第十一讲曲线积分与曲面积分

第十一讲 曲线积分与曲面积分
I 基本要求
1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2. 掌握两类曲线积分的计算方法。

3. 掌握Green 公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系。

5. 掌握两类曲面积分的计算方法。

6. 了解高斯公式，斯托克斯公式，并会用高斯公式计算曲面积分。

7. 了解散度、旋度的概念。

8. 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、重心、引力、功流量等）。

II 典型例题分析及评注 一、曲线积分 例1 计算⎰+L
y x dl e
2
2，L ：由圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限中所围图形的边界。

解
⎰
⎰
⎰
⎰
++=BO
AB OA L
OA ：0=y ，a x ≤≤0
10
2
2-==⎰⎰+a a
x OA
y x e dx e dl e
AB ：t a x cos =，t a y sin =，4
0π
≤
≤t
a a AB
y x ae adt e dl e
4
4
2
2π
π
=
=
⎰
⎰+
BO ：x y =，a x 2
20≤
≤ 122
20
22
2-==⎰
⎰+a a x
BO
y x e dx e
dl e
所以 a a L
y x ae e dl e
4
)1(22
2π
+
-=⎰+
例2 计算⎰+L
ds y x )(53，其中L 是圆周222R y x =+。

评注 （1）定积分与重积分中应用对称性可简化计算，同样运用对称性也可以简化第一类线积分计算。

（2）利用对称性时必须同时考虑被积函数与积分曲线的对称性，其法则是： 如果L 关于y 轴（0=x ）对称
当),(y x f 是L 上关于x 连续奇函数时，则0),(=⎰L
ds y x f ；
当),(y x f 是L 上关于x 连续偶函数时，则⎰⎰=1
),(2),(L L
ds y x f ds y x f ，其中1L 是曲线L 落在y 轴一侧
的部分。

同理如果L 是关于x 轴对称，就要考虑),(y x f 是L 上关于y 的奇（或偶）函数，可得类似结论。

例3 将下面的曲线积分化第一类曲线积分，并计算它的值，
A
⎰-+L
dy y x f y dx y x xf )],([),(2，
其中),(y x f 为连续函数，L 是沿抛物线2x y =从点)0,0(到点)1,1(的一段弧。

分析 本题中含有抽象函数),(y x f ，直接化为定积分计算是难以进行的。

因此想到化为第一类线积分看是否能消去),(y x f 。

如果能，则就转化为第一类线积分计算之。

解 由上分析，先将原积分化为第一类线积分。

因为在抛物线2x y =上任意点),(y x 处的与曲线的走向一致的切向量为}2,1{x ，其方向余弦2
411cos x
+=
α，2
412cos x
x +=
β，由两类曲线积分的关系，有
⎰-+L
dy y x f y dx y x xf )],([),(2
ds x
x y x f y x
y x xf L
}412)]
,([411)
,(2{2
2
⎰+-++=
dx x x x x ds x xy L
210
2
22
41412}412+⋅+⋅=+=⎰
⎰
2
14221
3==
=⎰dx x
例4 计算曲线积分
⎰
+-++-C
dy x x dx y x )5()42(2，
其中C 为沿)0,0(O ，)0,3(A ，)2,3(B 为顶点的三角形边界OABO 。

解法一 （化为定积分计算）
OA ：0=y （30≤≤x ）；AB ：3=x （)20≤≤y ，此时0=dx ；BO ：x y 3
2
=
（30≤≤x ）。

⎰
⎰
⎰
⎰
++=BO
AB
OA
C
⎰⎰⎰+-++-
++-++=3
22
23
]3
2)5()4322[()533()42(dx x x x x dy dx x 12=
解法二 （用格林公式计算）
因为 42),(+-=y x y x P ，5),(2+-=x x y x Q ，
1-=∂∂y P ，12-=∂∂x x
Q
所以 1222)5()42(32
302
===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x D
D C xdy dx xdxdy dxdy y P x Q dy x x dx y x
例5 计算曲线积分⎰
+-C
y x ydx xdy 2
2，
（1）C 为不包含原点的任一条简单曲线； （2）C 为曲线1||||=+y x 的正向。

解 （1）由于积分路径任意性，此题宜用格林公式计算。

2
2),(y x y y x P +-=
， 2
2),(y x x
y x Q +=
当02
2
≠+y x 时，x
Q y x x y y P ∂∂=+-=∂∂2222在C 内处处成立，由格林公式，得 原积分0=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰D
dxdy y P x Q 其中D 是由C 所围的区域，且C 取正向（实际上C 为反向时积分仍为
0）。

（2）由于C 为1||||=+y x 包含原点，在C 内除去一点)0,0(处
y P ∂∂=x
Q ∂∂，而点)0,0(为被积函数的奇点（即使得被积函数及其一阶偏导数连续这一条件遭到破坏的一点），在点)0,0(处y P ∂∂，x
Q
∂∂无意义，不能肯定此时0=⎰
C。

解此类题常有两种方法。

方法一 按所给积分路径分段积分（太繁！略）
方法二 取以)0,0(为圆心，足够小正数δ为半径作圆周δC ：222δ=+y x ，使δC 完全含于C 内，于是得一复连通域D ，其边界为-++δC C ，在D 上P ，Q 具有连续偏导数，且
x
Q
y P ∂∂=∂∂，于是由格林公式知 022=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰
-
++D C C dxdy y P x Q y x ydx xdy δ
⇒ 0=+
⎰
⎰
-
+
δ
C C
（此中-δC 表示沿δC 取反向，用+δC 表示取正向） ⇒
⎰⎰
⎰
+-
+
+-=+--=+-δ
δC C C y x ydx xdy y x ydx xdy y x ydx xdy 2
22
22
2
πδδδδδππ
2)sin (sin )cos (cos 20202
==--=⎰⎰
dt dt t t t t 评注 （1）计算第二类闭曲线积分常用格林公式计算，但格林公式条件不满足时不得使用。

（2）如果把题（2）中的曲线C 改为包含原点的任一条正向简单闭曲线时，也是用方法二计算，最后
得到⎰
⎰+
+
=
δ
C C
（其中+δC 为包含在C 内的一条闭曲线），即把沿曲线C 的积分化为沿δC 上积分，只要计算
出⎰
+δ
C 问题就得解了。

为了要使⎰
+
δ
C 易计算，就要选择合适的δC ，即选择δC 的方程要能使被积函数（或
被积表达式）得以简化，积分易求为佳。

如题中的被积函数其分母22y x +改为224y x +是，此时取δC 为椭圆：
⎪⎩⎪⎨
⎧
==t
y t
x sin cos 21δδ（π20≤≤t ）
来计算⎰+δ
C 就简单容易了。

例 6 计算曲线积分
⎰
++-omA
x x dy x y e dx y e )4cos ()2sin (，其中omA 是由点)0,0(o 到点)0,(a A 的上半圆周ax y x =+22的一段。

分析 本题如果用直接法计算其被积函数将难以积分。

考虑线积分是否与路径无关。

此时2sin ),(-=y e y x P x ，x y e y x Q 4cos ),(2+=；
y e y
P
x cos =∂∂，4cos +=∂∂y e x
Q
x ，因
x Q y P ∂∂≠∂∂，所以积分与路径有关，但4=∂∂-∂∂y P x Q ，因此想到格林公式。

而格林公式只适用于闭曲线积分，为此补一条曲线（或直线）使它与原曲线构成一条闭曲
线应用格林公式计算，然后再把补的曲线的积分减去即得原积分。

解 根据分析，补一条直线：Ao ：)0(0a x y ≤≤=，它与曲线omA 构成一条闭曲线，方向为顺时针方向，于是
2
22144)4cos ()2sin (2
2
a a dxdy dy x y e dx y e D omAo x
x
Ao
omA
ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-=++-=+⎰⎰⎰⎰
⎰
又
a dx dy x y e dx y e a Ao
x x 2)2()4cos ()2sin (0
=-=++-⎰
⎰
所以，原积分a a Ao
omAo
omA
22
2
--
=-
=
=
⎰
⎰
⎰
π
评注 格林公式不仅用来计算沿闭曲线的第二类线积分，有时还可以通过引入辅助路径的办法用来计算非
闭曲线的积分，如本题及例11。

例7 计算线积分
⎰-'+-AmB
dy x y dx y x y ]sin )([]cos )([πϕπϕ，其中点)2,
(πA ，点)4,3(πB ，)(y ϕ有连续导数，
AmB 为连接A 、B 两点在线段AB 上方的任意路径，且它与AB 所围的面积为4（平方单位）。

解 先考虑积分是否与路径无关。

由于y x y y x P πϕ-=cos )(),(，πϕ-'=x y y x Q sin )(),(。

πϕ-'=∂∂x y y P cos )(，x y x Q cos )(ϕ'=∂∂ 所以x
Q
y P ∂∂≠∂∂，故积分与路径有关。

又路径AmB 的任意性及被积函数中含抽象函数，本题宜用上例方法。

补一条直线BA ：ππ-=y x （42≤≤y ）构成闭曲线AmBA ，于是
πππϕπϕ4]sin []cos )([-=-=-'+-⎰⎰⎰D
AmBA
dxdy dy x dx y x y
又
⎰-'+-BA
dy x y dx y x y ]sin )([]cos )([πϕπϕ
][]sin )(cos )([dy ydx xdy y xdx y BA
+-'+=⎰πϕϕ
⎰⎰+-=
BA
BA
dy ydx x y d πϕ]sin )([
⎰
⎰
+⋅-=
2
4)1(]sin )([dy y x y d A
B
ππϕ
πππ
πϕππ26]2
[
sin )(22
4
2
)
2,()4,3(+=++=y y x y
故
)1(6)26(42+=+--=-=
⎰⎰⎰
πππππBA
AmBa
AmB
例8 在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分
⎰+++L
dy y x dx y
)2()1(3
的值最小。

例9 已知0)0(=f ，且)(x f 具有一阶连续导数，试确定)(x f ，使得对于平面上任何简单闭曲线C ，恒有：
0cos )(sin ])([=--⎰C
x
ydy x f ydx e
x f
解 y e x f P x sin ])([-=，y x f Q cos )(=，
y e x f y P x cos ])([-=∂∂，y x f x Q
cos )('=∂∂。

对任意闭曲线C ，积分等于0的充分必要条件是
x
Q
y P ∂∂=∂∂，即 )()(x f e x f x '=-
这是一阶线性微分方程，且满足初始条件0)0(=f 。

解此微分方程，得
2
)(x
x e e x f --=
评注 本题是利用曲线积分与路径无关或与之等价的条件去确定被积表达式中未知常数或未知函数，从而
导致解方程或方程组或微分方程，这是常见的一种题型。

例10 计算曲线积分⎰
-+-+-L
dz y x dy z x dx y z )()()(，其中L 是空间闭曲线⎩⎨⎧=+-=+2
1
22z y x y x ，从z 轴的正向看去
为顺时针方向。

（一）建立L 的参数方程，由所给的曲线方程，可令t x cos =，t y sin =，则t t y x z s i n c o s 22+-=+-=，于是
⎰-+-+-L
dz y x dy z x dx y z )()()(
ππ
2]1cos 2)cos (sin 2[0
2-=--+-=⎰dt t t t
（二）利用斯托克斯公式化为曲线积分计算
原积分⎰⎰⎰⎰
∑∑
=---∂∂
∂∂∂∂=dxdy y
x z x y z z y x dxdy dzdx dydz 2
取∑是平面2=+-z y x 上且以L 为边界的椭圆片。

按右手法则规定，∑的侧应为下侧。

xy D 为∑在xoy 面上投影区域，且xy D ：122≤+y x ，所以
原积分π222-=-==⎰⎰⎰⎰∑
xy
D dxdy dxdy
二、曲面积分
例1 计算曲面积分⎰⎰∑
+dS z xy )(，其中∑为锥面22y x z +=被柱面x y x 222=+所截得的部分。

解 因为∑的方程为22y x z +=，所以将∑投影到xoy 面上，其投影域D ：x y x 222≤+。

又 σσd d y
z
x z dS 2)()(
122=∂∂+∂∂+=，因此 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++
=+∑
D
D
D
d y x xyd d y x xy dS z xy σσσ2222222)()(
由于区域D 关于x 轴对称，函数xy 关于y 的奇函数，22y x +是关于y 的偶函数，利用对称性知
0=⎰⎰D
xyd σ，所以
⎰⎰
⎰⎰+=+∑
1
2222)(D d y x dS z xy σ（1D 为D 在第一象限部分）
29
32
1322316cos 231622203cos 20
2
2
=⋅⋅===⎰⎰
⎰π
θ
π
θθθd dr r d
评注 计算曲面积分时注意利用对称性可以简化计算。

例2 设曲面∑是222a y x =+界于0=z 与)0(>=h h z 两平面之间的柱面，计算曲面积分⎰⎰
∑
++2
22z y x dS。

有人这样分析：因为∑在xoy 面上投影是圆周（一条曲线），所以面积为0，因此积分值也为0。

这种说法对吗？为什么？并给出正确的做法。

解 这种说法是不对的。

因为要想把∑投影到xoy 面上，必须使∑的方程表为),(y x z z =之形式（即要解出z ），但此处圆柱面是不能表达成这个形式的，因此把∑向xoy 面投影是得不到结果的。

正确做法如下：应将∑投影到yoz 面（或zox 面）上，其投影域yz D ：a y a ≤≤-，h z ≤≤0。

此时∑方程表示为22y a x -±=（不单值），须将∑分为1∑（∑在0≥x 的部分）和2∑（∑在0≤x 的部分）。

又dydz y
a a
dydz z x y x dS 2222)()(
1-=∂∂+∂∂+=，于是
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
∑∑∑
+++++=++2
1222222222z y x dS
z y x dS z y x dS ⎰⎰
-+=yz
D dydz y
a z a a
2
2
2
2
)(2
a h
y a dy z a dz a a a h
arctan 222
20
22π=-+=⎰⎰
-
评注 从本题看到，我们必须正确掌握第一类曲面积分的计算。

在曲面∑上第一类曲面积分化为∑的投影区域上的二重积分的要领是：首先考虑∑向哪个坐标面投影，这取决于曲面方程的显式形式。

如∑的方程为解出z 的显式，即),(y x z z =，此时要把∑投影到xoy 面，并求出投影区域xy D ，其次求出面积微元
σd y
z
x z dS 22)()(
1∂∂+∂∂+=，最后把),(y x z z =及dS 的表达式代入所给的曲面积分中化为在xy D 上的二重积分，即
⎰⎰⎰⎰∂∂+∂∂+=∑
xy
D d y
z
x z y x z y x f dS z y x f σ22)()(
1))
,(,,(),,(
例3 计算曲面积分⎰⎰⎰
=++=2222),,()(t z y x dS z y x f t F ，其中⎪⎩⎪
⎨
⎧+<+≥+=.,
0,,),,(222222y x z y x z y x z y x f 当当 解 参数t 表示球的半径，所以0>t 。

用1∑表示球面2222t z y x =++满足22y x z +≥的部分（即球面在锥面内的部分），它在xoy 面上投影域xy D ：2
2
2
2
t y x ≤+。

用2∑表示球面在锥外的部分，
1∑：222y x t z --=，dxdy y
x t t dxdy z z dS y x 2
2
2
22
1--=
++=，
所以 ⎰⎰⎰⎰∑∑++=2
1
0)()(22dS dS y x t F
⎰⎰--+=dxdy y x t t y x 2
2
2
22)
(
⎰⎰
≤
-=2
2
2
t
r rdtd r
t r t
θ
⎰
⎰-=202
2
320
t dr r
t r d t π
θ
)0(6
2584
>-=
t t π。

评注 当被积函数是分片给出的分段函数时，则计算第一类曲面积分就要分片计算。

同样对被积函数含绝对值号，与重积分一样要设法去掉绝对值号再计算。

例4 计算⎰⎰∑
++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中曲面∑为球面1222=++z y x 限于022≤-+x y x ，0≥z 内的
部分外侧
解法一 对于
⎰⎰∑
dydz x
2
要将∑投影到yo z 面上，且∑方程表为221z y x --=，取前侧，由
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=++012
2222x y x z y x 消去x 得2
1z z y -±=，因此投影域yz D ：2211z z y z z -≤≤--，于是
⎰⎰
⎰⎰
--=
∑
y z
D dydz z y dydz x 2
222)1( 105
38
)1(22
10
2210
=
--=⎰
⎰-z z dy z y dz
计算⎰⎰∑
dzdx y 2时，要将∑投影到zox 面上。

此时∑方程表为221z x y --±=（不是单值），再把∑分为
左片（即0<y 的部分）且取左侧和右片（即0>y 的部分）且取右侧，∑在zox 面上投影域为zx D ：x z x -≤≤--11（注意投影域不是一条曲线）
，因此 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑
+
=
右
左
dzdx y
dzdx y
dzdx y
2
2
2
0)1()1(222222=--+----=⎰⎰⎰⎰zx
zx
D D dzdx z x dzdx z x
对于⎰⎰∑
dxdy z 2，要将∑投影到xoy 面上，投影域为xy D ：022≤-+x y x ，此时∑：221y x z --=，取
上侧，于是
⎰⎰⎰⎰--=
∑
x y
D dxdy y x dxdy z
2222
)1(
（利用极坐标及对称性）
πθ
θ
π
32
5
)1(2
cos 0
22
=
-=⎰
⎰
rdr r d 故 π32
510538+=
I 解法二 用合一投影法，将∑投影到xoy 面上，投影域为xy D ：022≤-+x y x ，此时∑：221y x z --=，取上侧，此时2
2
1z
x x z x ---=
，2
2
1z
x y z y ---=
，则
⎰⎰∑
++=dxdy z dzdx y dydz x I 222
⎰⎰⋅--+-⋅+-⋅=
x y
D y x dxdy y x z y z x
)1)1()()((22222
⎰⎰--+--+
--=xy
D dxdy y x y
x y y
x x )111(
2
22
2
32
2
3（因为
2
2
31y
x y --奇函数，且xy D 关于直线0=y 对
称）
⎰⎰--+--=xy
D dxdy y x y x x )11(
222
23
⎰
⎰-+-=θ
π
θθcos 0
22
3320
)11cos (
2rdr r r r d
π32
5
10538+=
评注 第二类曲面积分化为二重积分的法则有两种方法：其一是分面投影法：先根据面积元素dS 在坐标面上的投影，如dxdy （或者dydz 或是dzdx ），来确定∑向坐标面xoy 面上投影，并求出投影区域xy D ，此
时∑的方程相应要表为),(y x z z =，然后把),(y x z z =代入被积函数化为xy D 上二重积分。

最后根据∑的侧（即法向量的指向）决定二重积分前面的正、负号，即
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧∑∑-∑=⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
∑
面时垂直取下侧时当，取上侧时，当xoy dxdy y x z y x f dxdy y x z y x f dxdy z y x f x y x y D D 0)),(,,(,)),(,,(),,(
其二是合一投影法：如果曲面∑的方程为),(y x z z =，xy D y x ∈),(（xy D 是∑在xoy 面上的投影区域），函数),,(z y x P ，),,(z y x Q 和),,(z y x R 在∑上连续。

那么
⎰⎰∑
++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x p ),,(),,(),,(
⎰⎰
+-+-±=xy
D y x dxdy z y x R y x z y x z y x Q y x z y x z y x P )},,()],())[,(,,()],())[,(,,({
积分号前的符号当∑取上侧是为正，当∑取下侧时为负。

例5 计算⎰⎰∑
++++-=dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz z y x f x I ]),,(3[]),,([)],,([，其中),,(z y x f 为连续函数，∑是
平面12=+-z y x 在第四象限部分的上侧。

解法一 因被积函数中含有抽象函数，直接计算难以进行，化为第一类曲面积分，看是否能把抽象函数消去。

∑：12=+-z y x ，∑上任一点法向量的方向余弦为6
2cos =
α，6
1cos -
=β，6
1cos =
γ，由第一类
与第二类曲面积分的关系，
⎰⎰∑
++++-=dS z z y x f y z y x f z y x f x I }cos ]),,(3[cos ]),,([cos )],,({[γβα
⎰⎰∑
++-++-=dS z z y x f y z y x f z y x f x }6
1]
),,(3[)6
1](),,([6
2)]
,,({[
⎰⎰⎰⎰∑
∑
=
+-=
dS dS z y x 6
1)2(6
1
4
1
1212166
1
=⨯⨯=
==
⎰⎰⎰⎰xy
xy
D D dxdy dxdy 解法二 因被积函数中含有抽象函数，直接用分面投影法计算难以进行，看能否用合一投影法来计算。

∑：12=+-z y x ， ∑的方程可以表示为y x y x z +-=21),(，则2-=x z ，1=y z ，由合一投影法，有 ⎰⎰+-++-++--=xy
D y x
dxdy y x y x z y x f z y y x z y x f z
y x z y x f x I ]}21)),(,,(3[)]()),(,,([)))](,(,,({[
⎰⎰+-++-++-=
xy
D dxdy y x y x z y x f y y x z y x f y x z y x f x ]}21),(,,(3[)1]()),(,,([)2))](,(,,({[
4
1
12121=⨯⨯=
=⎰⎰xy
D dxdy
例6 计算闭曲面积分⎰⎰∑
++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为球面2222a z y x =++的外侧表面。

解法一 化为二重积分计算，注意此题可以利用对称性，有
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
∑
==dxdy z dzdx y dydz x 333， ⎰⎰∑
=dxdy z I 3
3 ∑在xoy 面上投影xy D ：222a y x ≤+，且∑：222y x a z --±=（不单值）。

再分上、下两片。

⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
∑∑∑
+
=
下
上
dxdy z dxdy z dxdy z 333
))(()(
32223222⎰⎰⎰⎰----+--=
x y
x y
D D dxdy y x a dxdy y x a
⎰⎰⎰⎰-=--=a
D rdr r a d dxdy y x a x y
32220
3222)(2)(2π
θ
50
2
/5225
4))(5
2
(2a r a a
ππ=
--⋅= 所以 5
5
12a I π=。

解法二 利用高斯公式，化为三重积分计算
5
40
20
2225
12sin 3)(3a dr r d d dv z y x I a
πϕϕθππ
=
=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω。

评注 解法二比解法一简单些，但在用解法二中，计算三重积分时易出错的是：
322222234
333)(3a a dv a dv a dv z y x I π⋅===++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
ΩΩ。

这主要是把三重积分与曲面积分计算混淆了。

对于2222a z y x =++只是在球面∑上的点才满足，而在球内的点不满足，因此Ω上点不都满足2222a z y x =++，因而计算三重积分时被积函数不能用Ω的边界曲面方程代入。

如果是曲面积分则被积函数是定义在曲面上，因此在计算时需将曲面方程代入之。

这两者要分清
楚。

例7 设)(u f 具有连续导数，计算
⎰⎰∑
++++dxdy z z
y f y dzdx y z y f z dydz x ])(1
[])(1[333
其中∑为0>z 的锥面0222=-+z y x 与球面1222=++z y x ，4222=++z y x 所围立体的表面的外侧。

解 因为被积函数中含抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面∑为闭曲面，考虑用高斯公式。

因为3x P =，3)(1
y z y f z Q +=，3)(1z z y f y R +=。

在∑所围区域Ω上满足高斯公式的条件（0=z 的点不
在Ω内），所以
⎰⎰∑
++++dxdy z z
y f y dzdx y z y f z dydz x ])(1
[])(1[333
⎰⎰⎰Ω
+-'++'+
=dv z z
y z y f y y z y f z x ]3))((13)(13[222
22 ⎰⎰⎰Ω
++=dv z y x )(3222
πϕϕθππ)22(5
93
sin 32
1
40
20
-=
=⎰⎰⎰dr r d d 评注 与利用格林公式计算沿闭曲线的积分一样，我们常常利用高斯公式计算闭曲面的曲面积分。

例8 计算闭曲面积分
⎰⎰
∑
++dxdy r z
dzdx r y dydz r x 3
33， 其中222z y x r ++=，∑是球面2222a z y x =++外侧表面。

解法一 化为二重积分（略）
解法二 化为第一类曲面积分计算
因为球面外侧法向量}2,2,2{z y x n =
，其方向余弦r x =αcos ，r y =βcos ，r
z
=γcos ，由第一、第二类面积分的关系，得
⎰⎰∑
+
+
dxdy r z
dzdx r
y dydz r
x
3
3
3
⎰⎰∑
++=dS r z
r y r x )cos cos cos (
3
33γβα ⎰⎰
∑
++=dS r
)cos cos (cos 1
2222γβα ππ441112
222=⋅===⎰⎰⎰⎰
∑
∑
a a dS a dS r 评注 此题是第二类闭曲面积分，有人就用高斯公式计算如下：
3
2223)(z y x x
r x P ++==
，2/3222)(z y x y Q ++=，2/322
2)(z y x z R ++= 5
2
23r x r x P -=∂∂，5223r y r y Q -=∂∂，5223r z r z R -=∂∂ 由高斯公式，
00)333(52
2522522333==-+-+-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
Ω
Ω∑
dv dv r z r r y r r x r dxdy r z dzdx r y dydz r x 错在哪里呢？错误发生在：高斯公式要求函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在闭曲面∑及其所围的空间区域Ω上连续且有连续的一阶偏导数。

而本题中),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω：2222a z y x ≤++上不满足高斯公式的条件，因而不能应用高斯公式计算。

这也告诉我们不是所有的闭曲面积分都可用高斯公
式计算，它是有条件的。

如果条件不满足使用高斯公式计算会导致错误。

例9 计算曲面积分
⎰⎰∑
-+-dxdy z
zydzdx zxdydz )1(242
，
其中∑是yoz 面的曲线)0(a y e z y ≤≤=绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面，且曲面的法向量与z 轴正向夹角大于
2
π。

解法一 直接法——化为二重积分，此时要求出旋转曲面方程∑：2
2y x e z +=（222a y x ≤+）。

由于计
算太繁，从略。

解法二 做辅助平面1∑：a e z =（222a y x ≤+），且取上侧，1∑与∑构成一个闭曲面（取外侧），
⎰⎰⎰⎰∑∑
-+-+-+-1
)1(24)1(2422
dxdy z zydzdx zxdydz dxdy z
zydzdx zxdydz
0)224()1(241
2
=--=-+-=
⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑+∑dv z z z dxdy z
zydzdx zxdydz
又平面1∑垂直yoz 面及zox 面，所以
2222
2
)1()1()1()1(241
1
a e dxdy e
dxdy z
dxdy z
zydzdx zxdydz a D a
xy
π-=-=
-=
-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑。

故
2222)1()1(01
1
a e a e a a ππ-=--=-=
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
∑∑+∑∑
解法三 因为
0=∂∂+∂∂+∂∂z
R
y Q x P ，所以曲面积分与曲面形状无关。

另取一合适的曲面或平面，如取平面1∑：a e z =（222a y x ≤+），其法向量指向z 轴负向，则
2222
2
)1()1()1(24)1(241
a e dxdy e
dxdy z
zydzdx zxdydz dxdy z
zydzdx zxdydz a D a
xy
π-=--
=-+-=
-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑
评注 （1）由解法二看到，我们可以通过引入辅助曲面方法，把高斯公式应用于解决沿非闭曲面的曲面积分计算。

（2）由解法三告诉我们，如果一个第二类曲面积分在所考虑的区域上满足积分与曲面形状无关（仅与曲面的边界有关）的条件，则在这区域上，我们可以另选一个合适的曲面（或平面）1∑来代替原曲面∑，而使积分计算变得简单容易。

再这里应注意的是1∑与∑的边界要相同，且同侧。

三、曲线积分与曲面积分的应用
例1 设B A
是以Ab 为直径的半圆弧，其中)2,1(A ，)4,3(B ，求质点P 在力F 作用下由A 点沿B A 到B 点所做功，其中F
的大小正比于||OP ，其方向垂直于OP 且与y 轴正向的夹角小于
2
π。

解 先求B A
的参数方程为
)443(sin 23cos 22ππ≤≤-⎪⎩⎪⎨
⎧+=+=t t
y t
x 再求F
的表达式，由题设
22||||y x OP F +==μμ
因为F 垂直z 轴及j y i x r
+==，所以F 的方向与r k ⨯一致。

而i y j x r k -=⨯。

因此 )(||2
2220j x i y y x j
x i y y x F F F
+-=++-+==μμ
故，功⎰⎰+-=⋅=B
A B
A xdy ydx s d F W
)(μ
)1(2]cos )cos 22(2sin )sin 23(2[44
3-=+++=⎰-πμμπ
πdt t t t t
例2 设流体的密度为μ，流速k zy j yx i xz v
222++=，求流体在单位时间内流过曲面∑：z z y x 2222=++向
外的流量。

解 根据第二类曲面积分的物理意义，所求流量
⎰⎰∑
++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz μ
⎰⎰∑
++=dxdy zy dzdx yx dydz xz 222μ
⎰⎰⎰Ω
++=dv y x z )(222μ
⎰
⎰⎰⋅=ϕ
π
π
ϕϕθμcos 20
2220
20
sin dr r r d d
πμϕϕϕπμπ
15
32cos sin 564205==⎰d
例3 有一面密度为μ（常数）半径为R 的半球面，求它对球心处质量为m 的质点的引力。

解 取坐标系球面∑：2
2
2
2
R z y x =++。

由于球面均匀对称，所以球面对质点的引力F
在x 轴、y 轴
上的投影为0，即0=x F ，0=y F ，只要求在z 轴上的投影。

在曲面∑上点),,(z y x N 处取面积元素dS ，其
上质量dS dM μ=，引力微元素F d 的方向与ON 方向一致，2||R
mdM
G F d = ，F d 在z 轴上投影
ϕcos ||F d dF z =R
z
F d || =
zdS R
Gm 3
μ=
，所以
dxdy y
x R R y x R R Gm zdS R Gm dF F xy
D z z ⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰----=
==∑
∑
2
2
2
2
223
3
μμ
μππμμGm R R
Gm dxdy R
Gm xy
D =⋅=
=
⎰⎰22
2
故，引力k Gm F
μπ=。