高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.4两条直线的平行与垂直课件北师大版选择性必修第一册
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存在两种情况解答．
[课堂十分钟] 1．[多选题]直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是 () A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
答案：BCD
解析：直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有 斜率，所以A不正确；因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切 值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；若倾斜角α1 ＝α2，则l1∥l2，C正确；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，D正确．故选BCD.
跟踪训练1 (1)[多选题]下列各组直线平行的有( ) A．y＝－3x＋2与x＋3y－1＝0 B．y＝x＋2与x－y－2＝0 C．4x－2y＋3＝0与x＋2y－1＝0 D．2x + y3＝1与3x＋2y－2＝0
答案：(1)BD
解析：(1)分别求出各组直线的斜率可得BD正确．故选BD.
(2)已知两条不重合的直线l1：ax＋2y－1＝0和l2：x＋(a＋1)y＋12＝0， a∈R，若l1∥l2，则a＝________．
答案：3x－2y－18＝0
解析：设直线方程是3x－2y＋t＝0， 则3×4－2×(－3)＋t＝0 ∴t＝－18. 故所求直线方程是3x－2y－18＝0.
题型二 两条直线垂直的判定及应用 例2 (1)判断下列各题中l1与l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； ②l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)； ③l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
[基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.( × ) (2)若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.( × ) (3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．( × ) (4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( √ )
2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
答案：(3，4)
解析：设D(x，y)，由题意得AB∥DC，AD∥BC
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC
0−1
∴൞1y−−01
= =
3−y
34−−0x，解得ቊyx
= =
3 4
x−0 4−1
∴顶点D的坐标为(3，4)．
(3)过点(1，2)且与直线x＋2y＋2＝0垂直的直线方程为________．
答案：2x－y＝0
解析：所求的直线方程为2x－y＋t＝0. 则2×1－2＋t＝0 ∴t＝0. 故所求直线方程为：2x－y＝0.
方法归纳
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 1．一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜 率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则 垂直，若不相等，则进行第二步． 2．二代：就是将点的坐标代入斜率公式． 3．三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时， 应用斜率公式要对参数进行讨论．
答案：0或5
解析：当直线l1的斜率存在时， 则由l1⊥l2知k1·k2＝－1 即3a−−5a·a−−35＝－1，解得a＝0 当直线l1的斜率不存在时， 则a－2＝3，得a＝5， 此时k2＝0，故l1⊥l2. 综上a的值为0或5.
【易错警示】
易错原因
纠错心得
已知点的坐标中有参数的，首先
本题容易由k1·k2＝－1得a＝0而出 判断直线的斜率是否存在，本题 错，误认为直线l1的斜率存在． 中直线l1的斜率就要分存在与不
(1)判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看 两点的横坐标是否相等．课本中的结论只有在斜率都存在的情况下方 可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．(2)判断斜率是 否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的 条件：若同位角相等，则两直线平行．
(3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合．
答案：5x＋3y＋9＝0
解析：设所求直线方程为：5x＋3y＋t＝0， 则5×(－3)＋3×2＋t＝0， ∴t＝9， 故所求的直线方程为：5x＋3y＋9＝0.
题型三 两条直线平行与垂直的综合应用 例3 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次 连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． 画出图形，通过求
A．－3
B．3
C．－13
D．13
答案：B 解析：kAB＝33−−02＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.故选B.
3．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－12，则l1与l2(
)
A．平行
B．垂直
C．重合
D．非以上情况
答案：B 解析：∵k1·k2＝2×(－12)＝－1，∴l1⊥l2.故选B.
4．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1 ∥ l2， 则m＝________．
3．若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，得到___l_1∥__l2__． 状元随笔 l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存 在；l1与l2不重合．
要点二 两条直线垂直 1 ． 对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 ： y ＝ k1x ＋ b1 和 l2 ： y ＝ k2x ＋ b2 ， 有 l1⊥l2⇔_k_1_k2_＝__－_1_． 2．若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为 _____0___时，它们互相垂直． 状元随笔 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：两条直线的斜率 都存在；k1≠0且k2≠0.
四条边所在直线的斜 率，分析它们之间的 关系判断图形形状．
方法归纳 利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
跟踪训练3 已知A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求D点的坐标，使 四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
易错辨析 忽视直线斜率不存在的情况致错 例4 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)， P(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________．
答案：3x－y－3＝0
解析：由中点坐标公式得AB的中点为(2，3)， 又kAB＝−41−−25＝−26＝－13 ∴AB的垂直平分线的斜率为3. ∴AB的垂直平分线方程为y－3＝3(x－2)，即3x－y－3＝0.
5．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为________．
答案：AD
(2)使过点A(m＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4，3)，D(0，5) 的直线平行，则m＝______的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝
m−0 −5− m+1
＝−6m−m，kCD＝0−5−−34
＝12，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即−6m−m＝12，得
2．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1， 3)，B(－2，－
2 3)，则直线l1，l2的位置关系是( ) A．平行或重合 B．平行
C．垂直
D．重合
答案：A
解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝ 3， 直线l2的斜率k2＝−2−23−−1 3＝ 3. 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
1．4 两条直线的平行与垂直
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一 两条直线平行
1 ． 对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 ， l2 ， 其 斜 率 分 别 为 k1 ， k2 ， 有 __k_1_＝_k_2__⇔l1∥l2.
2．若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔___l1_∥_l_2__或l1与l2重 合．
答案：1
解析：由题意：a·(a＋1)－2×1＝0，∴a＝1或a＝－2， 当a＝1时，则l1：x＋2y－1＝0， l2：x＋2y＋12＝0，∴l1∥l2 当a＝－2时，则l1：－2x＋2y－1＝0， l2：x－y＋12＝0， ∴两直线重合(舍去)． 故a＝1.
(3)与直线3x－2y＝0平行，且过点(4，－3)的直线方程为________．
m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
(3)过点(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．
答案：x－2y＋7＝0 解析：设直线方程是x－2y＋C＝0，因为直线过点(－1，3)，所以－1－6＋C＝0， 解得C＝7，故所求直线方程是x－2y＋7＝0.
方法归纳
3．已知直线l过点(2，0)，且与直线y＝－2x＋1平行，则直线l的方 程为( )
A．y＝2x－4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－2x－4
答案：C
解析：设直线l的方程为y＝－2x＋t， 则0＝(－2)×2＋t，∴t＝4. ∴直线l的方程为y＝－2x＋4.故选C.
4．已知A(5，2)，B(－1，4)，则AB的垂直平分线方程为________．
解析：(1)①k1＝21−−
−2 −1
＝2，k2＝12−−
−1 −2
＝1，
2
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． ②k1＝－10，k2＝203−−210＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
③由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． k2＝104−0−−4100 ＝0，则l2∥x轴，
答案：0 解析：∵ kl2＝20−−11＝－1，l1∥l2， ∴ kl1＝−43−−1m＝－1，∴m＝0.
题型探究·课堂解透
题型一 两条直线平行的判定及应用 例1 (1)[多选题]下列直线l1与直线l2平行的有( ) A．l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B.l1的斜率为2，l2经过点A(1，1)，B(2，2) C．l1的倾斜角为30°，l2经过点M(1， 3)，N(－2，－2 3) D．l1经过点E(－3，2)，F(－3，10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5，5)
跟踪训练2 (1)直线l1的斜率为k1＝aa−−21，直线l2的斜率为k2＝21a−2−a3，
若l1与l2互相垂直，则实数a的值为( )
A．－1 B．1或－1
2
C．±1
D．－12
答案：D
解析：由题意，得k1k2＝aa−−21 × 21a−2−a3＝－1，解得a＝－12或a＝1(舍去)．
(2) 过 点 A( － 3 ， 2) 且 与 直 线 3x － 5y ＋ 1 ＝ 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 ________________．
∴l1⊥l2.
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)， D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________．
答案：5或－6
解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， ∵直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，且2≠－1， ∴l2的斜率存在． 当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意． 当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0， 由k1·k2＝－1，得a−−32−−a3·a−−12−−23＝－1，解得a＝－6. 综上可知，a的值为5或－6.
[课堂十分钟] 1．[多选题]直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是 () A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
答案：BCD
解析：直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有 斜率，所以A不正确；因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切 值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；若倾斜角α1 ＝α2，则l1∥l2，C正确；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，D正确．故选BCD.
跟踪训练1 (1)[多选题]下列各组直线平行的有( ) A．y＝－3x＋2与x＋3y－1＝0 B．y＝x＋2与x－y－2＝0 C．4x－2y＋3＝0与x＋2y－1＝0 D．2x + y3＝1与3x＋2y－2＝0
答案：(1)BD
解析：(1)分别求出各组直线的斜率可得BD正确．故选BD.
(2)已知两条不重合的直线l1：ax＋2y－1＝0和l2：x＋(a＋1)y＋12＝0， a∈R，若l1∥l2，则a＝________．
答案：3x－2y－18＝0
解析：设直线方程是3x－2y＋t＝0， 则3×4－2×(－3)＋t＝0 ∴t＝－18. 故所求直线方程是3x－2y－18＝0.
题型二 两条直线垂直的判定及应用 例2 (1)判断下列各题中l1与l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； ②l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)； ③l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
[基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.( × ) (2)若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.( × ) (3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．( × ) (4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( √ )
2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
答案：(3，4)
解析：设D(x，y)，由题意得AB∥DC，AD∥BC
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC
0−1
∴൞1y−−01
= =
3−y
34−−0x，解得ቊyx
= =
3 4
x−0 4−1
∴顶点D的坐标为(3，4)．
(3)过点(1，2)且与直线x＋2y＋2＝0垂直的直线方程为________．
答案：2x－y＝0
解析：所求的直线方程为2x－y＋t＝0. 则2×1－2＋t＝0 ∴t＝0. 故所求直线方程为：2x－y＝0.
方法归纳
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 1．一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜 率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则 垂直，若不相等，则进行第二步． 2．二代：就是将点的坐标代入斜率公式． 3．三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时， 应用斜率公式要对参数进行讨论．
答案：0或5
解析：当直线l1的斜率存在时， 则由l1⊥l2知k1·k2＝－1 即3a−−5a·a−−35＝－1，解得a＝0 当直线l1的斜率不存在时， 则a－2＝3，得a＝5， 此时k2＝0，故l1⊥l2. 综上a的值为0或5.
【易错警示】
易错原因
纠错心得
已知点的坐标中有参数的，首先
本题容易由k1·k2＝－1得a＝0而出 判断直线的斜率是否存在，本题 错，误认为直线l1的斜率存在． 中直线l1的斜率就要分存在与不
(1)判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看 两点的横坐标是否相等．课本中的结论只有在斜率都存在的情况下方 可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．(2)判断斜率是 否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的 条件：若同位角相等，则两直线平行．
(3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合．
答案：5x＋3y＋9＝0
解析：设所求直线方程为：5x＋3y＋t＝0， 则5×(－3)＋3×2＋t＝0， ∴t＝9， 故所求的直线方程为：5x＋3y＋9＝0.
题型三 两条直线平行与垂直的综合应用 例3 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次 连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． 画出图形，通过求
A．－3
B．3
C．－13
D．13
答案：B 解析：kAB＝33−−02＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.故选B.
3．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－12，则l1与l2(
)
A．平行
B．垂直
C．重合
D．非以上情况
答案：B 解析：∵k1·k2＝2×(－12)＝－1，∴l1⊥l2.故选B.
4．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1 ∥ l2， 则m＝________．
3．若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，得到___l_1∥__l2__． 状元随笔 l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存 在；l1与l2不重合．
要点二 两条直线垂直 1 ． 对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 ： y ＝ k1x ＋ b1 和 l2 ： y ＝ k2x ＋ b2 ， 有 l1⊥l2⇔_k_1_k2_＝__－_1_． 2．若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为 _____0___时，它们互相垂直． 状元随笔 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：两条直线的斜率 都存在；k1≠0且k2≠0.
四条边所在直线的斜 率，分析它们之间的 关系判断图形形状．
方法归纳 利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
跟踪训练3 已知A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求D点的坐标，使 四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
易错辨析 忽视直线斜率不存在的情况致错 例4 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)， P(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________．
答案：3x－y－3＝0
解析：由中点坐标公式得AB的中点为(2，3)， 又kAB＝−41−−25＝−26＝－13 ∴AB的垂直平分线的斜率为3. ∴AB的垂直平分线方程为y－3＝3(x－2)，即3x－y－3＝0.
5．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为________．
答案：AD
(2)使过点A(m＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4，3)，D(0，5) 的直线平行，则m＝______的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝
m−0 −5− m+1
＝−6m−m，kCD＝0−5−−34
＝12，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即−6m−m＝12，得
2．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1， 3)，B(－2，－
2 3)，则直线l1，l2的位置关系是( ) A．平行或重合 B．平行
C．垂直
D．重合
答案：A
解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝ 3， 直线l2的斜率k2＝−2−23−−1 3＝ 3. 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
1．4 两条直线的平行与垂直
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一 两条直线平行
1 ． 对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 ， l2 ， 其 斜 率 分 别 为 k1 ， k2 ， 有 __k_1_＝_k_2__⇔l1∥l2.
2．若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔___l1_∥_l_2__或l1与l2重 合．
答案：1
解析：由题意：a·(a＋1)－2×1＝0，∴a＝1或a＝－2， 当a＝1时，则l1：x＋2y－1＝0， l2：x＋2y＋12＝0，∴l1∥l2 当a＝－2时，则l1：－2x＋2y－1＝0， l2：x－y＋12＝0， ∴两直线重合(舍去)． 故a＝1.
(3)与直线3x－2y＝0平行，且过点(4，－3)的直线方程为________．
m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
(3)过点(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．
答案：x－2y＋7＝0 解析：设直线方程是x－2y＋C＝0，因为直线过点(－1，3)，所以－1－6＋C＝0， 解得C＝7，故所求直线方程是x－2y＋7＝0.
方法归纳
3．已知直线l过点(2，0)，且与直线y＝－2x＋1平行，则直线l的方 程为( )
A．y＝2x－4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－2x－4
答案：C
解析：设直线l的方程为y＝－2x＋t， 则0＝(－2)×2＋t，∴t＝4. ∴直线l的方程为y＝－2x＋4.故选C.
4．已知A(5，2)，B(－1，4)，则AB的垂直平分线方程为________．
解析：(1)①k1＝21−−
−2 −1
＝2，k2＝12−−
−1 −2
＝1，
2
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． ②k1＝－10，k2＝203−−210＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
③由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． k2＝104−0−−4100 ＝0，则l2∥x轴，
答案：0 解析：∵ kl2＝20−−11＝－1，l1∥l2， ∴ kl1＝−43−−1m＝－1，∴m＝0.
题型探究·课堂解透
题型一 两条直线平行的判定及应用 例1 (1)[多选题]下列直线l1与直线l2平行的有( ) A．l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B.l1的斜率为2，l2经过点A(1，1)，B(2，2) C．l1的倾斜角为30°，l2经过点M(1， 3)，N(－2，－2 3) D．l1经过点E(－3，2)，F(－3，10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5，5)
跟踪训练2 (1)直线l1的斜率为k1＝aa−−21，直线l2的斜率为k2＝21a−2−a3，
若l1与l2互相垂直，则实数a的值为( )
A．－1 B．1或－1
2
C．±1
D．－12
答案：D
解析：由题意，得k1k2＝aa−−21 × 21a−2−a3＝－1，解得a＝－12或a＝1(舍去)．
(2) 过 点 A( － 3 ， 2) 且 与 直 线 3x － 5y ＋ 1 ＝ 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 ________________．
∴l1⊥l2.
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)， D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________．
答案：5或－6
解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， ∵直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，且2≠－1， ∴l2的斜率存在． 当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意． 当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0， 由k1·k2＝－1，得a−−32−−a3·a−−12−−23＝－1，解得a＝－6. 综上可知，a的值为5或－6.