21-1_2_列写微分方程的一般方法及线性化解析
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《自动控制理论》
§2.2 非线性数学模型的线性化
线性化的基本思想 1. 对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往 希望用一些简单的函数来近似表达。 2. 由多项式表示的函数，只要对自变量进行有限 的加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来， 因此我们经常用多项式来近似表达函数。
1 C2
i2 ，得 消去中间变量 i1 ，
i
2
dt uc
图2-2 R-C滤波网络 （2-2）
2 duc d uc R1R 2C1C 2 ( R 1C 1 R 2C 2 R1C 2 ) uc ur 2 dt dt
由式2-2可知，该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次 微分方程。
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-6: 直流调速系统
n0
G
Ue K1 U1
ud
M
n
TG
Ufn Ug
18/30 p17
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
n
三阶微分方程
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《自动控制理论》
§2.2 非线性数学模型的线性化
问题的提出
严格说来，构成控制系统的元件，在其输出信 号与输入信号之间，都具有不同程度的非线性。因 此在研究控制系统动态过程时就会遇到求解非线性 微分方程的问题。然而，对于高阶非线性微分方程 来说，在数学上不可能求得一般形式的解。因此， 当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将会 遇到困难。
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
根据牛顿第二定律，该系统在外力的作用下，当 抵消了弹簧拉力和阻尼器的阻力后，使质量块(质量为 m)产生加速度，于是得
经变换得
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky(t ) f m dt dt
2 2
d C H h CH Q1 q1 t Q2 q2 t dt
ht R q2 t
dh t RC ht Rq1 t dt
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-5:齿轮系的运动系统：
Mm J1
f1
r1 W1 M 1 Z1
J2
Mc
f2
r2 W 2 M2 Z2
Mm原动力矩；Mc负载转动力矩；J1,J2惯性系数；f1,f2粘性系 数；r1,r2齿轮半径；w1,w2齿轮转动速度；M1,M2齿轮输出力矩； Z1,Z2齿轮齿数。
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《自动控制理论》
19/30 p17
《自动控制理论》
http://zdkz.Βιβλιοθήκη
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
3. 直流他励电动机
d 2n dn 1 R dTL m a 2 m n EG TL a dt dt Ce CeC dt
4. 测速发电机
u fn n
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
2/30
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
数学模型：
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以 及内部其它变量之间关系的数学表达式。
实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模 型来描述（例如微分方程、传递函数等） 。 建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中 最重要的内容，与系统性能密切相关。
Ue n0
二阶微分方程
G
K1 U1
ud
M
n
U e U g U fn
TG
Ufn Ug
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
直流调速系统系统方程:
d 3n d 2n dn K m a G 3 m a G 2 G m 1 dt dt dt Ce d 2TL dTL K R ug ( G a G m TL ) 2 Ce CeC dt dt
3/30
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
控制系统中常见的两种数学模型形式： 1. 输入—输出描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用
数学方式表达出来。或称端部描述，例如微分方程、传递函
数、框图和差分方程。适用于单输入、单输出系统。 2. 状态变量描述：不仅可以描述系统的输入、输出之间的关 系，而且还可以描述系统的内部特性。或称内部描述，例如 状态变量空间法（矩阵），适用于多输入、多输出系统，也 适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。
图2-2 R-C滤波网络
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
解：对于图2-2所示的电路，由基尔霍夫定律写出下列方程组 1 (i1 i 2)dt i1R1 ur C1
1 1 i 2 dt i 2 R 2 (i1 i 2)dt C2 C1
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
数学模型分为静态模型和动态模型两种. 动态模型描述系统各变量各阶导数之间关系的微分方程. 即线性定常微分方程,可由此分析系统的动态特性。 静态模型是指在静态条件下（即变量的各阶导数为零）， 描述变量之间关系的代数方程。 建立系统数学模型时，必须： 1. 全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决 定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。 2. 根据所应用的系统分析方法，建立相应的数学模型。
n0
1. 放大器
U e U g U fn
G
Ue K1 U1
ud
M
n
U1 K1U e
2. 直流他励发电机
TG
Ufn Ug
假设：原动机转速恒定，磁化曲线为一直线。 di L B iB R U1 dt EG C1 C2iB
G
dEG EG K 2U1 dt
一阶微分方程
e 1 x
x
ln(1 x) x
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《自动控制理论》
§2.2 非线性数学模型的线性化
微偏法： 控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作 点。非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对 于平衡工作点的偏离很小。 若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在， 则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性 函数展开为泰勒级数，并略去二阶和二阶以上的各项， 用所得到的线性化方程代替原来的非线性方程。这种 线性化的方法就叫做微偏法。
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《自动控制理论》
§2.2 非线性数学模型的线性化
但是，如果对求解非线性运动方程作某些近似或 缩小研究问题的范围，那么对控制系统中所采用的大 多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成 是线性的，并可用常系数线性微分方程来描述。这种 将非线性微分方程在一定条件下近似转化为线性微分 方程的方法，称为非线性微分方程的线性化。通过线 性化得到的线性微分方程将有条件地、近似地描述系 统的动态过程。也就是说，只有近似条件成立时，基 于线性化微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意 义。
实验法：根据对系统的观察，通过测量所得到的 输入、输出数据，推断出系统的数学模型。
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
研究一个自动控制系统单是分析系统的作用原理 及其大致的运动过程是不够的、必须同时进行数量上 的分析，才能做到深入的研究并将其有效地应用到实 际工程中去。 用解析法推演系统数学模型的前提是对系统的作 用原理和系统中各元件的物理属性有着深入的了解。
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
1. 齿轮传动特性 两个齿轮在咬合运动时，传输功率相同： M11 M 22
两个齿轮在咬合运动时，线速度相同：
2. 几何知识：齿轮齿数与半径成正比。
1r1 2 r2
r1 z1 r2 z2
f1 M m J1
r1
W1
M1 Z1
J2 r2 W2 f2
Mc
M2 Z2
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
3. 力矩平衡方程：
d1 J1 f11 t M m M 1 dt
f1 M m J1
r1 W1 M1 Z1
d 2 J2 f 22 t M 2 M c dt
zdkzcjlueducn233022非线性数学模型的线性化但是如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研究问题的范围那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的并可用常系数线性微分方程来描述
《自动控制理论》
第二章 控制系统的数学模型
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3）
式中，f为阻尼系数；k为弹簧的弹性系数。
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-4:液位控制系统
q1(t) 系统输入量 h(t) 系统变化量 C 液槽的截面积 物料平衡原理
机电学院自动化研究所：柯海森
仰仪南楼310 电话：86914549
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《自动控制理论》
§2 控制系统的数学模型
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法 §2.2 非线性数学模型的线性化 §2.3 传递函数 §2.4 系统框图及其等效变换
§2.5 控制系统的传递函数
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
建立系统数学模型的方法有解析法和实验法两种。
解析法:根据系统及元件各变量之间所遵循的基本 物理、化学等定律，列写出每一个元件的输入-输出的 关系式，然后消去中间变量，从而求得系统输出与输 入的数学表达式。
消去中间变量 2 , M1 , M 2，可得
J2 r2 W2 M2 Z2 f2
Mc
z1 2 d1 z1 2 z1 2 M m ( J1 ( ) J 2 ) ( f1 ( ) f 2 )1 t M c ( ) z2 dt z2 z2 d 1 J f 1 t M c' dt
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-1：图2-1为一R-L-C电路，其 输入电压为ur，输出电压为uc。试 写出ur与uc之间的微分方程式。 解 根据电路理论中的基尔霍夫 定律，写出下列方程式
di iR L uc ur dt
图2-1
R-L-C电路
1 uc c
idt
消去中间变量，则得
d 2uc duc LC RC uc ur dt dt
（2-1）
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
在列写每一个元件的微分方程式时，必须注意到 它与相邻元件间的相互影响。下面举例说明 例2-2：已知R-C网络 如图2-2所示，试写出该 网络输入与输出间的微分 方程。
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-3：设弹 簧-质量-阻尼器 系统，如图2-3 所示。试求外力 与质量块位移之 间的微分方程式。
ky(t )
d y (t ) m dt
2 2
dy (t ) f dt
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《自动控制理论》
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
建立系统微分方程的步骤： 1.明确系统每一元件的输入－输出量：根据基本 的物理、化学等定律，列写出系统中的输入与输出的 微分方程式。 2.明确系统的输入－输出量：各元件方程叠加， 消中间量，求得系统输出输入微分方程； 3.标准化处理：与输出量有关项列左侧，与输入 量有关项列右侧。
《自动控制理论》
§2.2 非线性数学模型的线性化
线性化的基本思想 1. 对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往 希望用一些简单的函数来近似表达。 2. 由多项式表示的函数，只要对自变量进行有限 的加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来， 因此我们经常用多项式来近似表达函数。
1 C2
i2 ，得 消去中间变量 i1 ，
i
2
dt uc
图2-2 R-C滤波网络 （2-2）
2 duc d uc R1R 2C1C 2 ( R 1C 1 R 2C 2 R1C 2 ) uc ur 2 dt dt
由式2-2可知，该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次 微分方程。
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§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-6: 直流调速系统
n0
G
Ue K1 U1
ud
M
n
TG
Ufn Ug
18/30 p17
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
n
三阶微分方程
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§2.2 非线性数学模型的线性化
问题的提出
严格说来，构成控制系统的元件，在其输出信 号与输入信号之间，都具有不同程度的非线性。因 此在研究控制系统动态过程时就会遇到求解非线性 微分方程的问题。然而，对于高阶非线性微分方程 来说，在数学上不可能求得一般形式的解。因此， 当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将会 遇到困难。
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
根据牛顿第二定律，该系统在外力的作用下，当 抵消了弹簧拉力和阻尼器的阻力后，使质量块(质量为 m)产生加速度，于是得
经变换得
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky(t ) f m dt dt
2 2
d C H h CH Q1 q1 t Q2 q2 t dt
ht R q2 t
dh t RC ht Rq1 t dt
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-5:齿轮系的运动系统：
Mm J1
f1
r1 W1 M 1 Z1
J2
Mc
f2
r2 W 2 M2 Z2
Mm原动力矩；Mc负载转动力矩；J1,J2惯性系数；f1,f2粘性系 数；r1,r2齿轮半径；w1,w2齿轮转动速度；M1,M2齿轮输出力矩； Z1,Z2齿轮齿数。
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《自动控制理论》
19/30 p17
《自动控制理论》
http://zdkz.Βιβλιοθήκη
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
3. 直流他励电动机
d 2n dn 1 R dTL m a 2 m n EG TL a dt dt Ce CeC dt
4. 测速发电机
u fn n
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
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§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
数学模型：
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以 及内部其它变量之间关系的数学表达式。
实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模 型来描述（例如微分方程、传递函数等） 。 建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中 最重要的内容，与系统性能密切相关。
Ue n0
二阶微分方程
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K1 U1
ud
M
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U e U g U fn
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Ufn Ug
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
直流调速系统系统方程:
d 3n d 2n dn K m a G 3 m a G 2 G m 1 dt dt dt Ce d 2TL dTL K R ug ( G a G m TL ) 2 Ce CeC dt dt
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
控制系统中常见的两种数学模型形式： 1. 输入—输出描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用
数学方式表达出来。或称端部描述，例如微分方程、传递函
数、框图和差分方程。适用于单输入、单输出系统。 2. 状态变量描述：不仅可以描述系统的输入、输出之间的关 系，而且还可以描述系统的内部特性。或称内部描述，例如 状态变量空间法（矩阵），适用于多输入、多输出系统，也 适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。
图2-2 R-C滤波网络
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
解：对于图2-2所示的电路，由基尔霍夫定律写出下列方程组 1 (i1 i 2)dt i1R1 ur C1
1 1 i 2 dt i 2 R 2 (i1 i 2)dt C2 C1
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
数学模型分为静态模型和动态模型两种. 动态模型描述系统各变量各阶导数之间关系的微分方程. 即线性定常微分方程,可由此分析系统的动态特性。 静态模型是指在静态条件下（即变量的各阶导数为零）， 描述变量之间关系的代数方程。 建立系统数学模型时，必须： 1. 全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决 定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。 2. 根据所应用的系统分析方法，建立相应的数学模型。
n0
1. 放大器
U e U g U fn
G
Ue K1 U1
ud
M
n
U1 K1U e
2. 直流他励发电机
TG
Ufn Ug
假设：原动机转速恒定，磁化曲线为一直线。 di L B iB R U1 dt EG C1 C2iB
G
dEG EG K 2U1 dt
一阶微分方程
e 1 x
x
ln(1 x) x
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《自动控制理论》
§2.2 非线性数学模型的线性化
微偏法： 控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作 点。非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对 于平衡工作点的偏离很小。 若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在， 则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性 函数展开为泰勒级数，并略去二阶和二阶以上的各项， 用所得到的线性化方程代替原来的非线性方程。这种 线性化的方法就叫做微偏法。
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《自动控制理论》
§2.2 非线性数学模型的线性化
但是，如果对求解非线性运动方程作某些近似或 缩小研究问题的范围，那么对控制系统中所采用的大 多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成 是线性的，并可用常系数线性微分方程来描述。这种 将非线性微分方程在一定条件下近似转化为线性微分 方程的方法，称为非线性微分方程的线性化。通过线 性化得到的线性微分方程将有条件地、近似地描述系 统的动态过程。也就是说，只有近似条件成立时，基 于线性化微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意 义。
实验法：根据对系统的观察，通过测量所得到的 输入、输出数据，推断出系统的数学模型。
6/30
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
研究一个自动控制系统单是分析系统的作用原理 及其大致的运动过程是不够的、必须同时进行数量上 的分析，才能做到深入的研究并将其有效地应用到实 际工程中去。 用解析法推演系统数学模型的前提是对系统的作 用原理和系统中各元件的物理属性有着深入的了解。
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
1. 齿轮传动特性 两个齿轮在咬合运动时，传输功率相同： M11 M 22
两个齿轮在咬合运动时，线速度相同：
2. 几何知识：齿轮齿数与半径成正比。
1r1 2 r2
r1 z1 r2 z2
f1 M m J1
r1
W1
M1 Z1
J2 r2 W2 f2
Mc
M2 Z2
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§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
3. 力矩平衡方程：
d1 J1 f11 t M m M 1 dt
f1 M m J1
r1 W1 M1 Z1
d 2 J2 f 22 t M 2 M c dt
zdkzcjlueducn233022非线性数学模型的线性化但是如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研究问题的范围那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的并可用常系数线性微分方程来描述
《自动控制理论》
第二章 控制系统的数学模型
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3）
式中，f为阻尼系数；k为弹簧的弹性系数。
13/30
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-4:液位控制系统
q1(t) 系统输入量 h(t) 系统变化量 C 液槽的截面积 物料平衡原理
机电学院自动化研究所：柯海森
仰仪南楼310 电话：86914549
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§2 控制系统的数学模型
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法 §2.2 非线性数学模型的线性化 §2.3 传递函数 §2.4 系统框图及其等效变换
§2.5 控制系统的传递函数
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
建立系统数学模型的方法有解析法和实验法两种。
解析法:根据系统及元件各变量之间所遵循的基本 物理、化学等定律，列写出每一个元件的输入-输出的 关系式，然后消去中间变量，从而求得系统输出与输 入的数学表达式。
消去中间变量 2 , M1 , M 2，可得
J2 r2 W2 M2 Z2 f2
Mc
z1 2 d1 z1 2 z1 2 M m ( J1 ( ) J 2 ) ( f1 ( ) f 2 )1 t M c ( ) z2 dt z2 z2 d 1 J f 1 t M c' dt
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《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-1：图2-1为一R-L-C电路，其 输入电压为ur，输出电压为uc。试 写出ur与uc之间的微分方程式。 解 根据电路理论中的基尔霍夫 定律，写出下列方程式
di iR L uc ur dt
图2-1
R-L-C电路
1 uc c
idt
消去中间变量，则得
d 2uc duc LC RC uc ur dt dt
（2-1）
9/30
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
在列写每一个元件的微分方程式时，必须注意到 它与相邻元件间的相互影响。下面举例说明 例2-2：已知R-C网络 如图2-2所示，试写出该 网络输入与输出间的微分 方程。
11/30
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-3：设弹 簧-质量-阻尼器 系统，如图2-3 所示。试求外力 与质量块位移之 间的微分方程式。
ky(t )
d y (t ) m dt
2 2
dy (t ) f dt
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《自动控制理论》
7/30
《自动控制理论》
§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
建立系统微分方程的步骤： 1.明确系统每一元件的输入－输出量：根据基本 的物理、化学等定律，列写出系统中的输入与输出的 微分方程式。 2.明确系统的输入－输出量：各元件方程叠加， 消中间量，求得系统输出输入微分方程； 3.标准化处理：与输出量有关项列左侧，与输入 量有关项列右侧。