江苏高一高中数学期中考试带答案解析

江苏高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.已知数列的前项和，则数列的通项公式是_________．
2.若正项等比数列满足，则公比________.
3.已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是________.
4.如果成等比数列，那么________.
5.已知两条直线和互相垂直，则等于_________.
6.已知两条直线，平行，则等于_________.
7.等比数列前项和为，已知成等差数列，则数列的公比=________.
8.变量满足条件，则的最小值为________.
9.在中，内角的对边分别是，且，则________.
10.在等差数列中，，若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_________.
11.如图，在中，是边上的点，且，则的值为________.
12.在中，已知，且的面积为，则的外接圆半径为________.
13.对恒成立，其中是整数，则取值集合为__________.
14.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为________.
二、解答题
1.已知函数．
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若，求的值．
2.（1）过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程；
（2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程．
3.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与
该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的
大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
4.已知等差数列的公差为-1，且.
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）将数列的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，求实数的取值范围．
5.已知数列中，，其前项和满足，其中.
（1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）设为数列的前项和.
①求的表达式；
②求使的的取值范围．
江苏高一高中数学期中考试答案及解析
一、填空题
1.已知数列的前项和，则数列的通项公式是_________．
【答案】
【解析】（1）当时，，（2）当时，不适合上式，.所以答案应填：．
【考点】求数列的通项公式．
【易错点睛】解答本题的关键是，但这里，也就是说取从开始的正整数，学生易忽略使用的条件，直接下结论导致错误，漏掉求时的值，有的在求时的值时不是通过来求，而是把代入求得导致错误.本题主要考查数列递推式的知识，难度不大，属
于基础题.
2.若正项等比数列满足，则公比________.
【答案】
【解析】，，即，或，又，，
.所以答案应填：．
【考点】等比数列的通项公式．
3.已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值
的是________.
【答案】
【解析】等差数列的公差为，则，即，，
，当时，取得最大值.所以答案应填：．
【考点】1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式．
4.如果成等比数列，那么________.
【答案】
【解析】设该数列的公比为，则由题意可得，解之可得，∴，∴.所以答案应填：．
【考点】等比数列的通项公式．
5.已知两条直线和互相垂直，则等于_________.
【答案】
【解析】因为两直线垂直，所以，.所以答案应填：．
【考点】两直线位置关系的判定．
【方法点睛】两条直线垂直的判定方法：（1）若直线和的斜截式方程为，则；（2）若和中有一条没有斜率而另一条斜率为，则；（3）若
，则．本题主要考查两直线垂
直的判定，等价转化是解题的关键，属于基础题.
6.已知两条直线，平行，则等于_________.
【答案】或
【解析】由题意知或.所以答案应填：或．
【考点】两条直线位置关系的判定．
【方法点睛】两条直线平行的判定方法：（1）若直线和的斜截式方程为，则直
线且；（2）若和都没有斜率，则与平行或重合；（3）若
，则且（或）.本题主要考查两直线平行的判定，等价转化是解题的关键，属于基础题.
7.等比数列前项和为，已知成等差数列，则数列的公比=________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则当时，，不成等差数列；当时，成等差数列，即，即（舍）或．所以答案应填：．
【考点】等比数列的性质．
【易错点睛】设出等比数列的公比为，根据等比数列的前项和公式表示时，容易忽视，而直接利
用求和导致错误，利用等比数列的前项和公式求和必须对公比分和两种情况讨论．为
了避免讨论此题也可以这样做：设等比数列的公比为，则，即
（舍）或．此题考查等比数列的通项公式和前项和公式，难度不大，属于基础题．
8.变量满足条件，则的最小值为________.
【答案】
【解析】由，得，作出不等式组对应的平面区域如图，由图象可知当直线过点
时，直线的在轴的截距最小，此时最小，由，得，即，此时．所以答案应填：．
【考点】简单的线性规划．
9.在中，内角的对边分别是，且，则________.
【答案】
【解析】，，，又
.所以答案应填：．
【考点】余弦定理．
10.在等差数列中，，若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，所求的数为，则，，，
成等比数列，，即，解得.所以答案应填：．
【考点】1、等差数列通项公式；2、等比数列的性质．
11.如图，在中，是边上的点，且，则的值为________.
【答案】
【解析】设，则，在中，
，，
，在中，.所以答案应填：．
【考点】1、解三角形；2、三角函数的平方关系．
12.在中，已知，且的面积为，则的外接圆半径为________.
【答案】
【解析】由题意得，，，，
的外接圆半径为.所以答案应填：．
【考点】1、正弦定理；2、三角形的面积．
13.对恒成立，其中是整数，则取值集合为__________.
【答案】
【解析】∵对恒成立，∴当时，不等式等价为，即，当时，，此时，即，设，若，则，函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件．若，则，而此时时，不满足条件．故，∵函数在上，在上，而在上的零点为，且在上，在上，∴要使
对任意恒成立，则函数与的零点相同，即，∵是整数，∴是
的约数，即，或，∴，或，当时，，即，当时，，即，∴或，即的取值的集合为．所以答案应填：
．
【考点】函数恒成立问题．
【思路点睛】利用换元法设，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断
求解即可．本题考查不等式恒成立等知识，考查考生分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，属于较难题，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同是解决本题的关键．
14.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为________.
【答案】
【解析】有排列的规律可知，前行共有正整数个，即个，因此第行第个数是全体正整数中第个，即为．所以答案应填：．
【考点】1、归纳推理；2、等差数列的前项和．
【思路点睛】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从开始的连续的正整数，故行的最后一个数，
即为前项数据的个数，故我们要判断第行从左向右的第个数，可先判断第行的最后一个数，然后
递推出第行的第一个数据即可．本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，属于基础题．归纳推理的
一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
二、解答题
1.已知函数．
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若，求的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）先利用二倍角公式将函数化成某一个角的余弦（或正弦）函数，利用求得周期，利用角的范围结合余弦函数的图象和性质求出值域；（2）由已知可得，再利用诱导公式和二倍角公式求得的值．
试题解析：（1）由已知，
所以函数的最小正周期为，值域为
（2）由，所以
所以
【考点】1、三角恒变换；2、诱导公式；3、两角和差的三角公式；4、二倍角的正弦、余弦公式．
2.（1）过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程；
（2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设与的交点为，则根据点关于点的对称点在上，求得的值，再根据点和的坐标求出直线的方程；（2）先求得反射点的坐标，在直线上取一点，设关于直线的对称点，求得，再利用直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程．
试题解析：（1）设与的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在上，代入的方程得，∴，即点在直线上，所以直线的方程为．
（2）由，得，∴反射点的坐标为．又取直线上一点，设关于直线的对称点，由可知，.而的中点的坐标为.又
点在上，∴.
由得，
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为.
【考点】直线的方程．
3.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与
该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的
大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【答案】（1）；（2）航行方向为北偏东，航行速度为海里/小时．
【解析】（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得，再由二次函数的性
质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为海里/小时，然后是距离最短，则
，解得，再解得相应角．
试题解析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，
则
故当时，
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小
（2）
设小艇与轮船在处相遇.
则，
故
∵，
∴，即，解得
又时，，
故时，取得最小值，且最小值等于
此时，在中，有，
故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时
【考点】函数模型的选择与应用．
4.已知等差数列的公差为-1，且.
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）将数列的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）先利用以及等差数列的性质，求出，再把公差代入即可求出首项，以及通
项公式和前项和；（2）先由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及恒成立，即可求实数的取值范围．
试题解析：（1）由得，∴，∴，从而
（2）由题意知，设等比数列的公比为，则，
∴，则是递增数列，得.
若存在，使对任意，总有恒成立，
因为，，
若存在，使对任意，恒成立，
则，得.即实数的取值范围.
【考点】1、等差数列的通项公式和前项和公式；2、等比数列的通项公式和前项和公式；3、数列的性质．
【思路点睛】第一小题的关键是求首项，也可以根据条件列出关于首项和公差的方程组求得首项，再写出通项公式和前项和公式；第二小题的关键是求出，确定其取值的范围，再利用的最大值建立不等关系求解.本题主要
考查等差数列和等比数列的基础知识，以及数列与函数的综合问题，等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合，属于中档题．
5.已知数列中，，其前项和满足，其中.
（1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）设为数列的前项和.
①求的表达式；
②求使的的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，；（2）①；②，且．
【解析】（1）把整理为：，即
，即可说明数列为等差数列；再结合其首项和公差即可求出的通项公式；（2）因为数列的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可．
试题解析：（1）由已知，，即，且，∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴
（2）∵，∴，
①
②
①-②得：
∴
代入不等式得：，即，
设，则，
∴在上单调递减
∵，
∴当时，，当时，，
所以的取值范围为，且
【考点】1、数列的求和；2、等差数列的判断、通项公式；3、数列与不等式；4等比数列的前项和公式．
【方法点睛】证明或判断等差数列的常用方法有：定义法、等差中项法、通项公式法、前项和法.本题用的是定
义法.数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、分组转化法、裂项相消法、乘公比错位
相减法、合并项求和法.本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．错位相减法
适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．。