DH=DF ，由SAS 证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出
；
④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得
∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF 是等腰直角三角形，得DH=DF ，
，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得出AF=CF ，即可得出DF ．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=CB ，∠BCD=90°，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴CB ，
当点E 、F 与点B 重合时，则DE=
2CF ，
故答案为：DE=2CF ；
（2）在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：
情况1：∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=CB=AD=AB=AE ，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，
过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，如图②所示：
则∠BCD=∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠BCF ，
设BC 交DF 于P ，
∵BF ⊥DE ，
∴∠BFD=∠BCD=90°，
∵∠DPC=∠FPB ，
∴∠CDP=∠FBP ，
在△CDG 和△CBF 中，
DCG BCF CD CB
CDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），
∴DG=FB ，CG=CF ，
∴△GCF 是等腰直角三角形，
∴2，
连接BE ，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，
∵AD=AE ，
∴∠DEA=∠ADE=90°-α，
∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，
∴∠EAB=90°-2α，
∵AB=AE ，
∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12
（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，
∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，
∵BF ⊥DE ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
∴EF=DG ，
∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，
∴
DE=2CF ；
情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：
∵∠GCF=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCF ，
∵∠FPD=∠BPC ，
∴∠FDP=∠PBC ，
在△CDG 和△CBF 中，
DCG BCF
CD CB CDG CBF
∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，
∴△CDG ≌△CBF （ASA ），
∴DG=FB ，CG=CF ，
∴△GCF 是等腰直角三角形，
∴2，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，
同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，
∴∠EAB=90°+2α，
∵AB=AE ，
∴∠BEA=∠ABE=45°-α，
∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，
∵BF ⊥DE ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
∴EF=DG ，
∴DE=FG ，
∴DE=
2CF ；
（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：
由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，
在△ABF 和△AEF 中，
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，
∴2，DH=DF ，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠FDC ，
在△HDA 和△FDC 中，
DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△HDA ≌△FDC （SAS ），
∴CF=HA ，
2，即2DF ；
②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：。