28 交流电路中的谐振
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2.8 交流电路中的谐振
谐振是正弦交流电路在特定条件下所产生的一种 特殊物理现象。
谐振的定义:
I
+
U -
含LC 网络
在正弦交流稳态下，当含LC的一端口网络输 入端的电压、电流同相时，则称该网络处于谐振 状态。
2.8.1 串联谐振(电压谐振)
一、 谐振条件
I
+ R
Z R j(L 1 ) R j( X L X C ) | Z | C 1 当 L , 感性 j L C 1 1 当L , 容性 jω C C
二、RLC串联电路谐振时的特点
与I 同相。 1. U
2. 总阻抗Z为纯电阻，即Z=R。 电路中阻抗值|Z|最小。
|Z| R 0
0
3. 电压U一定时，电流I 达到最大值
I0=U/R。 +
U
I
R
_ + +U R U _L
4. 电源电压等于电阻电压
U , U U 0 U R L C
已知i 10 2 sin （2000t - 30 ) A，R 5 3， X 5，X 5，U U，且U 引前U 60 。
L1 C 1 1
、U 、U 、I 、I ； 求： （1）U 1 2 1 2 （2）L；（3）画各电量相量图。
R XL1
+
u
练习1：（2）电路的功率及功率因数。
+
_
i i1
R L
i2
R
C
解：Βιβλιοθήκη 219 45 V U
I 30 42 A
u
P UI cos 6561W Q UI sin 343.8 var S UI 6570 VA cos 0.999
练习2：
ω L 1 0 C
即 ωL 1 C
U _
根据谐振的定义
ω0 f0 1 LC
谐振角频率 谐振频率
1 2π LC
RLC串联电路发生谐振的条件 ：
ω0 1 LC f0 1 2π LC
1. L , C 不变，改变电源频率f（角频率）
2. 电源频率 f （角频率）不变，改变 L 或 C
解： R XL1 XC L
100 0 V U 1
U 100 60 V U 2 100 120 V I 20 30 A 2 I1 10 150 A
_ u + 1 u
i2 +
_
_
i i 1
u2
I 1
150
120 60
U 2
L C
（3）电源电压与电流同相，电路对电源
呈电阻性；电源供给的能量全部被电阻所消。
并联谐振时，总阻抗相当于一个纯电阻。
电源只向电路提供有功功率，电感与电容互换
无功功率。
滤波电路
练习1： 交流电路外加工频正弦交流电压，
已知u 310sin(314t 45 )V , L 15.9mH，R 8.66，C 318.5 F，
当电路发生谐振时，电路的总阻抗为
R 2 (ω0 L) 2 Z (ω0 ) L R RC
并联谐振具有以下特征：
（1）电路的阻抗最大，电源电压一定时，总电流最小。
并联谐振时电路的总阻抗为
R 2 (ω0 L)2 Z (ω0 ) L R RC
在R<<L条件下，其值接近于最大，并相当 于一个纯电阻。当R=0时，趋近于无穷大。 电路总电流为
30
U 1
I 2
U
解： Z1 R jX L 10 30
R
XL1
XC
_ u + 1 u
i2 +
_
I Z 100 0 V U 1 1 100 60 V U
U 2 U U1 100 120 V
_
i i 1
L
u2
U 2 I 20 30 A 2 jX C
I1 I I 2 10 150 A
练习2：
X L1
已知i 10 2 sin （2000t - 30 ) A，R 5 3， 5，X 5，U U，且U 引前U 60 。
C 1 1
求： （2）L；
解：
U1 100 0 V U 100 60 V U 2 100 120 V 20 30 A I 2 I1 10 150 A
U U I0 Z0 L RC
若电压一定，则总电流很小。
（2）电感支路和电容支路上的电流可能远
远大于总电流，且电感支路电流的无功分量
与电容支路电流相等，即
I L sin L I C
并联谐振时，电路的电压与电流相量图
若电压一定，在谐振情况下R<<ωL时， 支路电流I 、I 可以远大于总电流I，故并联 谐振又称电流谐振。
0
求（ ： 1）i、i1、i2； （2）电路的功率及功率因数。
+ _
i i1
R L
i2
R C
u
解：
U 219 45 V
+ _
i i1
R
L
i2
R
C
Z1 R j 2fL 10 30
u
Z2 R j 1
2fC
13.2 49.1
U I 16 . 6 4 . 1 A 2 Z2
+ u_
L Q
C
电源发出功率
P UI cos RI 0
Q UI sin 0
2
P
R
电源供给的能量全部被电阻所消耗。
天线回路与LC调谐回路
2.8.2 并联电路的谐振
I
+
R jL
I L
U
-
I C 1 jC
I C
I
I L
U
谐振时的电压、电流相量图
_
+
u1
i i1
_
XC
i2 +
_
L
u2
练习2：
X L1
已知i 10 2 sin （2000t - 30 ) A，R 5 3， 5，X 5，U U，且U 引前U 60 。
C 1 1
、U 、U 、I 、I ； 求： （ 1 ）U 1 2 1 2 +
+
R
XL1
u
_
+
u1
i i 1
_
XC
L
i2 +
_
u2
U2 XL 10 I1
XL 10 L 5 mH 2f 2000
练习2： 已知i 10 2 sin （2000t - 30 ) A，R 5 3，
引前U 60。 X L1 5，X C 5，U1 U，且U 1 求： （3）画各电量相量图。 +
_
U L
+ U _ C
当 0L=1/(0C)>>R 时 ， UL= UC >>U
串联谐振又称电压谐振。
U C
U U R I
谐振时电压、电流的相量图
5. 功率
负载吸收功率
P=RI02=U2/R
2 0
1 2 QC I0 Q L ω0 LI ω0 C Q Q L QC 0
U I 21 . 9 75 A 1 Z1
i1 21.9 2 sin(314t 75 ) A
i2 16.6 2 sin(314t 4.1 ) A
I I1 I 2 30 42 A
i 30 2 sin(314t 42 ) A
L R 1 j ( C ) Y jC 2 2 2 2 R (L) R jL R (L)
谐振时
求得 ω0
C
L 0 2 2 R (L)
1 ( R )2 LC L
由电路参数决定。
1 R 2 L 当 ( ) , 即 R 时, 改变频率可能发生谐振 。 LC L C L 当 R 时, 不可能发生谐振。 C
谐振是正弦交流电路在特定条件下所产生的一种 特殊物理现象。
谐振的定义:
I
+
U -
含LC 网络
在正弦交流稳态下，当含LC的一端口网络输 入端的电压、电流同相时，则称该网络处于谐振 状态。
2.8.1 串联谐振(电压谐振)
一、 谐振条件
I
+ R
Z R j(L 1 ) R j( X L X C ) | Z | C 1 当 L , 感性 j L C 1 1 当L , 容性 jω C C
二、RLC串联电路谐振时的特点
与I 同相。 1. U
2. 总阻抗Z为纯电阻，即Z=R。 电路中阻抗值|Z|最小。
|Z| R 0
0
3. 电压U一定时，电流I 达到最大值
I0=U/R。 +
U
I
R
_ + +U R U _L
4. 电源电压等于电阻电压
U , U U 0 U R L C
已知i 10 2 sin （2000t - 30 ) A，R 5 3， X 5，X 5，U U，且U 引前U 60 。
L1 C 1 1
、U 、U 、I 、I ； 求： （1）U 1 2 1 2 （2）L；（3）画各电量相量图。
R XL1
+
u
练习1：（2）电路的功率及功率因数。
+
_
i i1
R L
i2
R
C
解：Βιβλιοθήκη 219 45 V U
I 30 42 A
u
P UI cos 6561W Q UI sin 343.8 var S UI 6570 VA cos 0.999
练习2：
ω L 1 0 C
即 ωL 1 C
U _
根据谐振的定义
ω0 f0 1 LC
谐振角频率 谐振频率
1 2π LC
RLC串联电路发生谐振的条件 ：
ω0 1 LC f0 1 2π LC
1. L , C 不变，改变电源频率f（角频率）
2. 电源频率 f （角频率）不变，改变 L 或 C
解： R XL1 XC L
100 0 V U 1
U 100 60 V U 2 100 120 V I 20 30 A 2 I1 10 150 A
_ u + 1 u
i2 +
_
_
i i 1
u2
I 1
150
120 60
U 2
L C
（3）电源电压与电流同相，电路对电源
呈电阻性；电源供给的能量全部被电阻所消。
并联谐振时，总阻抗相当于一个纯电阻。
电源只向电路提供有功功率，电感与电容互换
无功功率。
滤波电路
练习1： 交流电路外加工频正弦交流电压，
已知u 310sin(314t 45 )V , L 15.9mH，R 8.66，C 318.5 F，
当电路发生谐振时，电路的总阻抗为
R 2 (ω0 L) 2 Z (ω0 ) L R RC
并联谐振具有以下特征：
（1）电路的阻抗最大，电源电压一定时，总电流最小。
并联谐振时电路的总阻抗为
R 2 (ω0 L)2 Z (ω0 ) L R RC
在R<<L条件下，其值接近于最大，并相当 于一个纯电阻。当R=0时，趋近于无穷大。 电路总电流为
30
U 1
I 2
U
解： Z1 R jX L 10 30
R
XL1
XC
_ u + 1 u
i2 +
_
I Z 100 0 V U 1 1 100 60 V U
U 2 U U1 100 120 V
_
i i 1
L
u2
U 2 I 20 30 A 2 jX C
I1 I I 2 10 150 A
练习2：
X L1
已知i 10 2 sin （2000t - 30 ) A，R 5 3， 5，X 5，U U，且U 引前U 60 。
C 1 1
求： （2）L；
解：
U1 100 0 V U 100 60 V U 2 100 120 V 20 30 A I 2 I1 10 150 A
U U I0 Z0 L RC
若电压一定，则总电流很小。
（2）电感支路和电容支路上的电流可能远
远大于总电流，且电感支路电流的无功分量
与电容支路电流相等，即
I L sin L I C
并联谐振时，电路的电压与电流相量图
若电压一定，在谐振情况下R<<ωL时， 支路电流I 、I 可以远大于总电流I，故并联 谐振又称电流谐振。
0
求（ ： 1）i、i1、i2； （2）电路的功率及功率因数。
+ _
i i1
R L
i2
R C
u
解：
U 219 45 V
+ _
i i1
R
L
i2
R
C
Z1 R j 2fL 10 30
u
Z2 R j 1
2fC
13.2 49.1
U I 16 . 6 4 . 1 A 2 Z2
+ u_
L Q
C
电源发出功率
P UI cos RI 0
Q UI sin 0
2
P
R
电源供给的能量全部被电阻所消耗。
天线回路与LC调谐回路
2.8.2 并联电路的谐振
I
+
R jL
I L
U
-
I C 1 jC
I C
I
I L
U
谐振时的电压、电流相量图
_
+
u1
i i1
_
XC
i2 +
_
L
u2
练习2：
X L1
已知i 10 2 sin （2000t - 30 ) A，R 5 3， 5，X 5，U U，且U 引前U 60 。
C 1 1
、U 、U 、I 、I ； 求： （ 1 ）U 1 2 1 2 +
+
R
XL1
u
_
+
u1
i i 1
_
XC
L
i2 +
_
u2
U2 XL 10 I1
XL 10 L 5 mH 2f 2000
练习2： 已知i 10 2 sin （2000t - 30 ) A，R 5 3，
引前U 60。 X L1 5，X C 5，U1 U，且U 1 求： （3）画各电量相量图。 +
_
U L
+ U _ C
当 0L=1/(0C)>>R 时 ， UL= UC >>U
串联谐振又称电压谐振。
U C
U U R I
谐振时电压、电流的相量图
5. 功率
负载吸收功率
P=RI02=U2/R
2 0
1 2 QC I0 Q L ω0 LI ω0 C Q Q L QC 0
U I 21 . 9 75 A 1 Z1
i1 21.9 2 sin(314t 75 ) A
i2 16.6 2 sin(314t 4.1 ) A
I I1 I 2 30 42 A
i 30 2 sin(314t 42 ) A
L R 1 j ( C ) Y jC 2 2 2 2 R (L) R jL R (L)
谐振时
求得 ω0
C
L 0 2 2 R (L)
1 ( R )2 LC L
由电路参数决定。
1 R 2 L 当 ( ) , 即 R 时, 改变频率可能发生谐振 。 LC L C L 当 R 时, 不可能发生谐振。 C