可积则原函数一定连续

可积则原函数一定连续
关于定理推论，定理证明
定理：若函数f(x)的n阶导数f(n)(x)在区间[a,b]内可积，则函数f(x)在[a,b]内连续。

证明：假设f(x)的n阶导数f(n)(x)在[a,b]中可积，记
F(x)=∫f(n)(x)dx，F(x)在区间[a,b]为可导函数，那么F(x)的n-1阶导数f(n-1)(x)=f(n)(x)，又f(n)(x)在[a,b]内可积，因此f(n-1)(x)在[a,b]内一定可积，记G(x)=∫f(n-1)(x)dx，G(x)在[a,b]内可导，因此G(x)的n-2阶导数f(n-2)(x)=f(n-1)(x)，又f(n-1)(x)在[a,b]内可积，因此f(n-2)(x)在[a,b]为可积函数，记H(x)=∫f(n-2)(x)dx，H(x)在[a,b]内可导，以此类推，我们可以这样得到K(x)=∫f(1)(x)dx，K(x)在[a,b]内可导，K(x)的0阶导数f(0)(x)=f(1)(x)，又f(1)(x)在[a,b]内可积，因此f(0)(x)=f(x)在[a,b]内可积，记
L(x)=∫f(0)(x)dx=∫f(x)dx，而L(x)的极限为L(a)和L(b)，即L(b)-L(a)=∫f(x)dx，又L(x)在[a,b]内连续，因此我们有L(b)-L(a)=∫a^b f(x)dx，而这个等式的右端就是F(x)的增量，因此F(b)=F(a)+L(b)-
L(a)=F(a)+∫a^b f(x)dx，因此f(x)在[a,b]为可积函数，也就实现了我们的目的，完成了原函数的连续性证明。

综上所述，若函数f(x)的n阶导数f(n)(x)在区间[a,b]内可积，则函数f(x)在[a,b]内连续，证毕。