2024届山西省太原市实验中学数学高一下期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届山西省太原市实验中学数学高一下期末学业水平测试模
拟试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为
ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
13
B C D ．
23
2．已知集合{}0,1,2,3,4M =，()(){}
250N x x x =--<，则M N =（ ）
A ．{}3,4
B ．{}2,3,4,5
C ．{}2,3,4
D ．{}3,4,5
3．以下说法正确的是（ ） A ．零向量与单位向量的模相等 B ．模相等的向量是相等向量 C ．已知,a b 均为单位向量，若1
2
a b ⋅=
，则a 与b 的夹角为60︒ D ．向量AB 与向量CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点在一条直线上
4．《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，其中PA ⊥平面ABC ，3PA AB BC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则该球的体积是（ ）
A ．
B C ．
272
π
D ．
274
π
5．记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大数.若实数,,x y z 满足222
363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
则max{||,||,||}x y z 的最大值为（ ）
A ．
3
2
B ．1
C
D ．
23
6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1=pa n ＋q ，且a 2＝3，a 4＝15，则p ，q 的值为( )
A ．36p q =-⎧⎨=⎩
B ．2
1p q =⎧⎨=⎩
C ．36p q =-⎧⎨=⎩或2
1p q =⎧⎨
=⎩
D ．以上都不对 7．若圆的半径为4，a 、b 、c 为圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( ) A ．22
B ．82
C ．2
D ．
2
2
8．l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A ．6
B ．1
C ．
52
D ．3
9．函数()2
2sin sin 44f x x x ππ⎛⎫
⎛⎫=+
-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
是( ).
A ．周期为π的偶函数
B ．周期为π的奇函数
C ．周期为2π的偶函数
D ．周期为2π奇函数
10．在公比为整数的等比数列
中，是数列
的前项和，若
，
，则下列说法错误的是（ ）
A ．
B ．数列是等比数列
C ．
D ．数列
是公差为2的等差数列
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点1O ，2O 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点1O 或2O 的距离不大于1的概率是________.
12．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2，甲获胜的概率是13
，则甲不输的概率为________. 13．已知实数0,
0a b >>，28a 与2b 的等比中项，则
12
a b
+的最小值是______． 14．已知不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，则a c +=________. 15．已知tan 2α=，则
6sin cos 3sin 2cos αααα
+-的值为
____________．
16．如图，点M 为正方形边ABCD 上异于点,C D 的动点，将ADM ∆沿AM 翻折成
PAM ∆，使得平面PAM ⊥平面ABCM ，则下列说法中正确的是__________.(填序号)
（1）在平面PBM 内存在直线与BC 平行； （2）在平面PBM 内存在直线与AC 垂直 （3）存在点M 使得直线PA ⊥平面PBC （4）平面PBC 内存在直线与平面PAM 平行. （5）存在点M 使得直线PA ⊥平面PBM
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （I ）求函数()f x 的最小正周期． （II ）求函数()f x 的单调递增区间． （III ）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最小值和最大值． 18．设{}n a 是等差数列，110a =-，且23410,8,6a a a +++成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.
19．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 23cos()1A B C -+=． （1）求A 的值； （2）若ABC ∆的面积为3
33b =，求sin sin B C 的值．
20．某地区某农产品的销售量与年份有关，下表是近五年的部分统计数据： 年份 2010 2012 2014 2016 2018 销售量（吨）
114
115
116
116
114
用所给数据求年销售量y （吨）与年份x 之间的回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，并根据所求出的直线方程预测该地区2019年该农产品的销售量.
参考公式：1
2
1
()()
ˆˆˆ,()
n
i
i
i n
i
i x x y
y a
y bx b x x ==--=-=-∑∑.
21．如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又
11
,33
BM BC CN CD ==，试用,a b 表示,,OM ON MN ．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
由题意不妨令棱长为2，如图
1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，故3
3
DA =
由勾股定理得1426
43A D =
-
=
过1B 作1B E ⊥平面ABC ，则1B AE ∠为1AB 与底面ABC 所成角，且126
B E =
如图作1A S AB ⊥于中点S
1AS ∴=
1AB ∴==1AB ∴与底面ABC
所成角的正弦值1sin 3B AE ∠==
故答案选B
点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形． 2、A 【解题分析】
首先求得集合N ，根据交集定义求得结果. 【题目详解】
()(){}{}25025N x x x x x =--<=<< {}3,4M
N ∴=
本题正确选项：A 【题目点拨】
本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3、C 【解题分析】
根据零向量、单位向量、相等向量，向量的模、向量共线、向量数量积的运算的知识分析选项，由此确定正确选项. 【题目详解】
对于A 选项，零向量的模是0，单位向量的模是1，两者不相等，故A 选项说法错误. 对于B 选项，两个向量大小和方向都相等才是相等向量，故B 选项说法错误. 对于C 选项，由11
cos601122
a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯
=，故C 选项说法正确. 对于D 选项，向量AB 与向量CD 是共线向量，但是这两个向量没有公共点，所以无法判断,,,A B C D 是否在一条直线上.故D 选项说法错误. 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查向量的有关概念，考查向量数量积的运算，属于基础题.
4、A 【解题分析】
根据三棱锥的结构特征和线面位置关系，得到PC 中点为三棱锥P ABC -的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，如图所示，
因为3AB BC ==，且ABC ∆为直角三角形，所以AB BC ⊥，
又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，则BC ⊥平面PAB ，得BC PB ⊥. 又由PA AC ⊥，所以PC 中点为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 则外接球的半径2221133
333222
R PC =
=++=
. 所以该球的体积是3
4
33273322ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 故选A.
【题目点拨】
本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径. 5、B 【解题分析】
先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解. 【题目详解】
因为222
0363
x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，所以222
36()3x y x y +++=， 整理得：(
)
2
2
2
2
912730,(12)49730y xy x x x ++-=∆=-⨯⨯-≥， 解得21x ≤，
所以||1x ≤，
同理，2||1,|z |133
y ≤<≤<. 故选B
【题目点拨】
本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6、C 【解题分析】
根据数列的递推公式得2a 、4,a 建立方程组求得. 【题目详解】
由已知得：213;a pa q p q =+=+=
2432()315,a pa q p pa q q p pq q =+=++=++=
所以2
3,315p q p pq q +=⎧⎨
++=⎩ 解得：36p q =-⎧⎨=⎩或2
1
p q =⎧⎨=⎩. 故选C. 【题目点拨】
本题考查数列的递推公式，属于基础题. 7、C 【解题分析】
试题分析：由正弦定理可知2sin a R A
=，∴sin 2a
A R =，
∴1sin 24ABC
abc
S
bc A R
===． 考点：正弦定理的运用． 8、D 【解题分析】
先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解. 【题目详解】 当x=0时，y=2, 当y=0时，x=3,
所以三角形的面积为1
23=32
⋅⋅. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9、B 【解题分析】 因()1cos(2)[1cos(2)]sin 2sin 22sin 222
f x x x x x x π
π
=-+
---=+=，故
()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-是奇函数，且最小正周期是，即22
T π
π=
=，应选答案B ．
点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案． 10、D 【解题分析】
由等比数列的公比为整数，得到
，再由等比数列的性质得出
，
可求出、的值，于此得出和的值，进而可对四个选项进行验证. 【题目详解】
由等比数列的公比为整数，得到， 由等比数列的性质得出
，解得
，即，解得，
，则
，
数列是等比数列.
，
，
所以，数列是以
为公差的等差数列，A 、B 、C 选项正确，D 选项错误，
故选：D. 【题目点拨】
本题考查等比数列基本性质的应用，考查等比数列求和以及等比数列的定义，充分利用等比数列下标相关的性质，将项的积进行转化，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
16
【解题分析】
本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点P 到点1O ，2O 的距离不大于1的概率； 【题目详解】
解：由题意可知，点P 到点1O 或2O 的距离都不大于1的点组成的集合分别以1O 、2O 为球心，1为半径的两个半球，其体积为314421233
ππ
⨯⨯
⨯=，又该圆柱的体积为
22228V r h πππ==⨯⨯=，则所求概率为41386
P π
π==.
故答案为：1
6
【题目点拨】
本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比． 12、
56
【解题分析】
甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋； 甲不输，即甲获胜或和棋，
∴甲不输的概率为115326
P =
+= 13
、5+ 【解题分析】
8a 与2b 的等比中项得到31a b +=，利用均值不等式求得最小值. 【题目详解】
实数00a b >>，是8a 与2b 的等比中项，
3822,22a b a b +∴⋅=∴=，解得31a b +=．
则
(
)121263555b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭
b =
时，即123
a b =-
=时取等号．
故答案为
:5+． 【题目点拨】
本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键. 14、-7 【解题分析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得,a c 的值，即可得到答案.
【题目详解】
由不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，可得052323a a c a ⎧
⎪<⎪
⎪
+=-⎨⎪
⎪⨯=⎪⎩
，解得1,6a c =-=-，
所以167a c +=--=-. 故答案为：7-. 【题目点拨】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15、
13
4
【解题分析】
利用商数关系式化简即可． 【题目详解】
6sin cos 6tan 1133sin 2cos 3tan 24αααααα++==--，故填13
4
．
【题目点拨】
利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：
（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把含有正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式； （2）“1”的代换法：有时可以把1看成22sin cos αα+． 16、（2）（4） 【解题分析】
采用逐一验证法，利用线面的位置关系判断，可得结果.
【题目详解】
（1）错，若在平面PBM 内存在直线与BC 平行，
则BC //平面PBM ，可知BC //AM ，
而BC 与AM 相交，故矛盾
（2）对，如图
作PN AM ⊥，
根据题意可知平面PAM ⊥平面ABCM
所以PN AC ⊥，作NE AC ⊥，点E 在平面PBM ，
则AC ⊥平面PNE ，而PE ⊂平面PBM ，
所以AC PE ⊥，故正确
（3）错，若PA ⊥平面PBC ，则PA BC ⊥，而PN BC ⊥
所以BC ⊥平面PAN ，则AM BC ⊥，矛盾
（4）对，如图
延长,AM BC 交于点H 连接PH ,作CK //PH
PH ⊂平面PAM ，CK ⊂平面PBC ，
CK ⊄平面PAM ，所以CK //平面PAM ，故存在
（5）错，若PA ⊥平面PBM ，则PA BM ⊥
又PN BM ⊥，所以BM ⊥平面PAM
所以BM AM ⊥，可知点M 在以AB 为直径的圆上
又该圆与CD 无交点，所以不存在.
故答案为：（2）（4）
【题目点拨】
本题主要考查线线，线面，面面之间的关系，数形结合在此发挥重要作用，属中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I ）()f x 的最小正周期πT =;（II ）()f x 的单调递增区间为3πππ,π()88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ;
（III ）min π()04f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;max π()18f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
【解题分析】
试题分析; （1）化函数f （x ）为正弦型函数，求出f （x ）的最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性求出f （x ）的单调增区间；（3）根据x 的取值范围求出2x+
π4的取值范围，从而求出f （x ）的最值
（I ）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=
++ ⎪⎝⎭ 因此，函数()f x 的最小正周期πT =．
（II ）由πππ2π22π242k x k -≤+≤+得：3ππππ88
k x k -≤≤+． 即函数()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k Z ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦． （III ）因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444
x -≤+≤
所以()()min max ππ0148f x f f x f ⎛⎫⎛⎫=-
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 18、（1）212n a n =-；（2）30-
【解题分析】
（1）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出2d =，由此能求出{}n a 的通项公式．
（2）由110a =-，2d =，求出n S 的表达式，然后转化求解n S 的最小值．
【题目详解】
解：（1）{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列． 2324(8)(10)(6)a a a ∴+=++，
2(22)(43)d d d ∴-+=-+，
解得2d =，
1(1)1022212n a a n d n n ∴=+-=-+-=-．
（2）由110a =-，2d =，得：
22(1)1112110211()224
n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， 5n ∴=或6n =时，n S 取最小值30-．
【题目点拨】
本题考查数列的通项公式、前n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
19、（Ⅰ）3πA =（Ⅱ）913 【解题分析】
（1）根据二倍角和诱导公式可得cos A 的值；（2）根据面积公式求c ，然后利用余弦定理求a ，最后根据正弦定理求sin sin B C 的值.
【题目详解】
（1）A B C π++=,
()cos cos B C A ∴+=-，
所以原式整理为22cos 3cos 20A A +-=,
解得：cos 2A =-（舍）或1cos 2
A =
0A π<<, 3A π
∴=;
（2）11sin 322S bc A c =⋅=⨯= 解得4c =，
根据余弦定理22212cos 916234132a b c bc A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=
, a ∴=sin sin sin a b c A B C
==，
代入解得：sin B C ==9sin sin 13
B C ∴=
. 【题目点拨】 本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.
20、ˆ0.0514.3y x ；115.25吨
【解题分析】 由表格中的数据先求出,x y ,再根据公式求得ˆb
与ˆa 的值,得到线性回归方程,取2019x =即可求得2019年该农产品销售量的预测值.
【题目详解】
由表中数据可得:1(20102012201420162018)20145
x =++++=,
1(114115116116114)1155y =++++=, ∴1
21()()ˆ0.05(24)0
n i
i i n
i
i x x y y b x x ==--===-∑∑, ˆˆ1150.05201414.3a
y bx =-=-⨯=, ∴所求回归直线方程为:ˆ0.0514.3y x ,
由此可以预测2019年该农产品的销售量为:201914.30.125.5015⨯+=吨.
【题目点拨】
本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,难度不大.
21、1566OM a b =+，2233ON a b =+，1126
MN a b =- 【解题分析】
试题分析：利用向量的加减法的几何意义得14222,()33333
CN CD ON OC OA OB a b =∴==+=+，再结合已知及图形得1566OM a b =+最后求出1126
MN a b =-．
试题解析：解：14222,()33333
CN CD ON OC OA OB a b =∴==+=+ 11,,36
BM BC BM BA =∴= 1()6
OM OB BM OB OA OB ∴=+=+- 1566
a b =+ 1126MN ON OM a b ∴=-=- 考点：向量的加减法的几何意义。