八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷（培优篇）（Word 版 含解
析）
一、选择题
1．如图，下列能判断AB ∥CD 的条件有 （ ）
①∠B +∠BCD =180° ②∠1 = ∠2 ③∠3 =∠4 ④∠B = ∠5 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．把一把直尺和一块三角板ABC 含30度，60度，按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和A ，∠CED=50°，则∠CFA 的大小为（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．70︒
3．如图，∠1的同位角是（ ）
A ．∠2
B ．∠3
C ．∠4
D ．∠5
4．一辆行驶中的汽车经过两次拐弯后，仍向原方向行驶，则两次拐弯的角度可能是（ ） A ．先右转30，后左转60︒ B ．先右转30后左转60︒ C ．先右转30后左转150︒ D ．先右转30，后左转30
5．如图，AB CD ∥，154FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则AEF ∠的度数等于
（ ）．
A ．26°
B ．52°
C ．54°
D ．77°
6．下列定理中，没有逆定题的是（ ） ①内错角相等，两直线平行 ②等腰三角形两底角相等 ③对顶角相等
④直角三角形的两个锐角互余． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
7．已知∠A 的两边与∠B 的两边互相平行，且∠A=20°，则∠B 的度数为（ ）. A ．20° B ．80° C ．160° D ．20°或160° 8．如图，下列条件中，不能判断直线a ∥b 的是（ ）
A ．∠1＝∠3
B ．∠2＝∠3
C ．∠4＝∠5
D ．∠2+∠4＝180°
9．如图，1∠与2∠是同位角的共有（ ）个
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，A 是直线l 外一点，过点A 作AB l ⊥于点B ，在直线l 上取一点C ，连接
AC ，使2AC AB =，P 在线段BC 上，连接AP ．若3AB =，则线段AP 的长不可能是（ ）
A ．4
B ．5
C ．2
D ．5.5
11．如图，下列不能判定DF ∥AC 的条件是（ ）
A ．∠A ＝∠BDF
B ．∠2＝∠4
C ．∠1＝∠3
D ．∠A +∠ADF ＝180°
12．如图，将△ABE 向右平移50px 得到△DCF ，如果△ABE 的周长是400px （1px=0.04cm ），那么四边形ABFD 的周长是（ ）
A ．16cm
B ．18cm
C ．20cm
D ．21cm
二、填空题
13．如图，△ABC 的边长AB =3 cm ，BC =4 cm ，AC =2 cm ，将△ABC 沿BC 方向平移a cm （a ＜4 cm ），得到△DEF ，连接AD ，则阴影部分的周长为_______cm ．
14．如图，图①是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF 折叠成图②，则图②中的∠CFG 的度数是_____________．
15．如图，BC AE ⊥，垂足为C ，过C 作CD AB ．若48ECD ∠=︒，则
B ∠=__________．
16．如图，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是______度．
17．一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将 45°的三角尺ADE 固定不动，将含 30°的三角尺ABC 绕顶点 A 顺时针转动（旋转角不超过 180 度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD=15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________．
18．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．
19．如图，已知AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；
20．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．
BC DE，则（1）嘉嘉将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点A落在DE上，且//
∠的度数为__________．
ACE
（2）如图2，淇淇将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点A在直线a上，顶点C在直线b上，现测得130
∠=，则2
∠的度数为__________．
三、解答题
21．（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明
∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
22．已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，
①若∠ABC=50º，∠ADC=70º，求∠BED的度数；
②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．
23．（1）问题发现
如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝
∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（）
∴∠C＝∠CEF．（）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B +∠C ＝ （等量代换） 即∠B +∠C ＝∠BEC ． （2）拓展探究
如果点E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B +∠C ＝360°﹣∠BEC ． （3）解决问题
如图③，AB ∥DC ，∠C ＝120°，∠AEC ＝80°，则∠A ＝ ．（之间写出结论，不用写计算过程）
24．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°． (1)求出∠BEF 的度数；
(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）
25．问题情境：如图1，AB CD ，130PAB ∠=，120PCD ∠=．求 APC ∠ 度数． 小明的思路是：如图2，过 P 作 PE
AB ，通过平行线性质，可得
5060110APC ∠=+=．
问题迁移：
（1）如图3，AD BC ，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在 A 、 B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 之间有何数量关系?请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 P 在 A 、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A 、 B 、
O 三点不重合），请你直接写出 CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 间的数量关系．
26．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °/秒，且a 、b 满足|a ﹣3b|+（a+b ﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ ∥MN ，且∠BAN ＝45°． （1）求a 、b 的值；
（2）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C ，过C 作CD ⊥AC 交PQ 于点D ，则在转动过程中，∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
27．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．
(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．
(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；
②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．
28．已知，点、、A B C 不在同一条直线上，//AD BE
（1）如图①，当,58118A B ︒︒∠=∠=时，求C ∠的度数；
（2）如图②，,AQ BQ 分别为,DAC EBC ∠∠的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下且//AC QB ，QP PB ⊥，直接写11,,DAC ACB CBE ∠∠∠的值
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
判断平行的条件有：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，依次判断各选项是否符合． 【详解】
①∠B +∠BCD =180°，则同旁内角互补，可判断AB ∥CD ； ②∠1 = ∠2，内错角相等，可判断AD ∥BC ，不可判断AB ∥CD ； ③∠3 =∠4，内错角相等，可判断AB ∥CD ； ④∠B = ∠5，同位角相等，可判断AB ∥CD 故选：C 【点睛】
本题考查平行的证明，注意②中，∠1和∠2虽然是内错角关系，但对应的不是AB 与CD 这两条直线，故是错误的．
2．A
解析：A 【分析】
先根据∠CED=50°，DE ∥AF ，即可得到∠CAF=50°，即可得出∠CFA 的大小． 【详解】
解：∵DE ∥AF ，∠CED=50°， ∴∠CAF=∠CED=50°， ∴∠CFA=90°-50°=40°， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
3．D
解析：D 【分析】
根据同位角定义可得答案． 【详解】
解：解：两条直线a ，b 被第三条直线c 所截（或说a ，b 相交c ），在截线c 的同旁，被截两直线a ，b 的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据定义，结合图形，∠1的同位角是∠5． 故选：D ． 【点睛】
本题考查同位角的定义，解题关键是熟练理解同位角的定义，本题属于基础题型．
4．D
解析：D 【分析】
根据平行线的性质分别判断即可． 【详解】
解：因为两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 所以两边拐弯的方向相反，形成的角是同位角， 故选：D ． 【点睛】
本题考查平行线的性质，利用两直线平行，同位角相等是解题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
根据平行线的性质可得26GFD ︒∠= ,再根据角平分线的性质可得52ECD ︒∠=,因此可计算的AEF ∠的度数. 【详解】
解：∵AB CD ∥， ∴180FGB GFD ∠+∠=︒， ∴18026GFD FGB ∠=︒-∠=︒， ∵FG 平分EFD ∠，
∴252EFD GFD ∠=∠=︒， ∵AB CD ∥，
∴52AEF EFD ∠=∠=︒． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.
6．A
解析：A
【解析】试题分析：根据题意可知：
①的逆命题是两直线平行，内错角相等，是真命题，是逆定理；
②的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，是逆定理； ③的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，不是逆定理；
④的逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，是逆定理. 只有一个不是逆定理. 故选：A
7．D
解析：D
【解析】试题分析：如图，∵∠A=20°，∠A 的两边分别和∠B 的两边平行，
∴∠B 和∠A 可能相等也可能互补， 即∠B 的度数是20°或160°， 故选：D.
8．B
解析：B 【分析】
根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】
A 、当∠1＝∠3时，a ∥b ，内错角相等，两直线平行，故正确；
B 、∠2与∠3不是同位角，也不是内错角，无法判断，故错误；
C 、当∠4＝∠5时，a ∥b ，同位角相等，两直线平行，故正确；
D 、当∠2+∠4＝180°时，a ∥b ，同旁内角互补，两直线平行，故正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键．
解析：B
【分析】
根据同位角的概念对每个图形一一判断，选出正确答案即可．
【详解】
图1：1∠与2∠是同位角；
图2：1∠与2∠不是同位角；
图3：1∠与2∠不是同位角；
图4：1∠与2∠是同位角；
只有图1、图4中1∠与2∠是同位角．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查同位角的概念，熟记同位角的概念是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据题意计算出AC 的长度，由垂线段最短得出AP 的范围，选出AP 的长度不可能的选项即可．
【详解】
3AB =，
26AC AB cm ∴==，
结合垂线段最短，得：36AP ≤≤．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，熟记概念并求出对应线段的范围是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断．
【详解】
解：A ．∠A ＝∠BDF ，由同位角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
B ．∠2＝∠4，不能判断DF ∥A
C ；
C ．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
D ．∠A +∠ADF ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
解析：C
【分析】
根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．注意：1px = 0.04cm ．
【详解】
∵1px = 0.04cm，
∴50px=2cm，400px=16cm，
∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF
=AB+BE+AE+AD+EF
=△ABE的周长+AD+EF．
∵平移距离为2cm，
∴AD=EF=2cm，
∵△ABE的周长是16cm，
∴四边形ABFD的周长=16+2+2=20cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
二、填空题
13．9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平
解析：9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移a cm
∴DE=AB=3cm，BE=a cm
∴EC=BC－BE=(4－a)cm
∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm
故答案为：9
【点睛】
本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE．
14．130°
【解析】
∵AD∥BC，∠DEF=25°，
∴∠BFE=∠DEF=25°，
∴∠EFC=155°，
∴∠CFG=155°-25°=130°．
故答案为130°．
点睛：本题主要是根据折叠能
解析：130°
【解析】
∵AD∥BC，∠DEF=25°，
∴∠BFE=∠DEF=25°，
∴∠EFC=155°，
∴∠CFG=155°-25°=130°．
故答案为130°．
点睛：本题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质．
15．42°
【解析】
先根据两直线平行，同位角相等求出∠A=∠ECD=48°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠B=90°-∠A=42°．
故答案为：42°.
点睛：本题考查平行线的性质和直角三角形两
解析：42°
【解析】
先根据两直线平行，同位角相等求出∠A=∠ECD=48°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠B=90°-∠A=42°．
故答案为：42°.
点睛：本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，灵活确定试题中的角之间的关系是关键．
16．40
【解析】
试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，
∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由
∠1=40°，可求得∠4=40°.
解析：40
【解析】
试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，
∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.
故答案为：40.
17．45°，60°，105°，135°．
【解析】
分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
详解：如图，
当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°；
当BC∥AD时,∠DAE=∠
解析：45°，60°，105°，135°．
【解析】
分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
详解：如图，
当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°；
当BC∥AD时,∠DAE=∠B=60°；
当BC∥AE时,∵∠EAB=∠B=60°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
当AB∥DE时,∵∠E=∠EAB=90°,
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为45°,60°,105°,135°.
点睛：本题考查了平行线的判定与性质.要证明两直线平行，需使其所构成的同位角、内错角相等（或同旁内角是否互补）.
18．48°
【分析】
将BE 与CD 交点记为点F ，由两直线平行同位角相等得出∠EFC 度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE 与CD 交点记为点F ，
∵AB ∥CD ，∠B ＝75°
解析：48°
【分析】
将BE 与CD 交点记为点F ，由两直线平行同位角相等得出∠EFC 度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE 与CD 交点记为点F ，
∵AB ∥CD ，∠B ＝75°，
∴∠EFC ＝∠B ＝75°，
又∵∠EFC ＝∠D +∠E ，且∠E ＝27°，
∴∠D ＝∠EFC ﹣∠E ＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．
19．62
【详解】
∵，，
∴∠BOC=90°-28°=62°
∵∠BOC=∠AOD
∴∠AOD=62°.
解析：62
【详解】
∵OE AB ⊥，28EOC ∠=，
∴∠BOC=90°-28°=62°
∵∠BOC=∠AOD
∴∠AOD=62°.
20．15° 15°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BCD=180°，从而得到∠BCD，再利用角的和差得到∠ACE；
（2）根据平行线的性质得出∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=
解析：15° 15°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BCD=180°，从而得到∠BCD，再利用角的和差得到
∠ACE；
（2）根据平行线的性质得出∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=180°，再由等腰直角三角形的性质得到∠BAC=90°，∠ACB=45°，结合∠1的度数可得结果．
【详解】
解：（1）由三角板的性质可知：∠D=60°，∠ACB=45°，∠DCE=90°，
∵BC∥DE，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=15°，
故答案为：15°；
（2）∵a∥b，
∴∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=180°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC-∠ACB=45°，
∵∠1=30°，
∴∠2=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了三角板的性质，平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．三、解答题
21．【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.
【分析】
感知：如图①，过点E作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；
探究：如图2中，作EG∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
应用：作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
【详解】
解：理由如下，
【感知】
过E点作EF//AB
∵AB//CD
∴EF//CD
∵AB//CD
∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD
∴∠CEF=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】
过E点作AB//EG.
∵AB//CD
∴EG//CD
∵AB//CD
∴∠BAE+∠AEG=180°
∵EG//CD
∴∠CEG+∠DCE=180°
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°
【应用】
过点F作FH∥AB.
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°
故答案为396°.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
22．（1）①∠BED=60º；②∠BED=1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC；（2）∠BED=180º-
1 2∠ABC+
1
2
∠ADC，理由见解析．
【分析】
（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；
②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．
（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．
【详解】
（1）①如图1，过点E作EF∥AB．
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABC=50º，∠ADC=70º
∴∠ABE=1
2∠ABC=15025
2
⨯=
°°，
∠EDC=1
2∠ADC=17035
2
⨯︒=︒，
∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；
②∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF=1
2∠ABC，∠EDC=∠DEF=1
2
∠ADC；．
∴∠BED=∠BEF +∠DEF =12∠ABC+12∠ADC ∴∠BED=12∠ABC+12
∠ADC （2）如图2，过点E 作EF ∥AB ．
∵AB ∥CD
∴AB ∥CD ∥EF
∴∠EDC=∠DEF ，
∵∠ABE+∠BEF=180º，
∴∠BEF=180º-∠ABE ．
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠ABE=12∠ABC ，∠DEF=12
∠ADC ， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-12∠ABC+12
∠ADC ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．
23．（1）平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF +∠CEF ；（2）证明见解析；（3）20°．
【分析】
（1）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（2）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（3）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
（1）证明：如图①，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF．（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF+∠CEF；（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；
（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠A＝∠BEF，
∵∠C＝120°，∠AEC＝80°，
∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEF＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A＝∠AEF＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
24．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【分析】
（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F 作//FN AB ，如图：
∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°
∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：
由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴35AEF EHL ∠=∠=︒
又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒
∴90EHM x ∠=︒+︒
∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒
∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：
设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒
设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒
又∵125FGD ∠=︒
∴125PGN y ∠=︒-︒
∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
25．（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β
【分析】
（1）过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，根据题意得出AD ∥PE ∥BC ，从而利用平行线性质可知α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，据此进一步证明即可；
（2）根据题意分当点P 在A 、M 两点之间时以及当点P 在B 、O 两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.
【详解】
（1）∠CPD=αβ∠+∠，理由如下：
如图3，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，
∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，
∴AD ∥PE ∥BC ，
∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，
∴∠CPD=∠DPE +∠CPE=αβ∠+∠；
（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=βα∠-∠，理由如下：
如图4，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，
∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，
∴AD ∥PE ∥BC ，
∴α∠=∠EPD ，β∠=∠CPE ，
∴∠CPD=∠CPE −∠EPD=βα∠-∠；
②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=αβ∠-∠，理由如下：
如图5，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，
∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，
∴AD ∥PE ∥BC ，
∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，
∴∠CPD=∠DPE −∠CPE=αβ∠-∠，
综上所述，当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.
【点睛】
本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
26．（1）a ＝3，b ＝1；（2）当t ＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC 与∠BCD 的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC ＝2:3．
【分析】
(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.
(2)分三种情况，利用平行线的性质列出方程即可解决.
(3)将∠BAC 和∠BCD 分别用t 的代数式表示，然后在进行运算即可.
【详解】
（1）∵|a ﹣3b|+（a+b ﹣4）2＝0．
又∵|a ﹣3b|≥0，（a+b ﹣4）2≥0．
∴a ＝3，b ＝1；
故答案为a=3，b=1.
（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t ＜60时，
3t ＝（30+t ）×1，
解得t ＝15；
②当60＜t ＜120时，
3t ﹣3×60+（30+t ）×1＝180，
解得t ＝82.5；
③当120＜t ＜150时，
3t ﹣360＝t+30，
解得t ＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t ＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.
故答案为：t=15秒或t=82.5秒.
（3）设A 灯转动时间为t 秒，
∵∠CAN ＝180°﹣3t ，
∴∠BAC ＝45°﹣（180°﹣3t ）＝3t ﹣135°，
又∵PQ ∥MN ，
∴∠BCA ＝∠CBD+∠CAN ＝t+180°﹣3t ＝180°﹣2t ，
∵∠ACD ＝90°，
∴∠BCD ＝90°﹣∠BCA ＝90°﹣（180°﹣2t ）＝2t ﹣90°，
∴∠BCD ：∠BAC ＝2：3．
故答案为：∠BAC 与∠BCD 的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC ＝2:3.
【点睛】
本题考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、解方程等知识，读懂题目的意思，掌握好平行线的性质是解题的关键.
27．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．
【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠DFE ＝90°，
∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，
即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，
∴∠C ＝∠FDE ，
∴AC ∥DE ，
∴∠CAF ＝∠E ，
∴∠CAF ＝∠E ＝∠B
故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°
∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°
∴∠BAF ＝∠C
又AC ∥DE ，
∴∠C ＝∠CDE ，
∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；
（2）①∵90BAC ∠=︒
∴90B C ∠+∠=︒
又∵50C B ∠∠︒-=，
∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;
②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,
由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,
∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,
当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；
当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）； 综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．
【点睛】
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
28．（1）120°；（2）2∠AQB+∠C=180°；（3）∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.
【分析】
（1）过点C 作CF ∥AD ，则CF ∥BE ，根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A 、∠BCF=180°-∠B ，将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF 即可求出∠ACB 的度数；
（2）过点Q 作QM ∥AD ，则QM ∥BE ，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出
∠AQB=1
2
(∠CBE-∠CAD)，结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C=180°；
（3）由（2）的结论可得出∠CAD=1
2
∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，
联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数.【详解】
解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B，
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-（∠B-∠A）=180°-(118°-58°)=120°．
（2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD=1
2
∠CAD，∠EBQ=
1
2
∠CBE，
∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=1
2
(∠CBE-∠CAD)．
∵∠C=180°-(∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB，∴2∠AQB+∠C=180°．
（3）∵AC∥QB，
∴∠AQB=∠CAP=1
2
∠CAD，∠ACP=∠PBQ=
1
2
∠CBE，
∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-1
2
∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB=180°，
∴∠CAD=1
2
∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，
∴∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD）=120°，
故∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角的计算找出∠ACB=180°-(∠B-∠A)；（2）根据平行线的性质、角平分线的定
义找出∠AQB=1
2
(∠CBE-∠CAD)；（3）由AC∥QB、QP⊥PB结合（1）（2）的结论分别求
出∠DAC、∠ACB、∠CBE的度数．。