湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学高三数学联考试题文(含解析)

长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合）
D.
【答案】D
D。

2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉法明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，他在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】，
平面中位于第二象限，故选B.
3. 已知函数的零点是）
C. D.
【答案】C
所以C。

4. 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）
【答案】B
【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以
B。

5. 已知三棱柱
图①所示，
为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A．
6. ，，是数列
）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】C
，所以，则最大的自然数是9.故选C。

7. ）
C. 无法确定【答案】A
则输出。

故选A。

8.
小值为（）
C.
【答案】B
【解析】右焦点为，
最小，如图：
,故l=2|AF|+2a
故选B
点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.
9. ，，
）
【答案】D
及正弦定理得
，
．
．选D．
点睛：
（1）解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意余弦定
（2）求三角形内切圆的半径时，可利用分割的方法，将三角形分为三个小三角形，且每个小
10. ：与双曲线的一个焦点重合，
处的切线与
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A
的切线为
，所以，
所以。

故选A。

11. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：
原点处标0，1，2，3，4，5，
67）
C.
【答案】C
【解析】由图形规律可知，由0（记为第0圈）开始，
的坐标为
故选C。

点睛：本题考查证明推理的应用。

首先要观察条件的规律，得到其规律的通项关系。

本题中
，坐标为
答案。

12. 已知函数
的取值范围是（）
D.
【答案】B
，使得
，则
单调递减；，单调递增，
，即的取值范围为
故选B。

解题。

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. __________．
【答案】1
【解析】
由可行域可知，过点
点睛：本题考查线性规划的应用。

首先要正确表示可行域，特别是区域的判断，一般利用特殊点法。

然后要掌握线性最值的求解，一般是直线平移，本题考查的几何性质是两点斜率，要掌握常见的几种几何性质。

14. 如图，有5__________．
【答案】1
【解析】
注意到不共线，且，
，所以
15. 已知四棱锥的外接球为球
，则球__________．
【解析】设球心为，半径为，到底面的距离为，
∵四棱锥的底面是矩形，侧面是等边三角形，且有侧面底面，∴四棱锥的高为，底面矩形外接圆半径为，
∴，
∴，∴，
16. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，
的面积为
最小值是__________．
，则，，
函数在上递减，因此当时，有最小值，，此时，
，故答案为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
（1
（2，若
小值．
【答案】（1（2）5．
【解析】试题分析：（1（2）
，则由单调性可知递增，所以
5．
试题解析：
（1
（2，
，
随着的增大而增大，
递增，又
，
∴实数5．
点睛：本题考查等差数列的基本性质及求和。

等差数列通项公式的求解灵活应用基本性质，可以求出通项公式，也可以利用基本量法求解。

裂项相消法求和是由其通项的基本结构决定，再观察其单调性，解得答案。

18. 中，，
将四边形折起，使得与，连接
（1，若存在，说明点
不存在，请说明理由；
（2
【答案】（1）见解析．（2）见解析.
【解析】试题分析：(1) 取线段EF的中点M，易证GM∥DF，从而得到GM∥平面BDF；(2) 因为CF∥DE，且AE与CF的夹角为60°，故AE与DE的夹角为60°，利用等体积法表示体积，进而得到体积的最大值，及此时DE的长度.
试题解析：
(1)如图所示，取线段EF的中点M，下证GM∥平面BDF；
因为G为线段ED中点，M为线段EF的中点，
故GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，
又GM⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，故GM∥平面BDF；
(2)因为CF∥DE，且AE与CF的夹角为60°，
故AE与DE的夹角为60°，
过D作DP垂直于AE交AE于P，
因为DE⊥EF，AE⊥EF，故DP为点D到平面ABFE的距离，
设DE＝x，则AE＝BF＝4－x，
由①知GM∥DF，
故V G－BDF＝V M－BDF＝V D－MBF＝·S△MBF·DP＝××x
＝·x≤，
当且仅当4－x＝x时等号成立，此时x＝DE＝2，
故三棱锥G－BDF的体积最大值为，此时DE的长度为2.
19. 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数
了空气质量标准：
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度
污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．
（1
（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；
（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：
根据限行前6年180天与限行后60
把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
参考数据：
【答案】（1）．（2）．（3）见解析．
【解析】试题分析：（1）王先生的车被限行的概率为0.05，空气重度污染和严重污染的概率，由频率分布直方图可知：
（2
抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4
取2（3）列联表，由表中
的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
试题解析：
（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，
（2
按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4
空气中度污染天气被抽取2
从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：，，，，
15个，
9个，
即至少有一天空气质量中度污染的概率为
（3）列联表如下：
的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
20. 如图，，：下焦点，：
在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆
（2
【答案】（1（2
【解析】试题分析：（1
，由椭圆定义知，，从而椭圆的方程为
；（2
入椭圆方程，所以
试题解析：
（1
，由椭圆定义知，
，得，
（2，
又直线：
，②
，，
所以，
所以得，代入①式，得
，且
21. 已知函数，．
（1存在单调递减区间，求实数
（2）设函数
【答案】（1（2）见解析.
【解析】试题分析：（1
，所以的取值范围为
2）、，，的横坐标为
，由反证法证明得处的切线与
行．
试题解析：
（1
存在单调递减区间，所以有解，
的取值范围为
（2
处的切线与在点处的切线平行，则
，
，
因为时，在上单调递增，故
在点处的切线与
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
，以坐标原点为极点，
的极坐标方程为经过曲线
（1
（2）设曲线
【答案】（1）见解析．（2
【解析】试题分析：（1
，所以直线的普通方程为
（2）设椭圆
试题解析：
（1
的直角坐标方程为
，所以直线
（2
），此时椭圆
23. 选修4-5：不等式选讲
（1）求实数
（2）若实数，求证：
【答案】（1（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）绝对值不等式小于在中间，所以由，得
即，，由此求得；（2）由得，，将配成，利用绝对值不等式可得
.........................
试题解析：
（1
（2）由（1）可知，
．
考点：不等式选讲．。