上海市卢湾高级中学高二数学竞赛试卷

上海市卢湾高级中学高二数学竞赛试卷 2003/12/18
(完卷时间：90分钟，满分100分) 命题：刘丽辉
一、填空（每小题4分，共32分）
1．函数3
12+-=x x y 的最大值为 。

2．函数4)1(122+-++=x x y 的最小值为 。

3．对任意的实数x ，若不等式|2||1|--+x x ＞k 恒成立，则k 的取值范围是 。

4．平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于E 点，P 为平面上任意一点， 则PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝ PE 。

5．设x 、∈y R ，1)1(2003)1(3-=-+-x x ,1)1(2003)1(3=-+-y y , 则=+y x 。

6．若)()()(b f a f b a f =+，且1)1(=f ，则
)
2003()2004()2()3()1()2(f f f f f f +++ 的值等于 。

7．设O 是抛物线px y 22=（p ＞0）的顶点，PQ 是焦点弦，若a OP =||、b PQ =，则△OPQ 的面积为（用a 、b 表示） 。

8．已知x 、y 均为素数，则方程1222=-y x 的解为 。

二、选择题（每小题4分，共40分）
9．以抛物线一条焦点弦为直径的圆与其准线方程的关系为( )
(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)非上述答案
10．已知方程1||+=ax x 有一个负根而没有正根，那么a 的取值范围是( )
(A)a ＞1 (B)a =1 (C)a ≥1 (D)非上述答案
11．各项均为实数的等比数列{}n a 前项和记为n S ，若1010=S 、7030=S ，则=40S ( )
(A)150 (B)－200 (C)150或200 (D)400或－50
12．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 、C 在双曲线的右分支上。

△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积为( ) (A)3
3 (B)233 (C)33 (D)36 13．已知点（n ，n a ）（=n 1，2，3，…）都在直线022=--y x 上，那么数列{}n a 中有( )
(A)1311a a +＜0 (B)1311a a +＞0 (C)11a ＞0，13a ＜0 (D)11a ＜0，13a ＞0
14．已知b a ≠且2a sin θ+a cos θ01=-、2b sin θ+b cos θ01=-，则点（a ，2a ）、（b ，2b ）的连线与单位圆的位置关系是( )
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不能确定
15．[x ]表示不大于x 的最大整数，如[3.5]=3，[3]=3，[－4.2]=－5，则[x ]=[y ]是|y x -|﹤1的条件( )
(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)不充分不必要
16．已知n 是正整数，则[1342++n n ]=( ) （“[ ]”含义见第15题）
(A)22-n (B)12-n (C)n 2 (D)12+n
17．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5
435+=x y 的距离中最小的值为( ) (A)17034 (B)85
34 (C)201 (D)301 18．函数x x x x x f cos 12
cos 2cos 12cos 2)(+++-=的性质为（ ） (A)是奇函数，是偶函数，不是周期函数
(B)是奇函数，不是偶函数，是周期函数
(C)不是奇函数，是偶函数，是周期函数
(D)是奇函数，是偶函数，也是周期函数
（反面还有试题）
三、解答题（共28分）
19．已知抛物线的方程为px y 22=（p ＞0），过动点()0,a M 且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A 、B ，AB ≤p 2。

(1)求a 的取值范围；（6分）
(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

（6分）
20．已知直线l 过定点Q(0，3)，且为抛物线x y 42=上的动弦21P P 的中垂线，试求：
(1)直线l 与动弦21P P 的交点M 的轨迹；
（8分） (2)直线l 的倾斜角α的取值范围。

（8分）
班级 姓名。