2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第八章 立体几何 8.5 含答案

1．直线与平面垂直
2。

平面与平面垂直
(1）平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.（×）(2）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)（3）直线a⊥α，b⊥α,则a∥b.（√)
（4)若α⊥β,a⊥β⇒a∥α。

( ×)
（5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β。

( √）
（6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ×)
1．(教材改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( ）A．l与平面α内的两条直线垂直
B．l与平面α内无数条直线垂直
C．l与平面α内的某一条直线垂直
D．l与平面α内任意一条直线垂直
答案D
解析由直线与平面垂直的定义,可知D正确．
2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案A
解析若α⊥β，因为α∩β＝m,b⊂β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时,因为b⊥m,且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β。

3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥βD．m⊥n，n⊂α且α∥β
答案C
解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．
4．（教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD,则一定互相垂直的平面有________________________________对．
答案7
解析
由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC，共7对．5．(教材改编）在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O,
（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2）若PA⊥PB，PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心．答案(1)外（2)垂
解析（1）如图1，连接OA,OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC,即O为△ABC的外心．
（2）如图2,∵PC⊥PA,PB⊥PC，PA∩PB＝P,
∴PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，
又AB⊥PO，PO∩PC＝P，
∴AB⊥平面PGC，
又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．
同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，
即O为△ABC的垂心．
题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1 (1)（2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC,AD的中点．
①求证：EF⊥平面BCG；
②求三棱锥D－BCG的体积．
附:锥体的体积公式V＝错误!Sh,其中S为底面面积，h为高．
①证明由已知得△ABC≌△DBC,
因此AC＝DC.
又G为AD的中点,所以CG⊥AD。

同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G,因此AD⊥平面BGC。

又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
②解在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图
由平面ABC⊥平面BCD，
知AO⊥平面BDC。

又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝错误!，
所以V D－BCG＝V G－BCD＝错误!S△DBC·h
＝错误!×错误!BD·BC·sin120°·错误!＝错误!。

(2）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝错误!DB，点C为圆O上一点，且BC＝错误!AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
求证：PA⊥CD.
证明因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，
在Rt△ABC中,由错误!AC＝BC得，
∠ABC＝30°，设AD＝1,
由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝23，
由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3,
所以CD2＋DB2＝BC2,即CD⊥AO。

因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.
思维升华(1）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
（3）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：（1）CD⊥AE;
(2）PD⊥平面ABE.
证明(1)在四棱锥P—ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD。

∵AC⊥CD,PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC。

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE。

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°,可得AC＝PA。

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1），知AE⊥CD，且PC∩CD＝C,
∴AE⊥平面PCD。

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD。

又∵AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE。

题型二平面与平面垂直的判定与性质
例2 (1)(2015·山东）如图,三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G,H 分别为AC，BC的中点．
①求证：BD∥平面FGH；
②若CF⊥BC，AB⊥BC，求证:平面BCD⊥平面EGH。

证明①方法一如图,连接DG，CD,设CD∩GF＝M，连接MH。

在三棱台DEFABC中,
AB＝2DE,G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC,
所以四边形DFCG为平行四边形．
则M为CD的中点，
又H为BC的中点，
所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，
所以BD∥平面FGH。

方法二如图，在三棱台DEFABC中,由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF,
所以四边形HBEF为平行四边形,
可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点,
H为BC的中点，所以GH∥AB.
又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.
又因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.
②连接HE，
因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB。

由AB⊥BC，得GH⊥BC。

又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形，
所以CF∥HE。

又CF⊥BC,所以HE⊥BC。

又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH。

又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.
（2）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°。

将△ABD沿对角线BD折起,记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：①CD⊥平面PBD。

②平面PBC⊥平面PDC.
证明①∵AD＝AB,∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
又∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°，
又∠DCB＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC.
∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面PBD。

②由CD⊥平面PBD得CD⊥BP.
又BP⊥PD,PD∩CD＝D，∴BP⊥平面PDC。

又BP⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDC.
思维升华面面垂直的性质应用技巧
（1）两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个
平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线"．
（2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中,要对此进行证明．（2015·重庆）如图，
三棱锥PABC中,平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝错误!,点D,E在线段AC上,且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.
(1)证明：AB⊥平面PFE；
(2）若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长．
(1)证明由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC＝AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC,
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.
因∠ABC＝错误!，EF∥BC,故AB⊥EF。

从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直，所以AB⊥平面PFE.
(2)解设BC＝x,则在Rt△ABC中,
AB＝错误!＝错误!，
从而S△ABC＝错误!AB·BC＝错误!x错误!。

由EF ∥BC 知，错误!＝错误!＝错误!， 得△AFE ∽△ABC ,故错误!＝错误!2＝错误!, 即S △AFE ＝4
9
S △ABC .
由AD ＝错误!AE ，S △AFD ＝错误!S △AFE ＝错误!·错误!S △ABC ＝错误!S △ABC ＝错误!x 错误!.
从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝错误!x 错误!－错误!x 错误!＝错误!x 错误!。

由（1）知，PE ⊥平面ABC ， 所以PE 为四棱锥PDFBC 的高． 在Rt△PEC 中,PE ＝错误!＝错误!＝2错误!。

体积V PDFBC ＝1
3·S DFBC ·PE
＝错误!·错误!x 错误!·2错误!＝7，
故得x 4－36x 2＋243＝0,解得x 2＝9或x 2＝27， 由于x ＞0，可得x ＝3或x ＝3错误!。

所以，BC ＝3或BC ＝3错误!。

题型三 垂直关系中的探索性问题
例3 如图，在三棱台ABC －DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC 。

(1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
（2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置;若不存在，请说明理由．
（1)证明在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF ⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE。

又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，
∴DF∥a.
(2)解线段BE上存在点G,且BG＝错误!BE，使得平面DFG⊥平面CDE.
证明如下：
取CE的中点O,连接FO并延长交BE于点G，
连接GD，
∵CF＝EF，∴GF⊥CE。

在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE。

又CF∩EF＝F,∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.
错误!⇒GF⊥平面CDE.
又GF⊂平面DFG,∴平面DFG⊥平面CDE.
此时，如平面图所示，∵O为CE的中点,EF＝CF＝2BC，
由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，
∴HB＝BC＝错误!EF.
由△HGB∽△FGE可知错误!＝错误!，即BG＝错误!BE。

思维升华同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明．
如图（1)所示,在Rt△ABC中，∠C＝90°，D,E分别为AC，AB的中点,点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE 的位置,使A1F⊥CD，如图（2)所示．
（1）求证:DE∥平面A1CB；
(2）求证：A1F⊥BE；
(3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
（1）证明因为D，E分别为AC,AB的中点，
所以DE∥BC。

又因为DE⊄平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
（2）证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD，
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F。

又因为A1F⊥CD,CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.
（3）解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图所示，分别取A1C，A1B的中点P,Q，
则PQ∥BC。

又因为DE∥BC，
所以DE∥PQ，
所以平面DEQ即为平面DEP.
由（2)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C。

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP，
因为DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP,
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
16．立体几何证明问题中的转化思想
典例(12分）如图所示,M，N，K分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD，C1D1的中点．
求证:（1)AN∥平面A1MK；
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
思维点拨（1)要证线面平行，需证线线平行．(2）要证面面垂直,需证线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直．
规范解答
证明(1)如图所示，连接NK。

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，
∴AA1∥DD1,AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD。

[2分]
∵N,K分别为CD，C1D1的中点，
∴DN∥D1K，DN＝D1K，
∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]
∴KN∥DD1,KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN。

∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.［4分］
∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，
∴AN∥平面A1MK。

［6分］
(2)如图所示，连接BC1。

在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB∥C1D1，AB＝C1D1.
∵M,K分别为AB，C1D1的中点,
∴BM∥C1K,BM＝C1K。

∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1。

［8分］
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C,
BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK。

∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C。

[10分]
∴MK⊥B1C.
∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C。

又∵MK⊂平面A1MK，
∴平面A1B1C⊥平面A1MK.［12分]
温馨提醒(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
（2）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利
用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等;
（3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．
［方法与技巧］
1．三类论证
(1）证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；
②平面几何中证明线线垂直的方法；
③线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b；
④线面垂直的性质：a⊥α,b∥α⇒a⊥b.
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；
②判定定理1：错误!⇒l⊥α；
③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β,α∩β＝l,a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
（3)证明面面垂直的方法
①利用定义:两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
②判定定理:a⊂α，a⊥β⇒α⊥β。

2．转化思想:垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
［失误与防范］
1．在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．
2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
A组专项基础训练
(时间:40分钟）
1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，AD/∈l,直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α,m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
答案D
解析如图所示,
AB∥l∥m;AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.
2．（2014·浙江)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面，则（）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n,n⊥β，β⊥α，则m⊥α
答案C
解析A中,由m⊥n，n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误；B中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；C中,由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α,则m⊥α，正确;D中，由m⊥n，n⊥β,β⊥α,可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误．3．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC。

其中正确的是( )
A．①②④B．①②③
C．②③④D．①③④
答案B
解析由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC ＝BC,△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.
4．（2015·福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（)
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案B
解析m垂直于平面α，当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行,∴充分性不成立，反之,l∥α，一定有l⊥m，必要性成立．故选B.
5．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α,P∉l，则下列命题中是假命题的为（)
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
答案B
解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知,选项C、D正确．
6.如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱长为2,AC＝BC＝1,∠ACB＝90°，D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
答案错误!
解析设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF,
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝错误!，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，
则DE＝错误!h。

又2×错误!＝h错误!，
所以h＝错误!，DE＝错误!.
在Rt△DB1E中，B1E＝错误!＝错误!。

由面积相等得错误!×错误!＝错误!x，
得x＝错误!.
7.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的
一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB;③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
答案①②③
解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C,
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF。

故①②③正确．
8．点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．
答案①②④
解析由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1⊂平面AD1C，直线BC1⊄平面AD1C,
所以直线BC1∥平面AD1C.
所以点P到平面AD1C的距离不变,
VA－D1PC＝VP－AD1C,
所以体积不变．故①正确;
连接A1C1，A1B,
可得平面AD1C∥平面A1C1B。

又因为A1P⊂平面A1C1B，
所以A1P∥平面ACD1,
故②正确;
当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形,
所以DP不垂直于BC1.
故③不正确；
因为直线AC⊥平面DB1，
DB1⊂平面DB1.
所以AC⊥DB1。

同理可得AD1⊥DB1.
所以可得DB1⊥平面AD1C.
又因为DB1⊂平面PDB1。

所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.
故④正确．
综上，正确的序号为①②④。

9．(2015·安徽)如图,
三棱锥P­ABC中,PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1,AC＝2，∠BAC＝60°.
(1）求三棱锥P.ABC的体积；
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PM
MC的值．
(1）解由题设AB＝1，AC＝2,∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝1
2
·AB·AC·sin60°＝错误!.
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P。

ABC的高,
又PA＝1。

所以三棱锥P.ABC的体积V＝错误!·S△ABC·PA＝错误!.
(2）证明如图，
在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N,在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM。

由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N,
故AC ⊥平面MBN ，
又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .
在Rt△BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝错误!， 从而NC ＝AC －AN ＝3
2，由MN ∥PA ，
得错误!＝错误!＝错误!.
10。

如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD 。

E 和F 分别是CD 、PC 的中点．
求证：
(1）PA ⊥底面ABCD ; （2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD 。

证明 （1)∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD 。

又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AD 。

∴PA ⊥底面ABCD .
（2）∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ,E 为CD 的中点, ∴AB ∥DE ，且AB ＝DE 。

∴四边形ABED 为平行四边形．∴BE ∥AD 。

又∵BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD , ∴BE ∥平面PAD 。

（3)∵AB ⊥AD ,且四边形ABED 为平行四边形．
∴BE⊥CD，AD⊥CD。

由(1）知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，
又PA∩AD＝A,∴CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，
∴EF∥PD，故CD⊥EF.
由(2）知BE∥平面PAD,∴BE⊥CD，
又EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF。

又∵CD⊂平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
B组专项能力提升
（时间：30分钟)
11.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°,BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案A
解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC。

∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
12．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题:________（用代号表示)．
答案①③④⇒②（或②③④⇒①)
解析逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；
①③④⇒②与②③④⇒①均正确．
13．已知α,β,γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ"是真命题，如果把α,β,γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中,真命题有________个．
答案2
解析若α，β换为直线a,b，则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α,γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b ⇒b⊥β”,此命题为假命题；若β，γ换为直线a,b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．
14．（2015·北京）如图,在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝错误!，O,M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB;
(3）求三棱锥VABC的体积．
（1）证明因为O,M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB，又因为VB⊄平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，
所以OC⊥平面VAB。

又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.
（3）解在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝错误!，
所以AB＝2，OC＝1，
所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝错误!.
又因为OC⊥平面VAB。

所以三棱锥CVAB的体积等于错误!·OC·S△VAB＝错误!,又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等,所以三棱锥VABC的体积为错误!.
15．(2015·湖北)
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，
点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .
（1)证明:DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论）；若不是,请说明理由；
（2）记阳马PABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求
V 1V 2
的值．
(1）证明 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ,
由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D , 所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥DE .
又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点,所以DE ⊥PC 。

而PC ∩BC ＝C ,所以DE ⊥平面PBC 。

由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB .
（2）解 由已知得，PD 是阳马PABCD 的高, 所以V 1＝错误!S ABCD ·PD ＝错误!BC ·CD ·PD 。

由(1）知，DE 是鳖臑DBCE 的高,BC ⊥CE ， 所以V 2＝错误!S △BCE ·DE ＝错误!BC ·CE ·DE .
在Rt△PDC 中,因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝
错误!
CD ，
于是错误!＝错误!＝错误!＝4.。