高三数学月考试题及答案-贵阳市2013届高三适应性监测考试(二)(理)

贵州省贵阳市2013年高三适应性监测考试（二）
理科数学
2013年5月
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和笫II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。

3．回答笫II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．请保持答题卡平整，不能折叠。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I 卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合
题目要求的。

(1)已知集合{
}
{
}
2
|4,3A x R x B x N =∈≤=∈，则A B =
A ．(]0,2
B ．[]0,2
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2 (2)已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)5m i ni +=+，则2
(
)m ni m ni
+-= A ．i B ．-i C ．1 D ．-1
(3)在边长为3的正方形ABCD 内任取一点P ，则P 到正方形四边的距离均不小于l 的概率为 A ．
19 B ．13 C ．49 D ．89
(4)若1
3
(10,1),lg ,2lg ,lg x a x b x c x -∈===,则 A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D ．b<c<a
(5)已知命题1p ：函数11()()2
2
x
x
y -=-在R 为减函数，2p ：函数11()()2
2
x
x
y -=+在R 为增函数，则在命题112212312:,:,:()q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和411:()q p p ∧⌝中，真命题是
A ．13,q q
B ．23,q q
C ．14,q q
D ．24,q q (6)定积分
1
22
112
e xdxe -⎰的值等于 A ．2
1e - B ．2
(1)e - C ．2
e D ．
212
e (7)已知函数()sin()(0,0,0)
f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数'()f x 的部分
图象如图所示，则函数()f x 的解析
A ．13
()4sin()24f x x π=+
B ．1()4sin()24f x x π
=+
C ．1()4sin()34f x x π
=+
D ．2()4sin()34f x x π
=+
(8)已知曲线1
:(0)C y x x =>上两点111(,)A x y 和222(,)A x y ，其中21x x >.过12,A A 的直线
l 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么
A ．x 312,
,2x x x 心成等差数列 B ．312,,2
x
x x 成等比数列 C ．132,,x x x 成等差数列 D ．132,,x x x 成等比数列
(9)若()f x 是奇函数，且当x>0时3()8f x x =-，则{}|(2)0x f x ->= A ．{}|202x x x -<<>或 B ．{}
|024x x x <<>或 C ．{}|04x x x <<或2< D ． {}
|22x x x <->或
(10))若3tan 4
a =,a 是第三象限的角，则
1tan
21tan
2
a a -+= A ．12- B ．1
2
C ．2
D ．-2
(11)已知半径为l 的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为 A ．
74π B ．2
π C ．78π D ．54π
(12)已知点P 是双曲线22
:136
x y C -=上一点，过P 作C 的两条渐近线的垂线，垂足
分别为A ，B 两点，则PA PB ⋅等于 A ．23 B ．2
3
- C ．0 D ．1
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须
作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)6(93)()x x x R --∈的二项展开式中的常数项是__________.
(14)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是
____________.
(15)已知F 是抛物线C ：2
4y x =的焦点，直线:(1)l y k x =+与抛物线C 交于A ，B 两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +=__________.
(16)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且c=b+l=a+2，C=2A,则ABC ∆的面积等于_______.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17)（本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为7,70n S S =,且126,,a a a 成等比数列． (I)求数列{}n a 的通项公式； (II)设248
n n S b n
+=
，数列{}n b 的最小项是第几项，并求出该项的值． (18)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥E-ABCD 中，矩形ABCD 所在的平面与平面AEB 垂直，且120BAE ∠=，AE=AB=4，AD=2,F,G ，H 分别为BE,AE,BC 的中点．
(I)求证：DE ∥平面FGH ；
(II)若点P 在直线GF 上，GP GF λ=，且二面角D-BP 一A 的大小为
4
π
，求λ的值．
(1 9)（本小题满分1 2分）
某次大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从10000人中随机抽取10人，中奖者获得奖金1000元，并获得第二环节抽奖资格；第二环节在取得资格的10人中，每人独立通过电脑随机产生两个数{},(,1,2,3)x y x y ∈，并按如图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．
(I)已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；
(II)若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．
(20)（本小题满分12分）
设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,1)M ，离心率e =，O 为坐标原点．
(I)求椭圆C 的方程。

(Ⅱ)若直线l 是圆22:1O x y +=的任意一条切线，且直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求证：OA OB ⋅为定值． (21)（本小题满分12分）
已知函数()()ln f x bx c x =+在1
x e
=处取得极值，且在x=l 处的切线的斜率为1． (I)求b,c 的值及f(x)的单调减区间。

(II)设p>0,q>0，求证：325(
)3()2()5
p q
f f p f q +≤+．
请考生在第22.23.24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． (22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线OB 于E ，D ，连
接EC, CD ．
(I)求证：直AB 是⊙O 的切线； (II)若⊙O 的半径为3,1
tan 2
CED ∠=
，求OA 的长。

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ+和直线:sin()4
l π
ρθ-
=
， (I)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(II)当(0,)θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()25f x x x =---． (I)证明： 3()3f x -≤≤；
(II)求不等式2()815f x x x ≥-+的解集．
理科数学参考答案与评分建议
2013年5月
一、选择题
二、填空题
（13）15 （14）
21 （15）0 （16 三、解答题
（17）解：（I ）设公差为d ，则有
12216
72170a d a a a +=⎧⎨=⎩，即12
111310
()(5)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ …………………………………2分 解得11
3a d =⎧⎨
=⎩ 或 110
0a d =⎧⎨=⎩
（舍去）， ………………………………………4分 所以32n a n =-．……………………………………………………………6分
（II ）23[1(32)]22
n n n n
S n -=+-= ………………………………8分
所以23484831123n n n b n n n -+==+-=≥ ………………10分
当且仅当48
3n n
=
，即4n =时取等号， 故数列{}n b 的最小项是第4项，该项的值为23 ………………………12分
（18）方法一：（Ⅰ）证明：取AD 的中点M ，连结MH ，MG ． ∵,G H 分别是,AE BC 的中点， ∴//,//MH AB GF AB ，
∴M ∈平面FGH ，………………………3分 又//MG DE ，
且DE ⊄平面FGH ，M G ⊂平面FGH ， ∴//DE 平面FGH ．………………………6分 方法二：（Ⅰ）证明：∵,F H 分别是,BE BC 的中点 ∴在平面BCE 中，FH ∥CE 又∵FH ⊄平面,CDE CE ⊂平面CDE ∴FH ∥平面CDE
又∵,G F 分别是,AE BE 中点，且ABCD 为矩形 ∴FG ∥AB ∥CD 又∵,GF
FH F CD CE E ==
∴平面FGH ∥平面CDE ，DE ⊂平面CDE
∴DE ∥平面FGH ………………………6分
（Ⅱ）解：如图，在平面ABE 内，过A 作AB 的垂线，记为AK ，则AK ⊥平面ABCD . 以A 为原点，
AK 、AB 、AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立建立空间直角坐
标系A xyz -. ………………………………………………7分
(0,0,0),(0,4,0),(0,0,2),2,0),1,0),A B D E G F ∴--
(0,2,0),GF =(0,4,2),BD =-
(35,0)BG =-． ………………………8分
因为(0,2,0)GP GF λλ==，则(35,0)BP BG GP λ=+=-. 设平面PBD 的法向量为1(,,)x y z =n ，
则1100BP BD ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ∴(25)0,420.y y z λ+-=-+=⎪
⎩
取3y =，得z =5
2x λ=-
，
∴1
(52λ=-n ．………………………………………………………10分
又平面ABP 的法向量为2(0,0,1)=n ，……………………………………………11分
∴121212cos ,⋅=
==⋅n n n n n n ，
解得1λ=或4. ………………………12分
（19）解:（Ⅰ）从123、、、三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)共9个， ………………………3分
设“甲在第二环节中奖”为事件
A ，则事件A 包含的基本事件有(3,1),(3,3)，共2个，
∴2
()9
P A =
. ………………………………………………6分 （Ⅱ）设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X 元，
则
X 的可能取值为010*******，，. ………………………………………7分
999(0)1000P X ==
，177
(1000)100099000
P X ==⋅=，
122
(10000)100099000
P X ==
⋅=．
∴X的分布列为
11分
∴
99972
010********
100090009000
EX=⨯+⨯+⨯=．………………………12分（20）解：(Ⅰ)因为
c
e
a
==，22
3
a b
∴=，∴椭圆C的方程为
22
22
1
3
x y
b b
+=.
又∵椭圆C过点(1,1)
M，代入方程解得22
4
4,
3
a b
==，
∴椭圆C的方程为
22
3
1
44
x y
+=.………………………6分(Ⅱ)①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y kx m
=+，
则圆心O到直线l的距离1
d==，22
1k m
∴+=. …………………7分
将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到关于x的方程为
222
(13)6340
k x kmx m
+++-=.………………………8分
设直线l与椭圆C相交于
1122
(,),(,)
A x y
B x y两点，则
122
2
122
6
13
34
13
km
x x
k
m
x x
k
⎧
+=-
⎪⎪+
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
，…………………………9分
22
12121212
(1)()
OA OB x x y y k x x km x x m
∴=+=++++
2
22
22
346
(1)()
1313
m km
k km m
k k
-
=+⋅+⋅-+
++
22
2
444
13
m k
k
--
==
+
，…………………………………………………11分
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得0
OA OB=.
综合上述可得，OA OB为定值0. …………………………………………… 12分（21）解：（Ⅰ）
1
()ln()
f x b x bx c
x
'=++⋅………………………………1分
1
()0
f
e
'=，∴
1
ln()0
b
b c e
e e
++⋅=，即0
b b e c
-++⋅=，∴0
c=……2分∴()ln
f x b x b
'=+，又(1)1
f'=，∴ln11
b b
+=，∴1
b=
综上可知
1,0
b c
==……………………………………4分
()ln f x x x =，定义域为x ＞0，()ln 1f x x '=+
由()f x '＜0 得 0＜x ＜
1
e
，∴()f x 的单调减区间为1(0,)e ……………6分 （Ⅱ）欲证 325(
)3()2()5
p q
f f p f q ++≤成立 需证 32325ln 3ln 2ln 55p q p q
p p q q ++⋅
⋅+≤成立 即证 3253ln 2ln 532p q q
p q p p q
++≤ ………………………7分 令q
t p
= ，∵p ＞0，q ＞0 ，∴ t ＞0，即证3225ln ln 5332t t t t +⋅+≤……8分 令3225()ln ln 5332t t t h t t +=-⋅+ 则3222()ln ln(5)ln(32)533
t t
h t t t t +=-++ ∴52225222
()ln(5)ln(32)3253353332t t h t t t t t t '=⋅--⋅+++⋅++ 232ln 35t t
+= …………9分
① 当32t +＞5t ，即0＜t ＜1时，32ln 5t
t
+＞0，即()h t '＞0
()h t 在（0，1）上递增，∴()h t ＜(1)h ＝0， …………………10分
② 当32t +＜5t ，即t ＞1时，32ln 5t
t
+＜0，即()h t '＜0
()h t 在（1，＋∞）上递减，∴()h t ＜(1)h ＝0， ……………11分 ③ 当32t +＝5t ，即t ＝1时，()h t ＝(1)h ＝0
综合①②③知()0h t ≤即3225ln ln 5332t t t
t
+⋅+≤ 即325()3()2()5
p q
f f p f q ++≤ ……………………12分
（22）证明：（Ⅰ）如图，连接,,,OC OA OB CA CB OC AB ==∴⊥Q
OC Q 是圆的半径， AB ∴是圆的切线． ………………………3分 （Ⅱ）ED 是直径，90,90ECD E EDC ∴∠=︒∴∠+∠=︒
又90,,,BCD OCD OCD ODC BCD E CBD EBC ∠+∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠又，
BCD ∆∴∽BEC ∆，BE BD BC BC
BD
BE BC ⋅=⇒=∴
2， ………………………5分 2
1
tan ==
∠EC CD CED ， BCD BEC ∆∆:，1
2BD CD BC EC == ……………………………………………7分
设,2,BD x BC x ==则22(2)(6)2BC BD BE x x x BD =⋅∴=+∴=Q …………9分 532=+=+==∴OD BD OB OA ．……………………………………………10分
(23)解：（Ⅰ）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+
圆O 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--= ………3分
直线:sin()4l π
ρθ-=，即sin cos 1ρθρθ-= 则直线l 的直角坐标方程为：1y x -=，即10x y -+= …………5分
（Ⅱ）由22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得01
x y =⎧⎨=⎩ …………8分 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,
)2π …………10分
（24）解：（Ⅰ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩
≤≥
当25,327 3.x x <<-<-<时
所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
当22,()815x f x x x -+≤时≥的解集为空集；
当225,()815{|55}x f x x x x x <<-+<时≥的解集为；
当25,()815{|56}x f x x x x x -+≥时≥的解集为≤≤.
综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x -+≥的解集为≤ …………10分。