豫北六校精英赛年高二理科数学答案

高二数学参考答案及评分标准
一、选择题（1—12小题 ，每题5分，共60分）
1D. 2.A 3.C 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.D 11.A 12.C 二、填空题（13-16小题，每题5分，共20分）
13. (2,0)- 14.
24π- 15. (1)(1)1
n
n Ar r r ++- 16. 2
三、解答题（本大题共有6道小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.）
（17）（本小题满分10分）
解：由2
2
20x ax a +-=，得(2)()0x a x a -+=，2
a
x =
或x a =-，………2分 那么当命题p 为真命题时，|
|12
a
≤或||1a -≤，所以||2a ≤. …………4分 当命题q 为真命题时，只有一个实数0x 满足2
00220x ax a ++≤，即抛物线
222y x ax a =++与x 轴相切，2480a a ∆=-=，解得0a =或2a =. …………7分
命题“p 或q ”为真命题时，||2a ≤；“p 或q ”为假命题，2a >或2a <-，……9分 综上，a 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞U ． ………………………10分 （18）（本小题满分12分）
解：（I ）在ABC ∆中，因为12cos 13A =
，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4
sin 5
C =，则5312463
sin sin()sin cos cos sin +=13513565
B A
C A C A C =+=+=⨯⨯，由正弦定理
sin sin AB AC C B =，得sin 520m.sin AC
AB C B
== 即,A B 两地的距离为520m . ………6分
（II ）假设乙出发t 分钟后，甲乙两人距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距
A 地130m t ，由余弦定理得：
22212
(10050)(130)2130(10050)13
d t t t t =++-⨯⨯+⨯
2200(377050)t t =-+. 由130520t ≤得04t ≤≤，故当35
min 37
x =时d 最小（甲乙的距离最近）.……12分 （19）（本小题满分12分）
解：（I ）因为1n n x x α+=+，故1n n x x α+-=，且10x =，所以数列{}n x 是以0为首项，公差为α的等差数列，(1).n x n α=- ……………2分
同理：1n n y y β+=，故
1
n n
y y β+=，且11y =，所以数列{}n y 是以1为首项，公比为β的等比数列，1
.n n y β-= ……………5分
（II ）2α=时，2 2.n x n =-因为121432(2),2(22),2(42)k k k x k x k x k --+=-=-=+是
数列{}n y 中的连续三项，所以221143()k k k x x x --+=⋅，即2
4(22)4(2)(42)k k k -=-+，解
得 4.k = ……7分
即37194,12,36x x x ===，故7
3
3,x x β=
= 13n n y -=，12(1)3n n n x y n -⋅=-. …9分 1122n n n S x y x y x y =+++K
1
2
3
1
2[032333(1)3
]n n -=++⋅+⋅++-⋅L ①
故23432[032333(1)3]n
n S n =++⋅+⋅++-⋅L ②
①-②得：3
3()32
2n
n S n -=-⋅-.即：33
()322
n n S n =-⋅+. ……………12分 （20）（本小题满分12分）
证明：P ∀∈Ω，Q ∃∈Ω，OQ OP =+u u u r u u u r a ，,OQ OP PQ -==u u u r u u u r u u u r
a a . ………2分 （I ）若Ω={(,)|0,0}x y x y >>，假设(1,2)=-a 是Ω的一个向量周期，(1,1)P ∈Ω，
则满足PQ =u u u r
a 的(0,3)Q ∉Ω；………6分
对(1,2)=b ，因为(,)P x y ∈Ω，则满足PQ =u u u r
b 的(1,2)Q x y ++∈Ω；………8分 （II ）对于Ω={(,)||sin ||cos |}x y y x x =-，|sin ||cos |y x x =-对应的点集是以π为周期的三
角函数曲线（如图所示），………10分 所以(
,0)2
π
=c 不是Ω的向量周期，(,0)
π=d 是Ω的一个向量周期（写出一个向量周期即可，只要符合(,0)k π=d （k ∈Z ）的形式）. ……12分 （21）（本小题满分12分）
解：（I ）由题得双曲线的焦点坐标为(2,0),(2,0)-，则“2M :
系列椭圆”的
焦点），
（021-F ，)0,2(2F .…………2分 设)0,2(2F 关于直线02:=-+y x l 的对称点为),(00y x P ，则
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=-=-++12
022
22000
0x y y x ，解得20=x ，220-=y ，即点P (2,22)-. ……4分 当“2M :
系列椭圆”的长轴最短时，点M 为1PF 与直线l 的交点，此时长轴
1212a MF MF PF =+=，即22)22()22(2-++=a ，3=a ，
又∵2=c ，∴1=b ，∴椭圆的标准方程为13
22
=+y x .………………6分 （II ）设直线:l y kx m '=+为满足条件的直线，设点Q 为SN 的中点，欲满足条件，只
要AQ ⊥SN 即可.由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m kx y y x 132
2，得0336)31(2
22=-+++m mkx x k .
设S ),(),,(2211y x N y x ，则1222
3,21313Q Q Q x x mk m
x y kx m k k
+=
=-=+=++，整理得231
3AQ
k m k mk
-+=. ……………8分
∵AQ SN ⊥，∴)0(1
3132≠-=+-k k mk m k ，2
132+-=k m . ………………10分
由0)1()31(9)33)(31(4362
2
2
2
2
2
>-⋅+=-+-=∆k k m k k m ，得11<<-k ，且
0≠k ,即当)1,0()0,1(Y -∈k 时，存在满足条件的直线l '. ………………12分
（22）（本小题满分12分）
解：（I ）对于函数1()|1||2|f x x x =-+-，当[1,2]x ∈时，1()1f x =.
当1x <或2x >时，1()|(1)(2)|1f x x x >---=恒成立，故1()f x 是“平底型”函数. 对于函数2()|2|f x x x =+-，当(,2]x ∈-∞时，2()2f x =；当(2,)x ∈+∞时，
2()222f x x =->,所以不存在闭区间[,]a b ，使当[,]x a b ∉时，()2f x >恒成立.
故2()f x 不是“平底型”函数. ………………6分
（Ⅱ）因为||||2||t k t k k -++≥，若||||||()t k t k k f x -++≥对t ∈R 恒成立，则
2||||()k k f x ≥.又0k ≠，则()2f x ≤.
注意到()|1||2|f x x x =-+-，解|1||2|2x x -+-≤可得15
22
x ≤≤， 故实数x 的范围是15
[,]22
. ………………12分
附客观题讲评要点
1解：答案D.提示：当0a =时，B =∅，与题意不符；当0a >时，2
1
x a
=
，因为A I B ≠∅，所以21x a =
只可能有两个取值1或1
4
，即1a =或4a =. 当1a =时，B ={1,1-}，B ⊂A ；当4a =时，B ={11
,22
-}，满足A I B ≠∅，且A ⊄B ，
B ⊄A ，A ，B 形成“偏食”.
2解：答案A.提示：渐近线方程为2x y =±，抛物线2
2y x =的准线为18
y =-，所以围
成的三角形的面积为1111
28232
⨯⨯=.
3解：答案C.提示：①④是真命题. 4解：答案A.提示：
4
2
B π
π
<<
.
5解：答案B.提示：可行域为以(2,0),(0,2),(4,4)A B C 为顶点的三角形及其内部区域，当2k =时，max 4z =与题意不符；当4k =时，C 为最优解，且max 12z =；当6k =时，
max 20z =与题意不符.
6解：答案C.提示：1
()a x x ≥-+，当12x =
时，max 15()2
x x -+=-. 7解：答案C.已知||||1==a b ，0⋅=a b ，||3=c ，因为1,2⋅=⋅=a c b c ，由
22222222
1212121212||||||||22924t t t t t t t t t t --=++-⋅-⋅=++--c a b c a b a c b c ，即
2221212||4(1)(2)4t t t t --=+-+-≥c a b ，所以当121,2t t ==时，取得最小值2.
8解：答案B.提示：以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则
1(0,0,0),(0,1,1)D C ，设(,,0)M x y （其中
01,01x y ≤≤≤≤），那么11(,1,1),(0,1,1)C M x y C D =--=--u u u u r u u u u r ，直线11,C D C M 所成的角等于30o
，则11113||||
C M C
D C M C D ⋅=⋅u u u u r u u u u r
u u u u r u u u u r ，整理得22(1)13y x ++
=，其轨迹是椭圆的一部分.实质上是平面截圆锥面所得的圆锥曲线（参见教材章头图）.
9解：答案D.提示：1234561,2,4,8,10,20a a a a a a ======.
10解：答案D.提示：由题意可得22222
2
2
2
22||||||||()2||||2
a c a c a c
b a
c a c a c +=≤=≤+，所以2
a c
b +≤
. 11解：答案A.提示：(5)()5f x f x +≥+，则(2016)(1)20152016f f ≥+=；又
(1)()1f x f x +≤+，则(2016)(1)20152016f f ≤+=；所以(2016)2016f =， (2016)(2016)120161g f =+-=.
12解：选 C.提示：81a =，则72a =，64a =，51a =或58a =，若51a =，则
432,4a a ==，21a =或28a =，12a =或116a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =，264a =或210a =，1128a =或121a =或120a =或13a =；故n 所有可能的取值是
{2,3,16,20,21,128}.
13解：(2,0)-.提示：若q 是真，则0∆<，解得22m -<<；若p 为真，则0m ≥不成立，即20m -<<.
14解：
24
π-.提示：函数()f x 是奇函数，所以AC 经过原点O ，且与上轮廓线AOC
围成的面积在第一、三象限的面积相等，阴影部分的面积等于扇形（四分之一圆）的面积减去等腰Rt ABC ∆的面积，即2ABC S S S π∆=-=-阴影扇形，故所求概率为
24
π-.
15解：(1)(1)1
n
n
Ar r r ++-.提示：本息和相等或列出最后一次还款后余额为0. 16解：2.提示：设顶角为θ，腰长为2x ，则由余弦定理可得22
53
cos 4x x θ-=，
sin θ=
2
2sin ABC S x θ∆==，当2
53
x =时取得最
大值.。