陕西省2003年中考试卷

陕西省2003年中考试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的） 1．今年我省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温为2 ℃．这一天延安市的气温比西安市的气温低（ ）．
A ．8℃
B ．－8℃
C ．6 ℃
D ．2℃
2．如果两圆半径分别为3和7，圆心距为4，那么这两圆的位置关系是（ ）． A ．内含 B ．内切 C ．相交 D ．外切 3．地球上的陆地面积约为2
149000000千米，用科学记数法表示为（ ）． A ．2
6
10149千米⨯ B ．2
7
10149千米⨯ C ．2
8
101.49千米⨯ D ．2
9
101.49千米⨯
4．方程91)(2
=＋x 的解是（ ）．
A ．x ＝2
B ．x ＝－4
C ．21=x ，4 2－=x
D ．21－=x ，4 2=x
5．把不等式组⎩
⎨⎧≥01,01＜－＋x x 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）．
6．香港于1997年7月1日成为中华人民共和国的一个特别行政区，它的区徽图案（紫
荆花）如图，这个图形（ ）．
A ．是轴对称图形
B ．是中心对称图形
C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
7．为保护生态环境，我省某山区县响应国家“退耕还林”号召，将该县某地一部分耕地改为林地．改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25％，为求改变后林地面积和耕地面积各为多少平方千米，设耕地面积为x 平方千米，林地面积为y 平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）． A ．⎩⎨
⎧⋅%25180x y y x ＝＝＋ B ．⎩⎨⎧⋅%
25180y x y x ＝＝
＋
C ．⎩⎨
⎧%25180＝－＝＋y x y x D ．⎩⎨⎧%
25180＝－＝
＋x y y x
8．将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，
将①展开后得到的平面图形是（ ）．
A ．矩形
B ．三角形
C ．梯形
D ．菱形
9．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已有三角形框架甲，它的三边长分别为50 cm 、60 cm 、80 cm ，三角形框架乙的一边长为20 cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）．
A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
10．星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）．
A ．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B ．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C ．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D ．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回
二、填空题（共6小题，每空3分，共24分）
11．计算1023.14)(1－＋－－+＝________．
12．在△ABC 中，∠C ＝90°，若2
1tan ＝A ，则sin A ＝________．
13．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2________．
14．华山鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情况，对永红中学初二（1）班的20名男生所穿鞋号统计如下表：
那么这20名男生鞋号数据的平均数是________，中位数是________；在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是________．
15．计算2003的算术平方根时，现有如下三个方案，请你只选择其中一个方案填空： 方案一：用双行显示科学计算器求：先按动键，再依次按键
（或
或按开平方键）、
．
方案二：用单行显示科学计算器求：先按动键
，再依次按键
（或
或按开平方键）．
方案三：查算表（数学用表）计算：
下表是平方根表的一部分，依据下表，得2003＝________．
16．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′：①等于1米；②大于1米；③小于1米．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题9小题，共66分．解答应写出过程） 17．（本题满分5分）
先化简，再求值：1
3
1)1(11432＋－－－＋＋＋x x x x x x ，其中x ＝13＋．
18．（本题满分6分）
用换元法解方程08)1
(2)1(
2＝－＋＋x x x x -．
19．（本题满分7分）
设1x ，2x 是关于x 的方程01)(2
=m x m x －－
－（m ≠0）的两个根，且满足03
2
1121＝＋＋x x ，求m 的值．
20．（本题满分7分）
如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，BC ＝BD ，AD ＝AB ＝4 cm ，∠A ＝120°，求梯形ABCD 的面积．
21．（本题满分7分） 已知反比例函数x
k
y ＝
的图象经过点A （－2，3）． （1）求出这个反比例函数的解析式；
（2）经过点A 的正比例函数y ＝k'x 的图象与反比例函数x
k
y ＝
的图象还有其他交点吗?若有，求出交点坐标；若没有，说明理由．
22．（本题满分7分）
为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：
（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y 是凳高x 的一次函数，请你求出这个一次函 数的关系式；（不要求写出x 的取值范围）
（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77 cm ，凳子的高度为43.5 cm ，请你判断它们是否配套?说明理由．
23．（本题满分8分）
如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，延长BA 到E ，使AE ＝AB ，连结ED ．
（1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；
（2）连结EO 交AD 于点F ，求证：EF ＝2FO ．
24．（本题满分9分）
如图，在直角坐标系中，以点A （3，0）为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点．
（1）求D 点的坐标；
（2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ＋＋2
上，求这个抛物线的解析式； （3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，且∠OMN ＝30°，试判断直线MN 是否经过所求抛物线顶点?说明理由．
25．（本题满分10分）． 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．A 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（每空3分，共24分） 11．
2
1
12．55 13．90° 14．24.55，24.5，众数（或25） 15．44.75 16．③
三、解答题（共66分．解答应写出过程）
17．解：原式1
3
)1()1)(1)(1(11322＋－－＋－＋＋＋＋x x x x x x x x ⋅=…………………………………2分 13
11＋－－
＋－＝
x x x x …………………………………………………………3分 1
2
＋＝x ．…………………………………………………………………4分
当13＋
＝x 时， 原式)
23)(23()
23(2232－＋＝
＋＝
- ＝324－．…………………………………………………………………………5分 18．解：设y x x
＝＋1
，则原方程变形为0822＝－－y y ．…………………………………2分
解这个方程得：41＝y ，22＝－y ．……………………………………………………3分
当y ＝4时，
41＝＋x x ，34＝－x ； 当y ＝－2时，21＝－＋x x ，32
＝－x ．………………………………………………5分
经检验，341＝－x ，3
2
2＝－x 都是原方程的根．……………………………………6分
19．解：∵ 0)1(4)]1([2
2≥∆＋＝＋－
－＝m m m ， ∴ 对于任意实数m ，方程恒有两个实数根1x ，2x ．
又∵ 121－
＝＋m x x ，m x x ＝－21，且0≠m ，……………………………………4分 ∴
03
2
1＝＋－－m m ，即m ＝3．…………………………………………………………7分 20．解：如图，作AE ⊥BC 于E ，作DF ⊥BC 于F ．
∴ AE ∥DF ．
又∵ AD ∥BC ，且∠A ＝120°，
∴ ∠ABC ＝60°，AE ＝DF ．………………………………………………………… 2分 ∵ AB ＝AD ＝4，
∴ ∠ABD ＝∠ADB ＝∠DBC ＝30°．…………………………………………………4分
在Rt △ABE 中，得32＝AE ．
在Rt △BDF 中，3422＝＝＝AE DF BD ． ∴ 34＝＝BD BC ．
∴ AE BC AD S ABCD ⋅)(2
1＋＝梯形
2
cm )3412(＋＝．………………………………………………………7分
（其他解法参照以上评分标准评分）
21．解：①∵ 点A （－2，3）在x
k
y ＝的图象上， ∴ 2
3－＝
k
．……………………………………………………………………………2分 ∴ k ＝－6．
∴ 反比例函数的解析式为x
y 6＝－.…………………………………………………4分 ②有．∵ 正、反比例函数的图象均关于原点对称，且点A 在它们的图象上， ∴ A （－2，3）关于原点的对称点B （2，－3）也在它们的图象上． ∴ 它们相交的另一个交点坐标为（2，－3）．…………………………………… 7分 （其他解法参照以上评分标准评分） 22．解：（1）设一次函数为y ＝kx ＋b ，将表中的数据任取两组，不防取（37.0，70.0）和（42.0，78.0）代入，得………………………………………………………………………2分 ⎩⎨⎧;4278,3770b k b k ＋＝＋＝解得⎩⎨⎧.8.10,6.1＝
＝
b k
∴ 一次函数关系式为y ＝1.6x ＋10.8．…………………………………………………4分
（2）当x ＝43.5时，y ＝1.6×43.5＋10.8＝80.4．
∵ 77≠80.4，∴ 不配套．……………………………………………………………7分 （其他解法参照以上评分标准评分） 23．证明：（1）连结OD ．
∵ 四边形ABCD 为正方形，AE ＝AB ，
∴ AE ＝AB ＝AD ，∠EAD ＝∠DAB ＝90°．
∴ ∠EDA ＝45°，∠ODA ＝45°．……………………………………………………2分 ∴ ∠ODE ＝∠ADE ＋∠ODA ＝90°．
∴ 直线ED 是⊙O 的切线．………………………………………………………4分 （2）作OM ⊥AB 于M ． ∵ O 为正方形的中心，
∴ M 为AB 中点．………………………………………………………………………5分 ∴ AE ＝AB ＝2AM ，AF ∥OM ．
∴
2＝＝AM
AE
FO EF ．
……………………………………………………………………7分 ∴ EF ＝2FO ．…………………………………………………………………………8分 （其他证法参照以上评分标准评分）
24．解：（1）连结AD ．
根据题意，得3＝OA ，32＝AD ．∴ OD ＝3．
∴ D 点坐标为（0，－3）．……………………………………………………………2分 （2）根据题意，得：B （3－，0），C （33，0）．………………………………3分 ∵ B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ＋＋＝2
上，
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=;3,33270,330c c b a c b a －＋＋＝＋－＝解得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
--.3,332,31＝＝＝c b a ∴ 所求抛物线的解析式为：33
3
23
1
2
－－＝x x y ．………………………………6分 （3）连结AP ．
在Rt △APM 中，∠PMA ＝30°，32＝AP ， ∴ 34＝AM ．∴ M 点的坐标为（35，0）． ∴ 53
3
3530tan ＝＝＝⋅
⋅︒OM ON ．
∴ N 点坐标为（0，－5）． ∴ 直线MN 的解析式为53
3
－＝
x y ．……………………………………………7分 又∵ 抛物线4)3(3
1
33323
122
－－＝－－
＝x x x y ， ∴ 顶点坐标为（3，－4）．…………………………………………………………8分
∵
4533
3
533＝－－＝－⨯x ， ∴ 抛物线的顶点在直线MN 上．………………………………………………………9分
25．解：（1）n
n ︒
⋅180)2(－．
（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形． （说明：（1）、（2）填对一个给1分）． （3）如：正方形和正八边形，草图如右：（画出草图2分）…………………………8分
设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那以，m 、n 应是方程︒︒︒⋅⋅36013590＝＋n m 的整数解，即2m ＋3n ＝8的整数解．
∵ 这个方程的整数解只有⎩
⎨⎧2,
1＝＝n m 一组，
∴ 符合条件的图形只有一种．………………………………………………………10分
（其他解法参照以上评分标准评分）。