水力学第二章课后习题答案解析

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2.12密闭容器，测压管液面高于容器内液面h =1.8m =1.8m，液体的密度为，液体的密度为850kg/m 3
，求液面压
强。

p 0
解：08509.807 1.8
a a p p gh p r =+=+´´相对压强为：15.00kPa kPa。

绝对压强为：116.33kPa kPa。

答：液面相对压强为15.00kPa kPa，绝对压强为，绝对压强为116.33kPa kPa。

2.13密闭容器，压力表的示值为4900N/m 2
，压力表中心比A 点高0.4m 0.4m，，A 点在水下1.5m 1.5m，，
，求水面压强。

p 0
A
1.5m
0.4m
解：0 1.1a p p p g
r =+-4900 1.110009.807
a p =+-´´
5.888a p =-（kPa kPa）
） 相对压强为： 5.888-kPa kPa。

绝对压强为：95.437kPa kPa。

答：水面相对压强为 5.888-kPa kPa，绝对压强为，绝对压强为95.437kPa kPa。

1m
3m
解：（1）总压力：
433353.052Z
P A p g r =×=´´=（kN kN））
（2）支反力：()
111333R W W W W g r ==+=+´´+´´总水箱箱
980728274.596W =+´=箱kN W +箱
不同之原因：总压力位底面水压力与面积的乘积，为压力体g r ´。

而支座反力与水体
重量及箱体重力相平衡，而水体重量为水的实际体积g r ´。

答：水箱底面上总压力是353.052kN kN，，4个支座的支座反力是274.596kN kN。

2.14 盛满水的容器，顶口装有活塞A ，直径d =0.4m =0.4m，，容器底的直径D =1.0m =1.0m，，高h =1.8m =1.8m，，
如活塞上加力2520N 2520N（包括活塞自重）（包括活塞自重）
，求容器底的压强和总压力。

D
d
G A
解：（1）容器底的压强：
2
25209807 1.837.7064
D A p p gh d
r p
=+=+´=（kPa kPa）
）（相对压强） （2）容器底的总压力：
2
23
137.7061029.61444
D D D P Ap D p p
p
==
×=
´´´=（kN kN）
） 答：容器底的压强为37.706kPa kPa，总压力为，总压力为29.614kN kN。

2.6用多管水银测压计测压，图中标高的单位为m ，试求水面的压强0p 。

水Δ
3.0
p 0
水
Δ
1.4
Δ2.5
Δ1.2
Δ2.3
汞
解：()
04 3.0 1.4p p g r =--
()()5 2.5 1.4 3.0 1.4Hg p g g r r =+---
()()()()2.3 1.2 2.5 1.2 2.5 1.4 3.0 1.4a Hg Hg p g g g g r r r r =+---+--- ()()
2.3 2.5 1.2 1.4 2.5
3.0 1.2 1.4a Hg p g g r r =++---+--
()()2.3 2.5 1.2 1.413.6 2.5 3.0 1.2 1.4a p g g r r =++--´-+--éùëû 265.00a p =+（kPa kPa）
） 答：水面的压强0
p 265.00=kPa kPa。

2.8盛有水的密闭容器，水面压强为0p ，当容器自由下落时，求水中压强分部规律。

p 0
g
解：选择坐标系，z 轴铅垂朝上。

由欧拉运动方程：10z p
f z
r ¶-=¶ 其中0z f g g =-+= ∴0p
z
¶=¶，0p = 即水中压强分布0p p = 答：水中压强分部规律为0p p =。

2.10圆柱形容器的半径R =15cm =15cm，，高H =50cm =50cm，，盛水深h =30cm =30cm，，若容器以等角速度w 绕z 轴旋转，试求w 最大为多少时不致使水从容器中溢出。

ω
D
z
解：建立随圆柱容器一起转动的坐标系oxyz ，o 点在水面最低点。

则有：0x p f x
r ¶-=¶
0y p
f y
r ¶-=¶
z
p f z r ¶-=¶ 即有：x y z f dx f dy f dz dp r r r ++=
其中：z
f g =-；2
2
cos x
f r x w q w ==；22
sin y
f r y w q w ==
故有：()
22
dp x dx y dy gdz r w w =+-
(
)
2
22
02
p p gz x y rw r -=-+
+
2
2
2
p p gz r rw r =-+
当在自由面时，0p p =，∴自由面满足2
2
02z r g
w =
∴
()
0p p g z z p gh r r =+-=+
上式说明，对任意点()(),,,x y z r z =的压强，依然等于自由面压强0p g r +´水深。

∴等压面为旋转、相互平行的抛物面。

答：w 最大为18.67rad/s 时不致使水从容器中溢出。

2.15 装满油的圆柱形容器，直径D =80cm =80cm，油的密度，油的密度r =8013
/m kg ，顶盖中心点装有真
空表，表的读值为4900Pa 4900Pa，试求：，试求：（1）容器静止时，作用于顶盖上总压力的大小和方向；（2）容器以角速度w =20s r /旋转时，真空表的读值不变，作用于顶盖上总压力的大小和方向。

ω
D
ρ油
解：（1）∵ 4.9v a p p p ¢=-=kPa
∴相对压强 4.9a p p p ¢=-=-kPa
2
2
4.9 4.90.8 2.464
4
D P pA p p
==-´
=-´
´=-（kN kN）
） 负号说明顶盖所受作用力指向下。

（2）当20w =r/s 时，压强分布满足(
)
2
22
02
p p gz x y rw r =-+
+
坐顶中心为坐标原点，∴()()
,,0,0,0x y z =时，0 4.9p =-kPa
()2
2202A A P
pdA p gz
x y dA rw
r éù=
=
-++êúë
ûòòòò 22
2
20
00
2D
p r d rdr p
rw q æö=
+×ç÷è
ø
òò
2
2
2
400
228D
p r r rw p æö
=+ç÷èø
22
4
4
64
p D D p pw r
=
+
2
2
4
0.8208014.90.84
64
1000
p p ´´=-
´+
´´
3.98=（kN kN）） 总压力指向上方。

答：（1）容器静止时，作用于顶盖上总压力的大小为2.46kN kN，方向向下；，方向向下；
（2）容器以角速度w =20s r /旋转时，真空表的读值不变，作用于顶盖上总压力为3.98kN kN，，方向指向上方。

2.16 绘制题图中AB 面上的压强分布图。

A
B
h 1
h 2
A B
h
2
h 1
h
A
B
解：
A
B
ρgh 1
ρgh 1
ρgh 1
ρgh 2
A
B
ρg (h 2-h 1)
ρg (h 2-h 1)
A
B
ρgh
2.23 矩形平板闸门AB ，一侧挡水，已知长l =2m =2m，宽，宽b =1m =1m，形心点水深，形心点水深c h =2m =2m，倾角，倾角a =
°45，闸门上缘A 处设有转轴，处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力，
忽略闸门自重及门轴摩擦力，忽略闸门自重及门轴摩擦力，试求开启闸门所需拉力试求开启闸门所需拉力T 。

l
b
α
B A
T
解：（1）解析法。

10009.80721239.228C C P p A h g bl r =×=×=´´´´=（kN kN））
3
2
2221222 2.946122sin sin 4512sin 45sin C C D C C C bl I h y y h y A bl
a a
=+
=+=+=+=´×（m ） 对A 点取矩，当开启闸门时，拉力T 满足：
()
cos 0D A P y y T l q --×=
()212sin sin 2sin cos cos C
C C
D A h h l l P h P y y T l l a a a q q
éùæöêú
+--ç÷êú×èø×-êúëû==
× 2
12221
sin 123.9228cos 2cos 45C l l P
h l a q æöç
÷+ç÷×ç÷+èø
=
=´
×´ 31.007=（kN kN）
） 当31.007T ³kN 时，可以开启闸门。

（2）图解法。

压强分布如图所示：
P 2
P 1
T
A
B
D 1D 2
sin 45
12.682A C l
p h g r æö=-=
ç÷è
ø
（kPa kPa）） sin 45
26.552B
C l p h g r æö=+=
ç÷è
ø
（kPa kPa）） 对A 点取矩，有112
2cos 450P
AD P AD T AB ×+×-××= ∴()12223cos 45
A B A
l p l b p p l b l T l ×××+-××´´=×
()2
12.681126.5512.6813cos 45´´+-´´
=
31.009=（kN kN）
） 答：开启闸门所需拉力T 31.009=kN kN。

（kN kN））
2.24 矩形闸门高h =3m =3m，宽，宽b =2m =2m，上游水深，上游水深1h =6m =6m，下游水深，下游水深2h =4.5m =4.5m，试求：，试求：
（1）作用在闸门上的静水总压力；（2）压力中心的位置。

解：（1）图解法。

压强分布如图所示：
h 1
h 2
p
∵()()12p h h h h g r =---éùëû
()12h h g r =-
()6 4.510009.807=-´´
14.71=（kPa kPa）
） 14.713288.263P p h b =××=´´=（kN kN））
合力作用位置：在闸门的几何中心，即距地面(1.5m,)2
b 处。

（2）解析法。

()()111 1.56 1.5980732264.789P
p A g h hb r ==-×=-´´´=（kN kN）） 3
2212
2112
4.5 4.54.5 4.512C D C C bh
I h y y y A bh æö=+=+=+ç÷´èø
()1
20.250.75 4.6674.5
=
´+=（m ） ()
222 1.539.80732176.526P p A g h hb r ==-×=´´´=（kN kN）
） ()
22
211111130.75 3.253C C D C C C C I I y y y y A y A æö=+=+=+=ç÷èø（m ） 合力：1288.263P P P =-=（kN kN））
合力作用位置（对闸门与渠底接触点取矩）：
()()111222D D D y P P h y P h y =---
()()111222D D D P h y P h y
y P
---=
()()
264.789
6 4.667176.526 4.5 3.2588.263
´--´-= 1.499=（m ）
答：（1）作用在闸门上的静水总压力88.263kN kN；；
（2）压力中心的位置在闸门的几何中心，即距地面(1.5m,)2
b
处。

2.15矩形平板闸门一侧挡水，门高h =1m =1m，宽，宽b =0.8m =0.8m，要求挡水深，要求挡水深1h 超过2m 时，闸门即可自动开启，试求转轴应设的位置y 。

解：当挡水深达到1h 时，水压力作用位置应作用在转轴上，当水深大于1h 时，水压力作用
位置应作用于转轴上，使闸门开启。

1 1.510009.80710.811.76842h P h
g hb r æö=-×=´´´´=
ç÷è
ø（kPa kPa）） 2
21111.5 1.5562 1.51212
2D h h y h h
h æö=-+=+=ç÷´æöèø-´ç÷è
ø（m ） ∴转轴位置距渠底的距离为：2 1.5560.444-=（m ）
可行性判定：当1h 增大时12C h y h æö=-ç÷è
ø增大，则C
C I y A 减小，即压力作用位置距闸门
形越近，即作用力距渠底的距离将大于0.444米。

答：转轴应设的位置y 0.444=m 。

2.16金属矩形平板闸门，门高h =3m =3m，宽，宽b =1m =1m，由两根工字钢横梁支撑，挡水面与，由两根工字钢横梁支撑，挡水面与闸门顶边齐平，如要求两横梁所受的力相等，两横梁的位置1y 、2y 应为多少？
解：
P
2
3h
R 1R 2
y 1
y 2
静水总压力：2
3
10009.807144.1322
2
h P g hb r =
××=
´´´=（kN kN）
） 总压力作用位置：距渠底1
13
h =（m ）
对总压力作用点取矩，∵12R R = ∴
122233h y y h -=-，124
3
y y h += 设水压力合力为2P
，对应的水深为1h ；2
2
1
24h h
gb gb r r = ∴12
2.12132
h h =
=（m ） ∴1
1
2 1.4143y h ==（m ）
214
4 1.414 2.5863
y h y =-=-=（m ）
答：两横梁的位置1y 1.414=m 、2y 2.586=m 。

2.25 一弧形闸门，宽2m 2m，圆心角，圆心角a =°30，半径R =3m =3m，闸门转轴与水平齐平，试求作用，闸门转轴与水平齐平，试求作用
在闸门上的静水总压力的大小和方向。

A
B
R
α
解：（1）水平压力：(
)()
2
2
3
sin 30sin 29.8072
2
x R P g b a r ´=×=´´
22.066=（kN kN）
）（→） （2）垂向压力：
211sin cos 122z P V g g R R R r r p a a æö==×-×ç÷èø
22339.807sin 30cos302122p æö
´=´-´ç÷èø
7.996=（kN kN）
）（↑）
合力：2
222
22.0667.99623.470x z
P P P =+=+=（kN kN）
） arctan 19.92z
x P P
q
==
A
B
P
θ
答：作用在闸门上的静水总压力23.470P =kN kN，，19.92q =。

2.26 密闭盛水容器，水深1h =60cm =60cm，，2h =100cm =100cm，水银测压计读值，水银测压计读值h D =25cm =25cm，试求半径，试求半径
R
=0.5m 的半球形盖AB 所受总压力的水平分力和铅垂分力。

A B
R
解：（1）确定水面压强0p 。

01Hg
Hg p h g g h h r r r r æö=D ××=D ×-ç÷èø
()10009.8070.2513.60.6=´´´-
27.460=（kPa kPa）
） （2）计算水平分量x P 。

()2
2
x
C
P p A p h g R r p =×=+×
()2
27.460 1.09.8070.5p =+´´
29.269=（kN kN）
） （3）计算铅垂分力z
P 。

3
3
41
40.5
9.807 2.5673
2
6
z R P V g g p p r r ´´==
´´=´=（kN kN）
） 答：半球形盖AB 所受总压力的水平分力为29.269kN kN，铅垂分力为，铅垂分力为2.567kN kN。

2.27 球形密闭容器内部充满水，已知测压管水面标高1Ñ=8.5m =8.5m，球外自由水面标高，球外自由水面标高2
Ñ=3.5m =3.5m，球直径，球直径D =2m =2m，球壁重量不计，试求：，球壁重量不计，试求：（1）作用于半球连接螺栓上的总压力；（2）作用于垂直柱上的水平力和竖向力。

Δ
2
Δ
1
解：（1）取上半球为研究对象，受力如图所示。

Δ1
Δ
2
T
P
z
∵()2
124
z D P V g g p r r ==
×Ñ-Ñ×
()2
2
8.5 3.510009.8074
p ´=
´-´´
154.048=（kN kN）） ∴154.048z T P ==（kN kN））
（2）取下半球为研究对象，受力如图。

Δ1
Δ
2
P z
'
T'
F x
F y
F z
∵
()()2
2
1228.5 3.510009.807154.0484
4
z D
P g
p p r ´
¢=
×Ñ-Ñ×=
´-´´=（kN kN））
0z z F P T ¢¢=-=
0x y F F ==
答：（1）作用于半球连接螺栓上的总压力为154.048kN kN；；（2）作用于垂直柱上的水平力和竖向力0x y F F ==。